,26.1,二次函数,第,26,章 二次函数,九年级数学,华师,26.1 二次函数第26章 二次函数九年级数学华师,学习目标,1.,理解掌握二次函数的概念和一般形式,.,（重点）,2.,会利用二次函数的概念解决问题,.,3.,会列二次函数表达式解决实际问题,.,（难点）,学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）,雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线,.,这些曲线能否用函数关系式表示？,导入新课,情境引入,雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线,1.,什么叫函数,?,一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量,x,与,y,，并且对于,x,的每一个确定的值，,y,都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说,x,是自变量，,y,是,x,的函数,.,3,.,一元二次方程的一般形式是什么？,一般地，形如,y,=,kx,+,b,（,k,b,是常数，,k,0,）的函数叫做一次函数,.,当,b,=0,时，一次函数,y,=,kx,就叫做正比例函数,.,2,.,什么是一次函数？正比例函数？,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0,),1.什么叫函数?一般地，在一个变化的过程中，如果有两个,问题,1,正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为,x,，表面积为,y,，则,y,关于,x,的关系式为,.,y,=6,x,2,此式表示了正方体表面积,y,与正方体棱长,x,之间的关系，对于,x,的每一个值，,y,都有唯一的一个对应值，即,y,是,x,的函数,.,讲授新课,二次函数的定义,一,探究归纳,问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面,问题,2,用总长为,20m,的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃,.,怎样围才能使花圃的面积最大？,如图，设围成的矩形花圃为,ABCD,，靠墙的,一边为,AD,，垂直于墙面的两边分别为,AB,和,CD,.,设,AB,长为,x m,(0,x,10),先取,x,的一些值，进而,可以求出,BC,边的长，从而可得矩形的面积,y,.,将计算结果写在下表的空格中：,A D,B C,AB,长,(,x,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,BC,长,12,面积,(,y,),48,单位：,m,18,16,14,10,8,6,4,2,18,32,42,50,48,42,32,18,问题2 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一,我们发现,当,AB,的长,(,x,),确定后,矩形的面积,(,y,),也就随之确定,即,y,是,x,的函数,试写出这个函数的关系式,.,（,0,x,10,）,即,（,0,x,10,）,我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也,问题,3,某商店将每件进价为,8,元的某种商品按每件,10,元出售,一天可售出,100,件,.,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,.,经过市场调查,发现这种商品单价每降低,0.1,元,其销售量可增加约,10,元,.,将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大,?,分析：销售利润,=,（售价,-,进价）销售量,.,根据题意，求出这个函数关系式,.,想一想，为什么要限定,？,问题3 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一,问题,1-3,中函数关系式有什么共同点?,函数都是用,自变量的二次整式表示,的,y,=6,x,2,想一想,（,0,x,10,）,问题1-3中函数关系式有什么共同点?函数都是用 y=6x2,二次函数的定义：,形如,y,=,ax,+,bx,+,c,(,a,b,c,是常数,a,0,)的函数叫做,二次函数,.,温馨提示：,（1）,等号左边是变量,y,，右边是关于自变量,x,的整式；,（2）,a,b,c,为常数，且,a,0;,（3）,等式的右边最高次数为,2,，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,归纳总结,二次函数的定义：形如y=ax+bx+c(a,b,例,1,下列函数中哪些是二次函数？为什么？（,x,是自变量）,y,=,ax,2,+,bx,+,c,s,=3-2,t,y,=,x,2,y,=,x,+,x,+25,y,=(,x,+3)-,x,不一定是，缺少,a,0,的条件.,不是，右边是分式.,不是，,x,的最高次数是,3.,y,=6,x,+9,典例精析,例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）不一,判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),外，,还有其特殊形式如,y,=,ax,2,y,=,ax,2,+,bx,y,=,ax,2,+,c,等.,方法归纳,判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化,想一想,:,二次函数的一般式,y,=,ax,bx,c,（,a,0）,与一元二次方程,ax,bx,c,0（,a,0）,有什么联系和区别？,联系,：,(1),等式一边都是,ax,2,bx,c,且,a,0；,(2),方程,ax,2,bx,c,=0,可以看成是函数,y,=,ax,2,bx,c,中,y,=0,时得到的.,区别,:,前者是函数,.,后者是方程,.,等式另一边前者是,y,后者是,0.,想一想:二次函数的一般式y=axbxc（a0）与一,二次函数定义的应用,二,例,2,（1）,m,取什么值时，此函数是正比例函数？,（2）,m,取什么值时，此函数是二次函数？,解：,（1）由题,可知,解得,（2）由题,可知,解得,m,=3,.,第,（2）,问易忽略二次项系数,a,0,这一限制条件，从而得出,m,=3,或,-3,的错误答案，需要引起同学们的重视,.,注意,二次函数定义的应用二 例2 解：（,1.,已知,:,，,m,取什么值时，,y,是,x,的二次函数？,解：当,=2,且,k+20,，即,k=-2,时,y,是,x,的二次函数,.,变式训练,解：,由题意得：,m3,1.已知:,解：,由题意得：,【解题小结】,本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.,解：由题意得：【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概,例,3,：,某工厂生产的某种产品按质量分为,10,个档次，第,1,档次,(,最低档次,),的产品一天能生产,95,件，每件利润,6,元每提高一个档次，每件利润增加,2,元，但一天产量减少,5,件,(1),若生产第,x,档次的产品一天的总利润为,y,元,(,其中,x,为正整数，且,1,x,10),，求出,y,关于,x,的函数关系式；,解：,第一档次的产品一天能生产,95,件，每件利润,6,元，每提高一个档次，每件利润加,2,元，但一天产量减少,5,件，,第,x,档次，提高了,(,x,1),档，利润增加了,2(,x,1),元,y,6,2(,x,1)95,5(,x,1),，,即,y,10,x,2,180,x,400(,其中,x,是正整数，且,1,x,10),；,例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最,(2),若生产第,x,档次的产品一天的总利润为,1120,元，求该产品的质量档次,解：由题意可得 ,10,x,2,180,x,400,1120,，,整理得,x,2,18,x,72,0,，,解得,x,1,6,，,x,2,12(,舍去,),所以，该产品的质量档次为第,6,档,【方法总结】,解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型,(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品,思考：,1.,已知二次函数,y,10,x,2,180,x,400,自变量,x,的取值范围是什么？,2.,在例,3,中，所得出,y,关于,x,的函数关系式,y,10,x,2,180,x,400,，其自变量,x,的取值范围与,1,中相同吗？,【总结】,二次函数自变量的取值范围一般是,全体实数,，但是在实际问题中，自变量的取值范围应,使实际问题有意义,.,思考：2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y10 x2,二次函数的值,三,例,4,一个二次函数,.,（,1,）求,k,的值,.,（,2,）当,x,=,0.5,时，,y,的值是多少？,解：,（,1,）由题意，得,解得,（,2,）当,k,=,2,时，,.,将,x,=,0.5,代入函数关系式中，,.,二次函数的值三例4 一个二次函数,此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为,0,及自变量指数为,2,这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将,x,的值代入其中，求出,y,的值,.,归纳总结,此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及,当堂练习,2.,函数,y,=(,m,-,n,),x,2,+,mx,+,n,是二次函数的条件是,(),A,.,m,n,是常数,且,m,0,B,.,m,n,是常数,且,n,0,C,.,m,n,是常数,且,m,n,D,.,m,n,为任何实数,C,1,.,把,y=(2-3,x,)(6+,x,),变成一般式，二次项为_,一次项,系数为_，常数项为,.,3,下列函数是二次函数的是,(),A,y,2,x,1 B,C,y,3,x,2,1 D,C,-3,x,2,-16,12,当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数,4.,已知函数,y=3x,2m-1,5,当,m=,时，,y,是关于,x,的一次函数；,当,m=,时，,y,是关于,x,的反比例函数；,当,m=,时，,y,是关于,x,的二次函数,.,1,0,4.已知函数 y=3x2m-15 1 0,5.,若函数 是二次函数，求：,（,1,）求,a,的值,.,(2),求函数关系式,.,（,3,）当,x,=,-,2,时，,y,的值是多少？,解：,（,1,）由题意，得,解得,（,2,）当,a,=-,1,时，函数关系式为,.,（,3,）将,x,=,-,2,代入函数关系式中，有,5.若函数 是二次函数，求,6.,（,1,）,n,个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数,m,与球队数,n,有什么关系？,（,2,）假,设人民币一年定期储蓄的年利率是,x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存,.,如果存款是,10,（万元）,那么请你写出两年后的本息和,y(,万元,),的表达式,(,不考虑利息税,).,y=10(x+1)=10 x+20 x+10.,6.（1）n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛,7.,矩形的周长为,16cm,它的一边长为,x,（,cm),面,积为,y,（,cm,2,).,求,（,1,）,y,与,x,之间的函数解析式及自变量,x,的取值范围；,（,2,）,当,x,=3,时矩形的面积,.,解,：(1),y,(8,x,),x,x,2,8,x,(0,x,8)；,(2),当,x,3,时,，,y,3,2,8315 cm,2,.,7.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（,课堂小结,二次函数,定 义,y,=,ax,2,+,bx,+c(,a,0,，,a,b,c,是常数,）,一般形式,右边是整式；,自变量的指数是,2,；,二次项系数,a,0.,特殊形式,y,=,ax,2,；,y,=,ax,2,+,bx,；,y,=,ax,2,+,c,(,a,0,，,a,b,c,是常数）,.,课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a 0，a,