,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,方程的发展,江苏省常州高级中学 周洁,方程的发展江苏省常州高级中学 周洁,1,代 数,关于字母计算、公式变换、代数方程的科学,解方程,研究各种代数系统的科学,解方程,距今100多年的历史,代 数关于字母计算、公式变换、代数方程的科学解方程研究各种,2,时间：公元前2000年-公元前1800年,地点：古埃及,纸草书上的方程,时间：公元前2000年-公元前1800年地点：古埃及纸草书上,3,“试位法”,兰德纸草书第31题,“试位法”兰德纸草书第31题,4,卡宏,（Kahun）,发现的一份大约公元前1950年的纸草书中记载了下列问题：,将给定的100单位的面积分给两个正方形，使二者的边长之比为4：3.,设两个正方形的边长分别为,x,，,y,，,且4,y,=3,x,，由题设,x,2,+,y,2,=100.,首先取,x,=4，则,y,=3，此时,x,2,+,y,2,=25，,对,x,，,y,的取值进行修正，,即可得方程的解,x,=8，,y,=6.,“试位法”对于解决属于一元一次方程的问题，可能得到精确的解，而对于二次以上的方程，这种方法一般只能给出近似解。,卡宏（Kahun）发现的一份大约公元前195,5,时间：公元前2000年前后,地点：古巴比伦,泥版书上的方程,时间：公元前2000年前后地点：古巴比伦泥版书上的方程,6,英国大不列颠博物馆13901号泥版记载了这样一个问题：,我把我的正方形的面积加上正方形边长的 得 ，求该正方形的边长.,这个问题相当于求解方程,这一解法相当于将方程,的系数代入公式求解,英国大不列颠博物馆13901号泥版记载了这样,7,时间：公元3世纪前后,地点：古希腊,墓志铭上的方程,时间：公元3世纪前后地点：古希腊墓志铭上的方程,8,过路人！这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须；又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半；儿子死后，老人再活了四年就结束了余生。,过路人！这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是童年；再,9,算术,共13卷，尚存6卷，是一部问题集，其中收集了许多实际问题，大约有290个题目，此外还有十几个引理和推论，合起来共有三百多个问题。,卷问题27：求两数使其和为20，其乘积为96.,卷问题8：把一给定平方数分成两个平方数.,算术共13卷，尚存6卷，是一部问题集，其中收集了许多实际,10,丢番图解过的二次方程可以归结为如下几类：,他解的含有两个未知量的二次方程的一般形式是：,或,还有一类涉及解联立二次方程的形式是,：,关于,x,的三次或高次式等于一个平方数的形式是：,失传的算术,其余七卷,丢番图解过的二次方程可以归结为如下几类：他解的含有两个未知,11,近代数学家研究了丢番图的100个问题后，去解第101个题目，仍然感到是困难的，丢番图使人眼花缭乱甚于使人欣喜。,H汉克尔,他显然不够深刻，未能看出他所用方法的实质而加以概括，他不象一个探求普遍概念的深邃的思想家，而只为了寻求正确的解答。,M克莱因,欧拉则认为丢番图是用特例来说明一般方法的，因为那时候还未能用字母来代表系数。,M克莱因虽不接受这种观点，但他也认为“,整个说来他的工作在代数上是永垂不朽的,”。,近代数学家研究了丢番图的100个问题后，,12,时间：公元1世纪东汉初年-19世纪初清朝,地点：中国,九章算术方程,介绍了一次方程组的解法,公元3世纪 赵爽,勾股圆方图说,给出了形如的二次方程的求解步骤,公元7世纪 王孝通,缉古算经,解决了不少三次方程求解的实际问题,公元1113世纪,在古代开平方、开立方、开带从平方、开带从立方等算法的基础上，创立了一种具有中国古代数学独特风格的新算法，即高次方程的数值解法.,时间：公元1世纪东汉初年-19世纪初清朝地点：中国九章算术,13,九章算术,九章算术上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的整理、删补和修订，大约于东汉初年（公元一世纪）成书，它汇总了战国和西汉时期的数学成果，是几代人共同劳动的结晶。书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章。,“方程”,是其中的第八章，主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。,程，课程也。群务总杂，各列有数，总言其实，令每行为率.二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之“方程”。,刘 徽,九章算术 九章算术上承先秦数学发展之源流,14,本章中方程的解法主要有,“方程术”,和,“正负术”,等。“方程术”的解题方法与现代利用线性方程组的系数增广矩阵通过初等变换求解十分接近。这是中国古算一项了不起的成就，超前世界其他国家上千年。有些问题不能用“方程术”求解，进一步的探究探索导致了正、负数概念的产生及正负数运算法则的建立，形成了新的求解方法“正负术”。,本章中方程的解法主要有“方程术”和“正负术”,15,“方程”章第十三题,今有五家共井，甲2绠（绠是汲水桶上的绳索）不足如乙1绠，乙3绠不足如丙1绠，丙4绠不足如甲1绠，丁5绠不足如戊1绠，戊6绠不足如甲1绠。如各得所不足1绠，皆逮（达到的意思）。问井深绠长各几何？,假设五家各自用的每根绳长依次为,x,、,y,、,z,、,w,、,u,，,按照题意，可得方程：2,x,+,y,3,y,+,z,4,z,+,w,5,w,+,u,6,u,+,x,。,书中按“正负术”求得一组解，如果长度单位为寸，则答案应是：井深721寸，甲绳长265寸，乙绳长191寸，丙绳长148寸，丁绳长129寸，戊绳长76寸。,“五家共井”,“方程”章第十三题 今有五家共井，甲2绠（绠是,16,张丘建算经下卷第三十八题,“百鸡问题”,今有鸡翁一，直（值）钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何？,用,x,，,y,，,z,代表鸡翁，鸡母，小鸡的个数，,由题意可得：,书中给出的三组答案相当于方程组的三组解,“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得.”,张丘建算经下卷第三十八题 “百鸡问题”,17,宋元之际的战乱年代,洞渊九容,测圆海镜,李冶,“中土数学之宝书”,“天元术”,具体程序,：,“立天元一为某某”,根据已知条件，列出两个相等的多项式,把这两个多项式相减，便得到了一个一端为零的方程,宋元之际的战乱年代 洞渊九容 测圆海镜 李冶“中土,18,“天元术”的表示方法：,在等式的一次项旁边记一个“元”字，或者在常数项旁边记一个“太”字。,如：,“天元术”的表示方法：在等式的一次项旁边记一个“元”字，,19,元代 朱世杰,“四元术”,四元表示法,四元消元法,列出含有四个未知数的方程组,消去三个元，使它变成一个一元高次方程,解出这个一元高次方程的数值,具体程序,：,元代 朱世杰“四元术”四元表示法四元消元法列出含有四个,20,我国古代的数学家不止一次地攀登上当时世界数学发展的高峰，对于方程的研究作出了当时无与伦比的成就，为世界数学史和文明史作出了伟大的贡献.这是中华民族的骄傲。当然，任何事物都是可以一分为二的.我国古代对方程的研究往往局限于解决实际问题，不重视基础理论特别是方程性质的研究，因此，也存在不容忽视的缺点。,十八世纪末十九世纪初,焦循（1763-1820）汪莱（1768-1813）,李锐（1769-1817）罗士琳（1789-1853）,根和系数的判别法：,当方程系数有一次变号的时候，可以有一个正根；,有二次变号的时候，有两个正根；,有三次变号的时候，有三个或一个正根；,有四次变号的时候，有四个或两个正根。,我国古代的数学家不止一次地攀登上当时世界数学,21,时间：公元9世纪-12世纪,地点：印度,婆罗摩笈多,摩诃毗罗,婆什迦罗,列举了各种二次方程的求解，,并认为二次方程有两根,时间：公元9世纪-12世纪地点：印度婆罗摩笈多 摩诃毗罗 婆,22,时间：公元820年,地点：阿拉伯,人物：花拉子米,代数学,ilm al-jabr wal-muqabala,algebra,还原与对消的科学,原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡,意即“化简”或“对消”，是指方程两端可以消去相同的项或合并同类项,时间：公元820年地点：阿拉伯人物：花拉子米代数学il,23,代数学系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法。这些方程由下列三种量构成：,根,、,平方,、,数,。根相当于现在的未知数,x,，平方就是,x,2,，数是常数项。,1平方等于根,ax,2,=bx,2平方等于数,ax,2,c,3根等于数,ax,=,c,4平方和根等于数,ax,2,bx,=,c,5平方和数等于根,ax,2,c,bx,6根和数等于平方,bx,c,ax,2,代数学系统地论述了六种类型的一次和二次方程的,24,代数学第四章,一个平方数及其根的十倍等于三十九,此问题即方程,x,2,10,x,39,“取根数目之半，在这里就是五，然后将它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，开平方得八，再减去根数的一半，即五，余三。这就是根。”,对于一般方程,x,2,px,q,代数学第四章 一个平方数及其根的十倍等于三十九 此问题,25,时间：16世纪-19世纪,地点：欧洲,方程解法的重大突破,时间：16世纪-19世纪地点：欧洲方程解法的重大突破,26,一元三次方程的故事,1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论，他认为在当时的数学，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。,序曲,人物一：,费罗(Ferro,1465-1526),大学教授,人物二：,菲奥(Fior)费罗的学生,人物三：,冯那塔(Fontana,1499-1557)“塔塔利亚”,人物四：,卡当,(Cardan,1501-1576)医生，哲学家，数学家,人物五：,费拉里(Ferrari,1522-1565)卡当的学生,x,3,+,mx,=,n,(,m,n,0),x,3,+,mx,2,=,n,(,m,n,0),一元三次方程的故事1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程,27,形如 的方程,卡当公式,形如,28,欧拉（Euler，1707-1783）,范得蒙（Vandermonde，1735-1796）,拉格朗日（Lagrange，1736-1813）,鲁菲尼（Rullini，1765-1822）,高斯（Gauss，1777-1855）,发现：,对次数不超过四的方程，都能得到根的计算公式，每个 根都可用原方程的系数经过加减乘除和开方运算表出。,断言：,对于五次方程来说，也一定存在这种求根公式。,关于方程的代数解法的思考,鲁菲尼（Paolo Ruffini，1765-1822）,“如果一个方程能用根式解出，那么这一根式必定是已知方程的根和单位根的有理函数。”,欧拉（Euler，1707-1783）发现：对次数不超过四的,29,阿贝尔（Abel Niels Henrik 1802-1829）,“要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作。”,“如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。”,阿比尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。,五次方程代数解法不可能存在,阿贝尔（Abel Niels Henrik 1802-182,30,伽罗华（Galois，18111832）,关于五次方程的代数解法问题,关于用根式解方程的可解性条件,柯西（Cauchy,1789-1875）,傅立叶（Fourier，1768-1830）,泊松（Poisson，1781-1840）,“你可以公开地请求雅可比（Jacobi）或高斯，不是对于这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有人会发现这堆东西注释出来对于他们是有益的。”,刘维尔（Liouville，1809-1882）,若当（Jordan，1838-1892）,当n5时不可能用根号求根,伽罗华（Galois，18111832）关于五次