单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.4 实二次型的正定性与正定矩阵,定义,1,有实二次型 , 如果对,任意实向量,有 ，则称二次型 为,正定二次型,称,n,阶,实对称矩阵,A,为,正定矩阵,.,一、 正定二次型、正定矩阵的概念,例,是否为正定二次型?,【结论】,单位阵为正定矩阵.,定义,2,有实二次型 , 如果对,任意实向量,有 ，则称二次型 为,负定二次型,称,n,阶实对称矩阵,A,为,负定矩阵,.,定义,3,如果对,任意实向量 ,有 则称二次型 为,半正定,(半负定),二次型,称,n,阶实对称矩阵,A,为,半正定,(半负定),矩阵,.,6.4 实二次型的正定性与正定矩阵定义1 有实二次型,1,例如,(1),其中,(2),(3),正定,半正定,负定,【注】,如果对某些向量,X,实二次型 为正,而,对另一些向量,X,实二次型 为负, 则称该,二次型是不定的,.,例如 (1) 其中(2)(3)正定半正定负定【注,2,二、正定矩阵的充分必要条件,准则,1,n,阶实对称矩阵,A,正定,A,的特征值全为正数.,例,1,判断矩阵 是否为正定矩阵？,准则,1,推论,A,为正定矩阵,(4),判断是否正定？,【,解析,】,可求得,A,的全部特征值为,1,(二重)和,10, 则该实对称矩阵,A,的特征值全大于0, 故,A,为正定矩阵.,二、正定矩阵的充分必要条件 准则1 n阶实对称矩阵A正定,3,准则,2,n,阶实对称矩阵,A,正定,A,与,n,阶单位阵合同,准则,2,推论,（1）,n,阶实对称矩阵,A,正定,，,P,为实数域上的可逆矩阵；,与,A,合同的对角阵，对角线上元素为正；,A,的正惯性指数为,n,.,（2）,n,个变量的实二次型正定,标准形为,实数域上的规范形为,准则2 n阶实对称矩阵A正定 A与n阶单位,4,对于负定矩阵有类似的结论,1.,实对称矩阵,A,负定,A,的特征值全为负.,二次型为负定的 二次型的负惯性指数为,n,2.,实对称矩阵,A,负定, 则当,n,为偶数时,当,n,为奇数时,A,正定,-A,负定,二次型,f,为正定 二次型,-f,为负定,对于负定矩阵有类似的结论1. 实对称矩阵A负定,5,定义,2,n,阶矩阵,A,的,前,k,行,k,列,交叉处的元素，按原来顺,序构成的行列式 ，,称为,A,的,顺序主子式,.,例如,， ，,准则,3,n,阶实对称矩阵,A,正定,A,的全部顺序主子式都大于零.,续例,1,用准则,3,判断矩阵 是否为正定矩阵 ？,定义2 n阶矩阵A的前k行k列交叉处的元素，按原来顺例如,6,例,2,若二次型,是正定的, 则,t,的取值范围,?,【解析】,已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用,顺序主子式求解.,二次型矩阵为,【注】,需实对称阵,A,的全部顺序主子式都大于0才可判定,A,正定.,例2 若二次型是正定的, 则 t 的取值范围?【解析】已知,7,若,n,阶实对称矩阵,A,为正定矩阵，则有,1,，,A,可逆；,【,注,】,逆不真. 例如,3,A,主对角线上元素,三、 正定矩阵的性质,【,注,】,逆不真.例如,2,(,k,为正整数),， 均正定；,若n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则有1 ，A,8,5,A,正定, 且,A,与,B,合同,，则,B,也,正定.,6,对角阵,正定,4,设,A,、,B,正定，则,A+B,也,正定.,5A正定, 且A与B合同 ，则 B 也正定. 6对角阵,9,【总结】,正惯性指数为,n.,n,个变量的实二次型 正定,-f,为负定二次型.,实对称矩阵,A,为正定矩阵,实数域上的规范形为,标准形为,A,的特征值均大于,0,A,与单位阵,E,合同,存在可逆阵,P,使得,A,的各阶顺序主子式, 0,【总结】正惯性指数为n.n个变量的实二次型,10,例,5,证明,（1）,若 正定，有实数域上矩阵 ， ，,则 正定.,【,解析,】,看齐次线性方程组,PX,=,O, 其为,m,个未知量,n,个方程的齐次线性方程组, 由 , 则该方程组只有零解.,则对任意,m,维非零列向量,X, 有,于是有,故 正定.,例,4,A,为,n,阶实对称矩阵, 且满足,证明,A,为正定矩阵.,例,3,设,A,为,n,阶正定矩阵,E,为,n,阶单位阵,证明,例5 证明【解析】看齐次线性方程组PX=O, 其为m个未知,11,（,2,）,有实数域上的,n,阶方阵,A,可逆，则 正定.,【法二】,由,A,可逆, 则对任意,n,维实列向量,X,O, 有,AX,O,所以 正定.,【,法一,】,由,A,可逆, 则有 , 则与单位阵合同, 所以 正定.,【,解析,】要注意首先要说明 是实对称矩阵.,（2）有实数域上的n阶方阵A可逆，则 正定,12,矩阵之间的关系,等价,A , B,都为,m,n,矩阵, 若存在,m,阶可逆矩阵,P,和,n,阶可逆矩阵,Q, 使得 则称,A,与,B,等价.,相似,设,A,B,均为,n,阶矩阵，如果存在可逆矩阵,C,，使得 ，则称,A,与,B,合同，记作 .,设,A, B,为,n,阶矩阵，如果存在,可逆矩阵,U,，,使得 ，则称,A,与,B,相似,，记作,A,B,.,合同,矩阵之间的关系等价A , B 都为mn 矩阵, 若存在m阶,13,例,2,设,A,和,B,为,实对称矩阵,，则（ ）成立.,（A）,AB,A,与,B,合同；,AB,（,B,）,A,与,B,合同,C,A,(,B,)反例,则,A,与,B,合同, 但不相似.,例,1,设,A,和,B,为,n,阶矩阵,，则（ ）成立.,（,A,）,AB,A,与,B,合同；,A,和,B,等价；,（,C,）,AB,（,B,）,A,和,B,等价,A,与,B,合同；,（,D,）,A,和,B,等价,AB,（,E,）,A,与,B,合同,AB,例2设A和B为实对称矩阵，则（ ）成立.A与B合同；,14,基本概念,正定二次型、正定矩阵、顺序主子式,基本理论,正定矩阵的充分必要条件：三条准则及推论,基本方法,正定矩阵的性质,判断二次型、实对称矩阵是否正定,确定参数使实对称矩阵正定,基本概念 正定二次型、正定矩阵、顺序主子式基本理论正定矩阵的,15,