21.4,二次函数的应用,第,1,课时 二次函数的应用中的面积、利润最值问题,21.4 二次函数的应用,新课导入,某水产养殖户用长,40m,的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗,.,要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？,新课导入 某水产养殖户用长40m的围网，在水库,解：设围成的矩形水面的一边长为,x,m,，那么，矩形水面的另一边长应为（,20-,x,）,m.,若它的面积是,S,m,2,，则有,S,=,x,(20-,x,),将这个函数的表达式配方，得,S,=-,(,x,-10),2,+100,（,0,x,20,）,.,解：设围成的矩形水面的一边长为xm，那么，矩形水面的另一边长,25,O,5,10,15,20,x,/,m,50,75,100,S,/m,2,如图，这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，它的顶点坐标是（,10,100,）,.,所以，当,x,=10,时，函数取得最大值，即,S,最大值,=100(m,2,).,此时，另一边长,=20-10=10(m).,答：当围成的矩形水面边长都为,10m,时，它的面积最大为,100m,2,.,25O5101520 x/m5075100S/m2如图，这个函,利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：,1.,根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；,2.,确定自变量的取值范围；,3.,根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；,4.,根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值,.,利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件,.,市场调查反映：如调整价格，每涨价,1,元，每星期要少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,20,件已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,探究,进价,/,元,售价,/,元,数量,/,件,利润,现价,涨价,降价,分析：,40,60,300,60+,n,300-10,n,60-,m,300+20,m,40,40,某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查,进价,/,元,售价,/,元,销量,/,件,利润,现价,涨价,降价,40,60,300,60+,n,300-10,n,60-,m,300+20,m,40,40,解,:(1),设每件涨价,n,元，利润为,y,1,.,则,y,1,=(60+,n,40)(300 10,n,),即,y,1,=-10,n,2,+100,n,+6000,其中，,0,n,30.,利润,=,售价,销量,-,进价,销量,=(,售价,-,进价,),销量,怎样确定,n,的取值范围？,可得：,0,n,30.,进价/元售价/元销量/件利润现价涨价降价406030060+,y,1,=-10,n,2,+100,n,+6000,（,0,n,30,）,抛物线,y,1,=-10,n,2,+100,n,+6000,顶点坐标为,，,所以商品的单价上涨,元时，利润最大，为,元,.,(5,6250),5,6250,n,取何值时，,y,有最大值？最大值是多少？,=-10(,n,2,-10,n,)+6000,=-10(,n,-5),2,+6250,即,涨价情况下，,定价,65,元时，,有,最大利润,6250,元,.,涨价：,y1=-10n2+100n+6000 （0n30）,进价,/,元,售价,/,元,销量,/,件,利润,降价,40,60-,m,300+20,m,解,:(2),设每件降价,m,元，利润为,y,2,.,则,y,2,=(60-,m,40)(300+20,m,),即,y,2,=-20,m,2,+100,m,+6000,其中，,0,m,20.,怎样确定,m,的取值范围？,可得：,0,m,20.,降价,情况下的最大利润又是多少呢,?,进价/元售价/元销量/件利润降价4060-m300+20m解,y,2,=-20,m,2,+100,m,+6000 (,0,m,20),抛物线,y,2,=-20,m,2,+100,m,+6000,顶点坐标为,，,所以商品的单价,下降,元时，利润最大，为,元,.,(2.5,6125),2.5,6125,m,取何值时，,y,有最大值？最大值是多少？,即,降价情况下，,定价,57.5,元时，,有,最大利润,6125,元,.,降价：,=-20(,m,2,-5,m,)+6000,=-20(,m,-2.5),2,+6125,y2=-20m2+100m+6000 (0m20,（,2,）降价情况下，,定价,57.5,元时，,有,最大利润,6125,元,.,（,1,）涨价情况下，,定价,65,元时，,有,最大利润,6250,元,.,综上可知：,该商品的价格定价为,65,元时，可获得最大利润,6250,元,.,（2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.（,随堂练习,1.,如图，四边形的两条对角线,AC,、,BD,互相,垂直，,AC,+,BD,=10,，,当,AC,、,BD,的长是多少时，四边形,ABCD,的面,积最大？,解：,设,AC=x,四边形,ABCD,面积为,y,则,BD,=(10-,x,).,即当,AC,、,BD,的长均为,5,时，四边形,ABCD,的面积最大,.,随堂练习1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC,2.,用一段长为,30m,的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,(,如图所示,),墙长为,18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少,?,解：设矩形的长为,x,m,面积为,y,m,2,则矩形的宽为,m.,0,x,18.,2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所,3.,已知矩形的周长为,36cm,，,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？,解：,设矩形的长为,x,cm,，,圆柱的侧面积为,y,cm,2,，,则矩形的宽为,(18-,x,)cm,，,绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等,.,有,y,=2,x,(18-,x,),-2(,x,-9),2,+162(0,x,18).,当,x,=9,时，,y,有最大值为,162.,即当矩形的长、宽各为,9cm,时，圆柱的侧面积最大。,3.已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆,4.,某种商品每件的进价为,30,元，在某段时间内若以每件,x,元出售，可卖出,(200-,x,),件，应如何定价才能使利润最大？,解：,设所得利润为,y,元,由题意得,y,=,x,(200-,x,)-30(200-,x,),=-,x,2,+230,x,-6000,=-(,x,-115),2,+7225 (0,x,200),当,x,=115,时，,y,有最大值,.,即当这件商品定价为,115,元时，利润最大,.,4.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售,5.,某种文化衫以每件盈利,20,元的价格出售，每天可售出,40,件,.,若每件降价,1,元，则每天可多售,10,件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？,解：设每件应降价,x,元，每天的利润为,y,元，,由题意得：,y=,(20-,x,)(40+10,x,),=-10,x,2,+160,x,+800,=-10(,x,-8),2,+1440 (0,x,20).,当,x=,8,时，,y,取,最大值,1440.,即当每件降价,8,元时，每天的盈利最多。,5.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件.,课堂小结,图形面积最值问题：,由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题,.,利用二次函数解决利润问题的一般步骤：,审清题意，理解问题；,分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；,列出函数关系式；,求解数学问题；,求解实际问题,.,课堂小结图形面积最值问题：利用二次函数解决利润问题的一般步骤,