,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线 性 代 数 综 合,练 习 题,（三）,第1页,第1页,一、填空题：,；,解,：把行列式按第一列展开,第2页,第2页,第一个行列式按第三行展开，第二个行列式按第一行展开，,2、设,A,为四阶方阵，且,R,（,A,）=2，则,；,解,：由于,A,为四阶方阵，且秩为2，因此,A,任何3阶子式为零，而,A,伴随矩阵 元素为,A,3阶子式，故 为零矩阵，因此 0。,第3页,第3页,3、设向量组,秩为2，则t=;,解,：对下面矩阵施行初等行变换,由于,秩为2，因此,A,秩也为2，故,第4页,第4页,4、已知n 阶可逆阵,A,任意行和等于2，则 一个特性值为 ；,解,：由于,A,任意行和为2，因此,即2为,A,一个特性值，,为相应特性向量，,因此5为 一个特性值。,第5页,第5页,5、设,A,，,B,均为n阶方阵，且,则,。,解,：,因此答案为,第6页,第6页,二、选择题,1,.设 线性相关,线性无关,则正确结论是,线性无关,线性表示,答:正确结论为C.,线性相关,线性表示,第7页,第7页,2、设,为正定二次型，则 t 取值范围,解,：由于f为正定二次型，因此二次型矩阵,A,为正定矩阵，故,A,行列式不小于零，即,解得,因此选(c).,第8页,第8页,3、设,A,为 矩阵，B 为,矩阵，则下面结论正确是。,解,：由于,AB,为m阶方阵，当 时，有,因此选(b).,第9页,第9页,4、,A,为n阶方阵，则 必为,正交阵；(b)对称阵;,(c)可逆阵；(d)正定阵。,解,：,因此 为对称矩阵。,第10页,第10页,5、设n阶方阵,A,，,B,，,C,满足,ABC,=,E,，则下面结论正确是,(a),ACB,=,E,;(b),CBA,=,E,;(c),BAC,=,E,;(d),BCA,=,E,.,解,：由于,ABC,=,E,，因此,A,可逆，,且,A,逆矩阵为,BC,，因此有,BCA=E，故选(d).,第11页,第11页,解,：由于A为正交矩阵，因此有,即,故选(d).,6、已知A为正交矩阵，则 为,(a)1 ;(b)-1;(c)0;(d)1 或 1。,第12页,第12页,1,.设三阶矩阵,其中 均为三维行向量.且,求,解,:,三，计算下面各题：,第13页,第13页,2、验证,是 一个基，,并将 用该基线性表示。,解,：由于 是三个三维向量，故只需证实它们线性无关即可，也就是由它们为列构成矩阵,A,与单位矩阵,E,等价，而 由它们线行表示，就是求方程组 解，因此对矩阵,第14页,第14页,施行初等行变换,第15页,第15页,因此 线性无关，,即为 一个基，且 由,线性表示为,3、四元非齐次线性方程组,AX,=b,且,R,(,A,)=2,已知,是它三个解向量，求其通解。,其中,第16页,第16页,解,：,由于非齐次线性方程,AX,=b,为四元，且,R,(,A,)=2,因此相应齐次线性方程组基础解系含有两个解向量，,为,AX,=b解，,为,AX,=b一个特解，,第17页,第17页,为方程组,AX,=0两个解，且是线性无关，因此能够作为基础解系，因此非齐次线性方程组通解为,(其中 为任意实数),第18页,第18页,4、设二阶方阵,A,满足,求,A,n,。,解,：由已知得,第19页,第19页,5、设向量组,A,：,求：秩,及一个,极大无关组(写出计算过程)。,解,：由 为列构成矩阵,A,，并对其施行初等行变换，,第20页,第20页,因此，秩 为3，,为一个极大无关组。,第21页,第21页,四、设线性方程组,判断其相容性，若相容，求出其所有解。,解,：对增广矩阵,B,=(,A,b)施行初等行变换,第22页,第22页,第23页,第23页,可知,R,(,A,)=,R,(,B,)=3,因此方程组是相容，其同解方程组为,取 为自由未知量，得方程组所有解为,(其中,c,为任意实数)。,第24页,第24页,五、设方阵,问：,A,是否能够对角化，若 能够，求出一个正交阵，使其化为对角阵。,解,：由于,A,是一个实对称矩阵，因此必存在一个正交矩阵,P,，使 即,A,能对角化；,解特性方程 得,A,特性值，,第25页,第25页,当 时，解方程组,即,得基础解系解向量为,它们已经正交，只需单位化取,第26页,第26页,当 时，解方程组,即,得基础解系解向量为,单位化得,以,为列构成矩阵,P,既为所求正交矩阵，易证,其中,第27页,第27页,六、设二次型,用正交变换法将其化为原则形,并写出所用正交变换。,解,：二次型矩阵为,解,A,特性多项式,第28页,第28页,即,解得,A,特性值为,当 时，解方程组,得基础解系,单位化得,第29页,第29页,当 时，解方程组,得基础解系,当 时，解方程组,得基础解系,单位化得,第30页,第30页,由 为列作正交矩阵,易验证,因此二次型经正交变换,X=PY,化为原则形,第31页,第31页,所用正交变换为,若进一步地令 用正交变换把其化为原则形，并拟定k为何值时，B为正定阵，则由,得,因此,有,即有正交变换,X=PY,使,第32页,第32页,当 时，B为正定阵。,第33页,第33页,完,第34页,第34页,