单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,课前回顾,x,y,z,Q,r,o,1、球坐标系,2、球坐标系与直角坐标系互化,x,y,z,其中 称为矢径，相当于经度，称为余纬度。,课前回顾,x,y,z,o,P(,z,),Q,3、柱坐标系,4、柱坐标系与直角坐标系互化,x,y,其中 称为极径，为极角，称为竖直坐标。,课前一练,x,y,z,o,A,Q(,3,),P(,3,),B,=,课前一练,S,A,B,C,（,O,）,x,z,y,O,课前一练,S,A,B,C,（,O,）,x,z,4.2.1,曲线的极坐标方程的意义,学习目标,1,掌握极坐标方程的意义,;,2,能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程,;,3,感受与应用极坐标方程的意义,;,高中数学选修4-4坐标系与参数方程,1,、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？,2,、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义；,3,、叙述求曲线方程的步骤；,知识回顾,情境：以极点,O,为圆心,5,为半径的圆上任意一点极径,为,5,，反过来，极径为,5,的点都在这个圆上。,互动思考,问题：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？,因此,以极点为圆心,5,为半径的圆可用方程,=5,来表示,.,在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足曲线方程。,定义,：一般地,若一条曲线上任意一点都有,一个,极坐标适合方程,f,(,)0,；反之,极坐标适合方程,f,(,)0,的点都在曲线上,则这个方程称为,这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为,这个极坐标方程的曲线,.,我们知道：,在直角坐标平面上,曲线可以用,x,、,y,的二元方程,f,(,x,y,)=0,来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。,同理,:,在极坐标平面上,曲线也可以用关于,、,的二元方程,f,(,)0,来表示,这种方程称为曲线的极坐标方程。,互动思考,求曲线的极坐标方程：,类似于曲线直角坐标方程求法的基本步骤，可以得,求曲线的极坐标方程基本步骤：,（,1,）建立适当的极坐标系；,（建系）,（,2,）在曲线上任取一点 ；,（设点）,（,3,）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；,（列式）,（,4,）用极坐标 表示上述等式,并化简极坐标方程；,（化简）,（,5,）证明所得的方程是曲线的极坐标方程；,（证明）,例,1,求过点,A(2,0),且垂直于极轴的直线的极坐标方程。,解：如图所示，在所求直线,L,上任取一点,P(,)，,连结,OP,则,OP,，POA,在,RtPOA,中，由于,OA/OP=cos，,即,2/,cos,所以,cos=2,为所求直线的极坐标方程。,O,x,P(,),A(2,0),求曲线的极坐标方程：,要注意：数形结合！,变式训练,1,：,已知点,P,的极坐标为,(1,),，求过点,P,且垂直于极轴的直线极坐标方程。,O,x,A(,),解：如图所示，在所求直线,L,上任取一点,A(,)，,连结,OP,则,OA,，XOA,在,RtAPO,中，由于,OP/OA=cos(,-,)，,即,1/,-,cos,所以,cos=,-,1,为所求直线的极坐标方程。,要注意：数形结合！,例,2:,求圆心在,C(r,0),半径为,r,的圆的极坐标方程。,解：如图所示，,|OP|OA|cosPOA,故所求圆的极坐标方程为,2rcos,设,P（,）,为圆上任意一点，由于,OPAP,即,2rcos,|OA|=2r，POA,则,示例分析,变式训练,2,：,求圆心在,C（r,/2),半径为,r,的圆的极坐标方程,解：,如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周经过极点。,设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为,A，,则,A,点的极坐标为（,r,/2)。,设圆上任意一点为,P（,，），,连结,PA，,则,OP,，POx,在,RtPOA,中，由于,cosPOA=|OP|/|OA|，,所以,故,2rsin,为所求圆的极坐标方程。,特别结论,我们知道,在直角坐标系中，,x,=,k,(,k,为常数)表示一条平行于,y,轴的直线；,y=,k,(,k,为常数)表示一条平行于,x,轴的直线。,类似可有：,在极坐标系中，,k,(,k,为常数)表示圆心在极点、半径为,k,的圆；,k,(,k,为常数)表示极角为,k,的一条直线（过极点）。,x,O,k,x,O,k,例,3.,根据要求解题：,（,1,）化直角坐标方程,x,2,+y,2,-8y=0,为极坐标方程；,（,2,）化极坐标方程,=6cos(,-,/3),为直角坐标方程。,解,(1),因为,则有,经检验所求方程为：,示例分析,(2),解,:,因为,=6cos(-/3),所以,经检验所求方程为：,（,2,）化极坐标方程,=6cos(-/3),为直角坐标方程。,变式训练,3,：,1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：,(1),cos=4,(2),=5,(3),=2rsin,（,1,）解：把 代入上式，得它的直角坐标方程,x,=4,（,2,）解：两边同时平方，得,2,=25,把,2,=,x,2,+,y,2,代入上式，得它的直角坐标方程,x,2,+,y,2,=25,(3),解：两边同时乘以,，得,2,=2rsin,把,2,=,x,2,+y,2 ,sin=y,代入上式，得它的直角,x,2,+y,2,=2ry,即,x,2,+(y-r),2,=r,2,1.,在极坐标系中,我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置,.,2.,极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法,.,课 堂 小 结,