*,*,5.2.泰勒公式,精益求精,引言,本节从利用一阶导数做近似计算及估计误差入手,导入,Taylor公式,利用高阶导数和多项式函数做一般函数的近似计算及估计误差.,主要内容,1.利用一阶导数做近似计算,(1)近似计算;(2)估计误差,2.,Taylor,公式及几种余项形式,11/19/2024,1,1.近似计算,于是,一、利用(一阶)导数作近似计算,指的是对复杂函数用简单计算,方法得到一定精度的计算结果.,y,x,o,11/19/2024,2,1.近似计算于是一、利用(一阶)导数作近似计算指的是对复杂,这就是利用导数作近似计算的公式。,.,11/19/2024,3,这就是利用导数作近似计算的公式。.9/22/20233,例1.如图，加工圆锥台时计算刀架应取角 .,s,因 一般相当小，故,解：,于是,从而,11/19/2024,4,例1.如图，加工圆锥台时计算刀架应取角 .s因,例2.开方的近似计算.,常用近似公式（充分小有）：,由此可得,11/19/2024,5,例2.开方的近似计算.常用近似公式（充分小,例3.计算 的近似值.,解：,查表得 0.4848,加题,11/19/2024,6,例3.计算 的近,误差估计,例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米，,误差为 毫米.,设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米，,误差为 毫米.,称这种误差为,绝对误差,，表明了一个量与它的近似值之间,的差值，反映了某种近似程度.,是指估计近似值与精确值的差,11/19/2024,7,误差估计例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.0,上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长,（120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见，,一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小，,故需计算绝对误差占总长度的百分比（即,相对误差,）.例如：,轴：,键销：,称这样的百分比为,相对误差.,显然，轴长精度比键销,长的精度高得多.一般地，有定义：,11/19/2024,8,上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长,Def:,相对误差,11/19/2024,9,Def:相对误差9/22/20239,例4.,多次测量一根圆钢,测得其直径的平均值为D50毫米，,绝对误差不超过0.05毫米.试计算其截面积,并估计其误差.,解：,S,的,绝对误差：,相对误差：,11/19/2024,10,例4.多次测量一根圆钢,测得其直径的平均值为D50毫,二、,Taylor,公式,简单函数,多项式,复杂的函数,近似,表示,从而,近似公式,近似计算和理论分析中,11/19/2024,11,二、Taylor 公式简单函数多项式复杂的函数近似表示从而近,为提高近似精度，可用,二次多项式,作近似代替,（,二阶近似,）,且要求,一般地，可用,n,次多项式,作近似代替,（,n,阶近似,）,且,11/19/2024,12,为提高近似精度，可用二次多项式作近似代替（二阶近似）且要求一,11/19/2024,13,9/22/202313,例5.,上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.,近似程度是多少,？,教材P198例4,11/19/2024,14,例5.上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.近似,Th：,Taylor,公式（也称马克劳林,(,Maclaurin,),公式），,式中 叫做,Lagrange,余项.,此函数可表示为以下多项式函数形式,11/19/2024,15,Th：Taylor公式（也称马克劳林(Maclaurin,证明,：,作辅助函数,再作辅助函数,11/19/2024,16,证明：作辅助函数再作辅助函数9/22/202316,利用,Cauchy,定理,，得,Lagrange,余项,还可写为：,又,因此余项又可表示为,称为,皮亚诺(,Peano,)余项,.,将以下代入上式,得:,(证毕),11/19/2024,17,利用Cauchy定理，得Lagrange 余项还可写为：又因,注1：,Cauchy,余项,注2：,由余项可见，不论缩小,x,或增大阶数,n,都可提高精度.,11/19/2024,18,注1：Cauchy 余项注2：由余项可见，不论缩小x或增大,Lagrange,余项,或,Peano,余项,11/19/2024,19,Lagrange 余项或Peano 余项9/22/20231,例5 中,误差,为(Lagrange余项),11/19/2024,20,例5 中,误差为(Lagrange余项)9/22/20232,例6.求,的幂函数展开式,时的,Maclaurin,公式,解:,所以,Lagrange余项,11/19/2024,21,例6.求的幂函数展开式时的Maclaurin 公式解:所以L,加题,Maclaurin,公式,11/19/2024,22,加题Maclaurin 公式9/22/202322,例7.,Peano,余项,.,Maclaurin,公式,解:,将x=0依次代入，得,11/19/2024,23,例7.Peano余项.Maclaurin 公式 解:,特别，,二项式展开公式,Peano,余项,.,11/19/2024,24,特别，二项式展开公式Peano余项.9/22/202324,例8.,Peano,余项,.,Maclaurin,公式展开,解:,加题,同学们做题要多算几项找出规律,11/19/2024,25,例8.Peano余项.Maclaurin 公式展开解:加题同,例9.,解：,加题,Peano,余项,.,分项分式法,利用前面ppt24结果对两项分别展开,11/19/2024,26,例9.解：加题Peano余项.分项分式法利用前面ppt24结,例10.,解：,加题,Peano,余项,.,利用例8,结果展开,然后再还原,11/19/2024,27,例10.解：加题Peano余项.利用例8然后再还原9/22/,例11.,求,注3.,函数的,Taylor,公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段，从而可将无理或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解，大大简化计算.,Peano,余项,.,加题,11/19/2024,28,例11.求 注3.函数的Taylor公式是函数,小结:,1.利用一阶导数做,近似计算,公式,相对误差,2,.,绝对误差,Taylor 公式:把一个一般函数用n次多项式函数表示的形式.(高阶导数),注意:(1)系数 (2)余项形式,Maclaurin 公式是,Taylor,公式的特殊形式.,作业:P203 2.3.7(1).(3),估计误差:,使用方法,11/19/2024,29,小结:1.利用一阶导数做近似计算公式相对误差,