,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1,第十二讲常微分方程数值解法,1第十二讲常微分方程数值解法,2,第十二讲主要知识点,欧拉（,Euler,）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形法的预估校正法,欧拉法的收敛性,龙格库塔方法、线性多步法、预估校正法*。,一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法*,2第十二讲主要知识点欧拉（Euler）方法、向后欧拉法、梯形,3,问题的提出,在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解是常见的。本章着重讨论一阶方程初值问题,的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解，,其基本思想是完全一样的,解初值问题有多种解,析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才,能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。,初值问题的数值解法，就是寻求方程的解,在自变量,的一系列离散节点上的近似值。,3问题的提出在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解是,4,问题的提出(续1),初值问题,4问题的提出(续1)初值问题,5,问题的提出(续2),相邻两节点间的距离 称为步长，通常在计算上采用相等的步长 ，这时等距节点 ，,初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按递推方法由已知的 求出 。所以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。,5问题的提出(续2)相邻两节点间的距离,6,问题的提出,(续3),将微分方程两端从,到,积分，得,这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式的解,利用各种求积公式就可以得到一些求,的近似公式。,6问题的提出(续3)将微分方程两端从到积分，得这样，求原初值,7,Euler,方法,(,推导,2,）,差商方法,7Euler 方法(推导2）差商方法,8,Euler,方法,数值积分方法,8Euler方法数值积分方法,9,Euler,方法,(续),数值积分方法,9Euler方法(续)数值积分方法,10,隐式,Euler,方法,向后差商,10隐式Euler方法向后差商,11,二步,Euler,方法,中心差商,11二步Euler方法中心差商,12,梯形公式,12梯形公式,13,梯形公式,(续),梯形公式(见上页)，实际上是,Euler,方法和隐式,Euler,方法的算术平均。,梯形公式的精度为二阶。,例：用梯形公式求下列初值问题的解在,13梯形公式(续)梯形公式(见上页)，实际上是Euler方法,14,改进的,Euler,方法,改进的,Euler,方法为,Euler,方法和梯形公式的结合，也称作预估-校正法。,14改进的Euler方法改进的Euler方法为Euler方法,15,改进的,Euler,方法,(续1),嵌套形式,15改进的Euler方法(续1)嵌套形式,16,改进的,Euler,方法,(续2),16改进的Euler方法(续2),17,局部截断误差,称一种数值方法是,p,阶的，如果其局部截断误差为,。,Euler,方法和隐式,Euler,方法的精度是一阶的。,二步,Euler,方法的精度是二阶的。,17局部截断误差称一种数值方法是p阶的，如果其局部截断误差为,18,龙格-库塔方法,改进的,Euler,方法也可写成,18龙格-库塔方法改进的Euler方法也可写成,19,二阶龙格-库塔方法,19二阶龙格-库塔方法,20,二阶龙格-库塔方法,(续1),要使二阶方法的局部截断误差为 ，四个系数值应满足下列关系式：,20二阶龙格-库塔方法(续1)要使二阶方法的局部截断误差为,21,二阶龙格-库塔方法,(续2),特例1：,21二阶龙格-库塔方法(续2)特例1：,22,二阶龙格-库塔方法,(续3),特例2：,22二阶龙格-库塔方法(续3)特例2：,23,三阶龙格库塔方法,23三阶龙格库塔方法,24,四阶龙格库塔方法,24四阶龙格库塔方法,25,例题分析,25例题分析,26,两点说明,26两点说明,27,变步长的龙格,库塔方法,27变步长的龙格库塔方法,28,公式,28公式,29,线性多步法,29线性多步法,30,线性多步公式的导出,30线性多步公式的导出,31,线性多步公式的导出,(续1),31线性多步公式的导出(续1),32,线性多步公式的导出,(续2),32线性多步公式的导出(续2),33,线性多步公式的导出,(续3),33线性多步公式的导出(续3),34,线性多步公式的导出,(续4),34线性多步公式的导出(续4),35,线性多步公式,35线性多步公式,36,常用的线性多步公式,36常用的线性多步公式,37,常用的线性多步公式,(续),37常用的线性多步公式(续),38,利用数值积分方法求线性多步公式,38利用数值积分方法求线性多步公式,39,利用数值积分方法求线性多步公式,(续1),39利用数值积分方法求线性多步公式(续1),40,利用数值积分方法求线性多步公式,(续2),40利用数值积分方法求线性多步公式(续2),41,利用数值积分方法求线性多步公式,(续3),41利用数值积分方法求线性多步公式(续3),42,利用数值积分方法求线性多步公式,(续4),42利用数值积分方法求线性多步公式(续4),43,利用数值积分方法求线性多步公式,(续5),43利用数值积分方法求线性多步公式(续5),44,线性多步法小结,44线性多步法小结,45,本讲结束！谢谢大家！再见！,45本讲结束！谢谢大家！再见！,