,2.4,等腰三角形的判定定理,等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线,.,等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).,等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).,等边三角形的三个内角相等，且都等于,60.,旧知,回顾,我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？,如图，在,ABC,中，如果,B,=,C,，那么,AB,与,AC,之间有什么关系吗？,探究新知,我测量后发现,AB,与,AC,相等,.,3cm,3cm,有两个角相等的三角形是等腰三角形,(简称,“,等角对等边,”,).,探究归纳,例,1,一次数学实践活动的内容是测量河宽,.,如图,即测量,A,B,之间的距离,.,同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是,:,从点,A,出发,沿着与直线,AB,成,60,角的,AC,方向前进至,C,在,C,处测得,C=30.,量出,AC,的长,它就是河的宽度,(,即,A,B,之间的距离,).,这个方法正确吗,?,请说明理由,.,B,C,A,30,60,D,例题,探究,B,C,A,30,60,D,温馨提示：,已知：,DAC=60C=30,说明：,AC=AB.,DAC=B+C,（三角形外角的性质）,ABC=DAC,C=60,30,=30,解：,小聪的测量方法正确，理由如下：,ABC=C,AB=AC,例,2,已知：如图，在,ABC,中，,AB=AC,，点,D,，,E,分别是,AB,，,AC,上的点，且,DE,BC,.,求证：,ADE,为等腰三角形,.,证明：,AB,=,AC,，,B,=,C,.,又,DE,BC,，,ADE,=,B,，,AED,=,C,.,ADE,=,AED,.,ADE,为等腰三角形,.,三个角都是,60,的三角形是等边三角形,.,由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：,有一个角是,60,的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？,动脑筋,如图，在等腰三角形,ABC,中，,AB=AC,.,由三角形内角和定理得,A,+,B,+,C,=180.,如果顶角,A,=60,，,则,B,+,C,=180,-,60=120.,又,AB,=,AC,，,B,=,C,.,B,=,C,=,A,=60.,ABC,是等边三角形,.,例,3,已知：如图，,ABC,是等边三角形，点,D,，,E,分别在,BA,，,CA,的延长线上，且,AD,=,AE,.,求证：,ADE,是等边三角形,.,证明：,ABC,是等边三角形，,BAC,=,B,=,C,=60.,EAD,=,BAC,=60,，,又,AD,=,AE,，,ADE,是等边三角形,（有一个角是,60,的等腰三角形是等边三角形）,补充例题,1.,已知：等腰三角形,ABC,的底角,ABC,和,ACB,的平分线相交于点,O,.,求证：,OBC,为等腰三角形,.,A,B,C,D,E,O,证明：,ABC,和,ACB,的平分线相交于点,O,，,ABD=,DBC=,，,ACE=,ECB=,，,课堂,练习,DBC=,ECB,，,OBC,是等腰三角形,.,又,ABC,是等腰三角形，,ABC=,ACB,，,A,B,C,D,E,O,2.,已知：如图，,CD,平分,ACB,，,AE,DC,，,AE,交,BC,的延长线于点,E,，且,ACE,=60.,求证：,ACE,是等边三角形,.,证明,CD,平分,ACB,，,在,ACE,中，,CAE=,180,-,E,-,ACE=,60,又,ACE,=60,，,BCD=,E=,60,，,ACD=,DCB,，,ACD=,DCB=,60,，,又,AE,DC,，,CAE=,ACE,=,E=,60,ACE,是等边三角形,.,3.,已知：如图,，,AB,=,BC,，,CDE,=120,，,DF,BA,，且,DF,平分,CDE,.,求证：,ABC,是等边三角形,.,证明,AB=BC,，,ABC,是等边三角形,.,又,CDE,=120,，,DF,平分,CDE,.,FDC=,ABC=,60,，,ABC,是等腰三角形，,EDF=,FDC=,60,，,又,DF,BA,，,4,、如图，,BD,是等腰三角形,ABC,的底边,AC,上的高，,DEBC,，交,AB,于点,E,判断,BDE,是不是等腰三角形，并说明理由,A,E,D,C,B,等腰三角形两边长分别是,2cm,和,5cm,，则这个三角形周长为（）,A.9cm B.12cm,C.9cm,或,12cm D.14cm,B,解析,另一边长为,2cm,或,5cm,，,2，2，5,不符合三角形三边关系定理，故选,5.,周长为,5+5+2=12cm.,中考试题,例,1,例,2,若等腰三角形中有一个角等于,50,，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）,A.50,B.80,C.65,或,50,D.50,或,80,解析,因为,50,可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选,D.,D,