,数学,北师大版,八年级下册,小结与复习,第五章分式与分式方程,数学北师大版八年级下册小结与复习第五章分式与分式方程,要点梳理,一、分式,1.,分式的概念：,一般地，如果,A,、,B,都表示整式，且,B,中含有字母，那么称 为分式,.,其中,A,叫做分式的分子，,B,为分式的分母,.,2.,分式有意义的条件：,对于分式 ：,当,_,时分式有意义；,当,_,时无意义,.,B0,B=0,要点梳理一、分式1.分式的概念： 一般地，如果A、B都,3.,分式值为零的条件：,当,_,时，分式 的值为零,.,A,=0,且,B,0,4.,分式的基本性质：,分式的符号法则,:,3.分式值为零的条件：当_时，分式,5.,分式的约分：,约分的定义,根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的,公因式,约去，叫做分式的,约分,最简分式的定义,分子与分母没有公因式的式子，叫做,最简分式,注意：,分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为,最简分式或整式,.,5.分式的约分：约分的定义根据分式的基本性质，把一个分式的分,约分的基本步骤,(1),若分子,分母都是,单项式,，则,约去,系数的最大公约数,，并约去相同字母的,最低次幂,；,(2),若分子,分母含有,多项式,，则先将多项式,分解因式,，然后约去分子,分母所有的,公因式,约分的基本步骤(1)若分子分母都是单项式，则约去系数的最大,6.,分式的通分：,分式的通分的定义,根据分式的基本性质，使分子、分母同乘,适当的整式（即最简公分母），,把,分母不相同,的分式变成,分母相同,的分式，这种变形叫分式的通分.,最简公分母,为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的,所有因式,的,最高次幂,的积作公分母，叫做最简公分母,.,6.分式的通分：分式的通分的定义根据分式的基本性质，使分子、,二、分式的运算,1.,分式的乘除法则：,2.,分式的乘方法则：,二、分式的运算1.分式的乘除法则：2.分式的乘方法则：,3.,分式的加减法则：,(1),同分母分式的加减法则：,(2),异分母分式的加减法则：,3.分式的加减法则：(1)同分母分式的加减法则：(2)异分母,4.,分式的混合运算：,先算,乘方，,再算,乘除，,最后算,加减，,有括号的,先算括号里面的,.,计算结果要化为,最简,分式或整式,4.分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，,三、分式方程,1.,分式方程的定义,分母中含未知数的方程,叫做,分式方程,.,2.,分式方程的解法,(1),在方程的两边都乘以,最简公分母,，约去分母，化成整式方程,.,(2),解这个整式方程,.,(3),把整式方程的解代入,最简公分母,，如果最简公分母的值,不为,0,，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去,.,三、分式方程1.分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做分式方,3.,分式方程的应用,列分式方程解应用题的一般步骤,(1),审,:,清题意，并设未知数；,(2),找,:,相等关系；,(3),列,:,出方程；,(4),解,:,这个分式方程；,(5),验,:,根（包括两方面,:,是否是分式方程的根；,是否符合题意）；,(6),写,:,答案,.,3.分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤(1)审:清题,考点一 分式的有关概念,例,1,如果分式 的值为,0,，那么,x,的值为,.,【,解析,】,根据分式值为,0,的条件：分子为,0,而分母不为,0,，列出关于,x,的方程，求出,x,的值，并检验当,x,的取值时分式的分母的对应值是否为零,.,由题意可得：,x,2,-1=0,解得,x,=1,.,当,x,=-1,时，,x,+1=0,;,当,x,=1,时，,x,+1 0.,【,答案,】,1,考点讲练,1,考点一 分式的有关概念例1 如果分式 的值,分式有意义的条件是分母不为,0,，,分式无意义的条件是分母的值为,0,；分式的值为,0,的条件是：分子为,0,而分母不为,0,.,归纳总结,分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0,针对训练,2.,如果分式 的值为零，则,a,的值为,.,2,1.,若分式 无意义，则 的值,.,-3,针对训练2.如果分式 的值为零，则a的值为,考点二 分式的性质及有关计算,B,例,2,如果把分式中的,x,和,y,的值都扩大为原来,的,3,倍，则分式的值（）,A.,扩大为原来的,3,倍,B.,不变,C.,缩小为原来的,D.,缩小为原来的,考点二 分式的性质及有关计算B例2 如果把分式,针对训练,C,3.,下列变形正确的是,( ),针对训练C3.下列变形正确的是( ),例,3,已知,x,= ,y,=,，,求 值,.,【,解析,】,本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值,.,把,x,= ,y,=,代入得,解：原式,=,原式,=,例3 已知x= ,y=,对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值,.,但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法,.,归纳总结,对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化,4.,有一道题：“先化简，再求值,: ,其中 ”,.,小玲做题时把 错抄成,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事,?,针对训练,解,:,结果与,x,的符号无关,4.有一道题：“先化简，再求值:,例,4,解析：本题若先求出,a,的值，再代入求值，显然现在解不出,a,的值，如果将 的分子、分母颠倒过来，即求 的值，再利用公式变形求值就简单多了,例4解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显然现在解不出a的,利用,x,和,1/,x,互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁,归纳总结,利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的,5.,已知,x,2,-5,x,+1=0,求出,的值,.,解：,x,2,-5,x,+1=0,得,即,针对训练,5.已知x2-5x+1=0,求出 的值.解：x2,考点三 分式方程的解法,例,5,解下列分式方程：,【,解析,】,两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到,x,的值，经检验即可确定出分式方程的解,解：（,1,）去分母得,x,+1+,x,1=0,，解得,x,=0,，,经检验,x,=0,是分式方程的解；,（,2,）去分母得,x,4=2,x,+23,，解得,x,=3,，,经检验,x,=3,是分式方程的解,考点三 分式方程的解法例5 解下列分式方程：,解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根,归纳总结,解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程,解：最简公分母为（,x,+2,）（,x,2,），,去分母得（,x,2,）,2,（,x,+2,）（,x,2,）,=16,，,整理得,4,x,+8=16,，解得,x,=2,，,经检验,x,=2,是增根，故原分式方程无解,针对训练,解：最简公分母为（x+2）（x2），针对训练,考点四 分式方程的应用,例,6,从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是,400,千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的,1.3,倍,(1),求普通列车的行驶路程；,解析：,(1),根据高铁的行驶路程是,400,千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的,1.3,倍，两数相乘即可；,解：,(1),根据题意得,4001.3,520(,千米,),答：普通列车的行驶路程是,520,千米；,考点四 分式方程的应用例6 从广州到某市，可乘坐普通,(2),若高铁的平均速度,(,千米,/,时,),是普通列车平均速度,(,千米,/,时,),的,2.5,倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短,3,小时，求高铁的平均速度,解析：设普通列车的平均速度是,x,千米,/,时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短,3,小时，列出分式方程，然后求解即可,(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/,解：设普通列车的平均速度是,x,千米,/,时，则高铁的平均速度是,2.5,x,千米,/,时，根据题意得,解得,x,120,，经检验,x,120,是原方程的解，则高铁的平均速度是,1202.5,300(,千米,/,时,),答：高铁的平均速度是,300,千米,/,时,解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.,针对训练,7.,某施工队挖掘一条长,90,米的隧道，开工后每天比原计划多挖,1,米，结果提前,3,天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖,x,米，则依题意列出正确的方程为（ ）,A.,B.,C.,D.,C,针对训练7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计,8.,某商店第一次用,600,元购进,2B,铅笔若干支，第二次又用,600,元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了,30,支,.,求第一次每支铅笔的进价是多少元？,解：设第一次每支铅笔进价为,x,元，根据题意列方程，得,解得,x,=4.,经检验，故,x,=4,原分式方程的解,.,答：第一次每支铅笔的进价为,4,元,.,8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用6,考点五 本章数学思想和解题方法,主元法,例,7.,已知： ，求 的值,.,【,解析,】,由已知可以变形为用,b,来表示,a,的形式，可得 ，代入约分即可求值,.,解： ， ,.,考点五 本章数学思想和解题方法主元法例7.已知：,已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值,.,这种方法即是,主元法,，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元,.,那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用,.,归纳总结,已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代,解：由 ，得 ，,把 代入可得原式,=,9.,已知 ，求 的值,.,本题还可以由已知条件设,x,=2,m,y,=3,m,.,针对训练,解：由 ，得 ， 把,分式,分式,分式的定义及有意义的条件等,分式方程,分式方程的应用,步骤,一审二设三列四解五检六写，尤其不要忘了验根,类型,行程问题、工程问题、销售问题等,分式的运算及化简求值,分式方程的定义,分式方程的解法,课堂小结,分式分式分式的定义及有意义的条件等分式方程分式方程的应用步,谢谢！,谢谢！,数学,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,北师大版,八年级下册,5.4,分式方程,第,1,课时分式方程的概念及列分式方程,第五章分式与分式方程,数学导入新课讲授新课当堂练习课堂小结北师大版八年级下册5.,1.,理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法,.,（难点）,2.,能根据题意列,分式方程,.(,重点）,学习目标,1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.（难,导入新课,情境引入,甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍,（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？,（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程；,（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh那么y满足怎样的方程,导入新课情境引入 甲、乙两地相距1400km，,讲授新课,分式方程的概念及列分式方程,一,问题,1,甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍,（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？,（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程；,等量关系：乘高铁列车=乘特快列车-9，,高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度2.8倍；,讲授新课分式方程的概念及列分式方程一问题1 甲、乙两地相,（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh那么y满足怎样的方程,（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh那么y满足怎样,问题,2,为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款,.,已知第一次捐款总额为,4800,元，第二次捐款总额为,5000,元，第二次捐款人数比第一次多,20,人，而且两次人均捐款额恰好相等,.,如果设第一次捐款人数为,x,人，那么,x,应满足怎样的方程？,问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召,思考,由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？,分母中都含有未知数,.,思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点,分式方程的概念,分式方程的特征,分母中含有未知数的方程叫做分式方程,.,（,1,）是等式；,（,2,）方程中含有分母；,（,3,）分母中含有未知数,.,知识要点,分式方程的概念 分式方程的特征分母中含有未知数的方程叫做分式,判一判,下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？,整式方程,分式方程,方法总结,:,判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数,(,注意：,不是未知数,),判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方,例1,下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？,解,：（,2,）、（,3,）是分式方程，（,1,）、（,4,）、（,5,）是整式方程，（,6,）不是方程,.,注意：判断一个方程是不是分式方程，关键是看分母中有没有未知数,.,（,4,）中,是一确定的数不是未知数,.,典例精析,例1 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？解：（2,例,2,一艘轮船在静水中的最大航速为,20,千米/时,它沿江 以最大航速顺流航行,100,千米所用时间,与以最大航速逆流航行,60,千米所用时间相等,江水的流速为多少?,解：,设江水的流速为,v,千米,/,时，根据题意，得,思考：,结合问题,1,和,2,，我们发现列分式方程和一元一次方程有什么共同特点？,步骤一样,例2 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江,列分式方程的步骤：,（,1,）审清题意，明确题目中的未知数；,（,2,）根据题意找等量关系，列出分式方程,.,归纳总结,列分式方程的步骤：（1）审清题意，明确题目中的未知数；归纳总,当堂练习,1.,下列属于分式,方程的是（ ）,A,当堂练习1.下列属于分式方程的是（ ）,2.,岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同设每个笔记本的价格为x元，则可列方程,_.,2.岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作,3.,某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务设原计划每天铺设,管道,x,m，则可得方程,_.,3.某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽,课堂小结,分式方程,概念,列方程步骤,分母中含有未知数的方程叫做分式方程,.,1.,审清题意，明确题目中的未知数；,2.,根据题意找等量关系，列出分式方程,.,课堂小结分式方程概念列方程步骤分母中含有未知数的方程叫做分式,谢谢！,谢谢！,