单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,反证法,反证法,1,（,2,）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？,?,思,考,l,1,l,2,A,B,C,P,如图，假设过同一条直线,l,上三点,A,、,B,、,C,可以作一个圆，设这个圆的圆心为,P,，那么点,P,既在线段,AB,的垂直平分线,l,1,上，又在线段,BC,的垂直平分线,l,2,上，即点,P,为,l,1,与,l,2,的交点，而,l,1,l,，,l,2,l,这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆,（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？?思考l1l2AB,2,先,假设,命题的结论不成立，然后由此经过推理得出,矛盾,(,常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾,),，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做,反证法,什么叫反证法,？,反证法的思维方法：,正难则反,先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、,3,证明：在 中，若 是直角，则 一定是锐角。,试一试,试一试,4,证明：假设结论不成立,则,B,是,_,或,_.,当,B,是,_,时，则,_,这与,_,矛盾；,当,B,是,_,时，则,_,这与,_,矛盾；,综上所述,假设不成立,.,B,一定是锐角,.,直角,钝角,直角,B+C=180,三角形的三个内角和等于,180,钝角,B+C,180,三角形的三个内角和等于,180,证明：假设结论不成立,则B是_或_.当,5,反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：,(1),命题的结论是否定型的；,(2),命题的结论是无限型的；,(3),命题的结论是“至多”或“至少”型的,.,反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：,6,1,2,理解反证法的思维过程及其特点,；,【,明标导学,】,知道,何时用,反证法，掌握运用反证法,证明数学问题的一般步骤，,能运用,反证法证明简单的数学问题,12理解反证法的思维过程及其特点；【明标导学】知道何时用反证,7,【,重点,】,理解反证法的思维过程和特点。,【,难点,】,运用反证法证题时，一定要用到假设。,【重点】理解反证法的思维过程和特点。,8,路边苦李,王戎,7,岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子,.,小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动,.,王戎回答说,:“,树在道边而多子,此必苦李,.”,小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李,.,王戎是怎样知道李子是苦的呢,?,他运用了怎样的推理方法,?,路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李,9,假设李子是甜的,那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李子会很少。,事实上树上的李子很多,这与事实相矛盾。,造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误的，说明原来的结论：路边的李子是苦的是正确的。,假设李子是甜的那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李子会很少。,10,走进生活,妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,“,啪”的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。,请你思考，是谁打破了碗呢？,走进生活 妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷,11,推理方法,假设“,不是妈妈打破的”,因妈妈和妹妹在厨房洗碗，应是妹妹打破，妈妈会,大发雷霆,与已知条件,“然后一片寂静”,产生矛盾,假设,“不是妈妈打破”,不成立,所以,“,是妈妈打破了碗,”,.,“,妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,啪的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。”,求证：是妈妈打破了碗,.,刚才的推理方法和以前所学的方法一样吗？,推理方法假设“不是妈妈打破的”因妈妈和妹妹在,12,反证法的概念,先提出与命题的结论,相反,的假设,推出,矛盾,从而证明命题成立,.,这种证明的方法叫做反证法,.,注：反证法,是最常见的,间接证法,，,注：,直接证明难以下手的命题,，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。,反证法的概念注：反证法是最常见的间接证法，注：直接证明难以,13,1.,请说出下列各结论的反面：,（,1,）,a,0,（,2,）,b,是正数,（,3,）,ab,(,4,),至少有一个,a=0,b,是,0,或负数,a,不垂直于,b,一个也没有,快乐尝试,相信自己,1.请说出下列各结论的反面：a=0b是0或负数a不垂直于b一,14,快乐尝试,2,、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？,_,假设三角形中有两个或三个角是直角,快乐尝试2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，,15,快乐尝试,3.,（,中考变式题,）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于,60”,，应先假设这个三角形中（）,A,、有一个内角小于,60,B,、每一个内角都小于,60,C,、有一个内角大于,60,D,、每一个内角都大于,60,B,快乐尝试 3.（中考变式题）用反证法证明“三角形中至少,16,在,ABC,中，若,ABAC,，,则,BC,.,如何说明呢？,方 法 迁 移,C,B,A,假设,李子是甜的,假设,B=C,那么,AB=AC,，,这与已知条件,ABAC,相,矛盾,假设不正确，,则,BC,假设不正确,，则李子是苦的。,那么,李子会被过路人摘去解渴,则李子会很少，这与事实相,矛盾。,方法迁移,问题,：,探究,：,解：假设,B=C,AB=AC,，,这与已知条件,ABAC,相矛盾，假设不正确,BC,在ABC中，若ABAC，方 法,17,典例分析,那么,c,与,a,平行，,这与已知“,c,与,a,相交”矛盾,.,因此假设不成立,证明：,假设,c,与,b,不相交，,c,与,b,也相交,已知：直线,a,，,b,，,c,，,ab,，,c,与,a,相交,.,求证：,c,与,b,也相交,.,当一个命题不易直接证明时，可以考虑反证法,由于直线,ab,，,则,c,与,b,平行，,a,b,c,否定结论,推出矛盾,肯定结论,你能总结出以上这种证明方法的步骤吗,?,典例分析 那么c与a平行，,18,你能对小华的判断说出理由吗？,二、反证法的步骤,(1),否定,命题的,结论,；,(2),根据正确的逻辑推理，,推出矛盾,（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则,否定假设,；,(3),肯定,原命题的,结论,是正确的。简记：,否定结论,推出矛盾,肯定结论,，其中推出矛盾是关键。,你能对小华的判断说出理由吗？二、反证法的步骤,19,A,证明：假设,a,与,b,不平行，则,可设它们相交于点,A,。,那么过点,A,就有两条直线,a,、,b,与直线,c,平行，这与,“,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。,a/b.,小结,：,根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾,已知：如图有a、b、c三条直线，且a/c,b/c.求证：a/b,a,b,c,直接证明有困难,A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。小结：根据假,20,21,已知,a0,，,证明：关于,x,的方程,ax=b,有且只有一个根。,注：,唯一性命题,(,命题的结论是“有且只有”，“只有一个，“唯一存在”等,),常用反证法。,21 已知a0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。,求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。,已知：,ABC,求证：,ABC,中至少有一个内角小于或等于,60,.,证明：假设,，,则,。,，,即,。,这与,矛盾假设不成立,ABC,中没有一个内角小于或等于,60,A60,B60,C60,A+B+C180,三角形的内角和为,180,ABC,中至少有一个内角小于或等于,60,.,点拨：至少的反面是没有！,试一试,A+B+C60+60+60=180,注,:,“,至少”、“至多”型命题,常用反证法,求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于6,22,人教版数学九年级上册24,23,用反证法应注意的事项,:,（,1,）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；,（,2,）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪,（,3,）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。,用反证法应注意的事项:,24,达标测试,1.,下列命题宜用反证法证明的是 （）,A.,等腰三角形两腰上的高相等,B.,有一个外角是,120,的等腰三角形是等边三角形,C.,两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行,D.,全等三角形的面积相等,2.,证明“在,ABC,中至多有一个角是直角和钝角”时的第一步应假设（）,A.,三角形至少有一个角是直角或钝角,B.,三角形中至少有两个直角或钝角,C.,三角形中没有直角或钝角,D.,三角形中三个角都是直角或钝角,3.,已知：,A,B,C,是,ABC,的内角，,求证：,A,B,C,中不能有两个角是钝角。,C,B,达标测试1.下列命题宜用反证法证明的是,25,（,1,）直接证明有困难,正难则反,!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加以证明？,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”,（,2,）唯一性命题,（,3,）至多，至少型命题,一：何时使用反证法,（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法,26,二：怎么用,（,1,）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；,（,2,）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；,（,3,）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。,二：怎么用,27,人教版数学九年级上册24,28,