,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,概率数理统计,概率数理统计概率数理统计抽样分布统计推断从样本中推断总体,主要目标：归纳和预测,统计量的概率分布称为抽样分布,总体大小,样本容量,选择样本的方法,例：依据 的抽样分布对参数 做出推断,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,抽样分布,统计推断从样本中推断总体,主要目标：归纳和预测,统计量的概率分布称为抽样分布,总体大小,样本容量,选择样本的方法,例：依据 的抽样分布对参数 做出推断,重要统计量,统计量：由随机变量组成的一随机样本的函数，不含任何未知参数,样本均值，描述样本中心趋势,样本方差，描述样本的波动性,n,阶原点矩,均值的抽样分布,样本容量为,n,的 的抽样分布,实验不断重复（样本容量为,n,），产生多次的值时的一个分布,描述样本在总体均值,附近的平均变化,n,个随机样本来自,N,(,2,),总体,N,(,2,/,n,),S,2,的抽样分布,S,2,统计量,引入：,分布,定义:,X,1,X,2,X,n,i.i.d,N,(0,1),随机变量,所服从的分布为自由度为,n,的卡方分布，也就是,(n/2,)分布，其密度函数为：,n=1,n=4,n=10,n=15,卡方分布特性,自由度为,n,的卡方分布：,=,n,2,=2,n,卡方分布的可加性,推论：,X,1,X,2,X,n,i.i.d,N,(,2,),随机变量,服从自由度为,n,的卡方分布。,Fisher(费歇尔)定理,如果,S,2,是,x,i,N,(,2,)的样本方差统计量，且 与,S,2,相互独立,则随机变量,样本 ,N,(,2,/n,)，实际中没有已知的,值，只能通过,S,进行估计,考察统计量：,引入,t,分布,t,分布（学生氏分布）,定义：,X,N,(0,1),Y,2,(,n,)，且,X,与,Y,相互独立，称随机变量,所服从的分布为自由度为,n,的,t,分布，,t,t,(n),密度函数为：,t,分布特性,n,=1时，,E,(,t,)不存在,n,2时，,E,(,t,)=0,n,时（,n,45），,t,分布趋向于标准正态分布,n=1,n=5,n=60,n=10,结论：,X,1,X,2,X,n,i.i.d,N,(,2,),随机变量,为符合自由度为,n,-1的,t,分布。,t,分布被大量用于总体均值的推断、样本比较等问题上,F,分布（方差比分布）,定义：,X,2,(,n,)，,Y,2,(,m,)，且,X,与,Y,相互独立，称随机变量,所服从的分布为自由度为(,n,m,)的,F,分布，,F,F,(,n,m,),F,分布的密度函数,(1,10),(5,10),(10,10),(60,10),用于比较多种类型的样本方差问题，如：比较样本是否来源于不同总体,分布的分位数,在统计推断时，需要知道给定概率下，对应随机变量的取值。,定义：,设,X,是随机变量，0,1，若实数,Z,满足,则称Z,为,X,的,分位点。,p,分位点可以由分布表查得,第二章 样本估计,抽样估计,点估计,极大似然估计,最小二乘法,区间估计,统计推断,主要方法,经典方法和贝叶斯方法,估计,例1：通过随机抽样的100名投票者的意见来估计支持某位候选人的投票者的比例,例2：通过随机抽样，估计整批产品的次品率,假设检验,例：假设A的支持率比B高，通过适当的检验后，验证推翻这个假设,点估计方法,要求,估计的,“,误差,”,应较小,当,n,较大时，估计的,“,精度,”,应较高,常用的点估计：,矩估计法,极大似然估计法,最小二乘估计法,极大似然估计,基本思想：,一个随机试验有很多可能结果，如果在一次试验中，某结果发生了，则认为该结果,(,事件,),发生的可能性最大。,Fisher,极大似然估计,例：,一老战士与一新同学一同进行射击训练，每人打了一枪，结果有一枪中靶,.,试问这一枪是谁打中的？,分析：,按照,Fisher,的极大似然思想，应该认为是老战士打中的较合理。,定义：,设 是总体 的样本,令,若存在统计量 使得：,称 为,似然函数,则称 为 的,极大似然估计,简记为,MLE,Maximum Likelihood Estimation,估计量的评选标准,均值估计：选择,样本均值,还是,中位数,？,选择标准：,无偏性标准、有效性标准,定义：若估计量,的数学期望,存在,且 有,则称 为,的,无偏估计，,否则称为,有偏估计,。,称：,为估计量 的偏差,样本,x,i,N,(,2,),样本均值 ，样本方差,极大似然估计,ML,=,可以证明：,，,S,2,是无偏估计,ML,、,2,ML,本身符合高斯分布,无偏估计,有偏估计，,N ,，渐进无偏，偏差可以忽略,有效估计,定义：,某种参数,所有可能的无偏估计量，其中最小方差的估计量是,的最有效估计量,的三个估计量中，,1,和,2,是无偏的，,1,的方差小于,2,的方差，因此更有效。,作业,1.证明：自由度为,n,的卡方分布,(n/2,)分布,2.证明统计量样本均值、样本方差分别是,，,2,的无偏估计,3.根据所给的资料，学习掌握常用分布（正态分布、卡方分布、,t,分布和,F,分布）的绘制方法,回归（Regression）问题,Fit the data using a polynomial function,y,(,x,w,),is a nonlinear function of,x,It is a linear function of the coefficients,w,可以转化为多元线性回归问题求解,确定参数,最小二乘法：,计算值与观测值之间的误差的平方最小,误差函数,The error function corresponds to(one half of)the sum of the squares of the displacements(shown by the vertical green bars)of each data point from the function,y(x,w).,.,残差图,一元线性函数,t,=,w,0,+,w,1,x,min,Gaussian,（1777-1855）,数学王子，数学成就比肩牛顿、阿基米德,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。,最重要贡献：,算术研究,精品课件,！,精品课件,！,费歇尔,Fisher,Ronald Aylmer（1890.2.171962.7.29）,英国统计与遗传学家，现代统计科学的奠基人之一。,在遗传学的研究中，不断发展其变异数分析理论，他在,1925,所著,研究工作者的统计方法,影响力超过半世纪，遍及全世界。,巨著,天择的遗传理论,说明孟德尔的遗传定律与达尔文的理论相辅相成，认为演化的驱力主要来自选择的因素远重於突变的因素。这本著作将统计分析的方法带入演化论的研究，为解释现代生物学的核心理论打下坚实的基础。,谢谢大家！,谢谢大家！,