第三章 函数的应用,3.1,函数与方程,3.1.1,方程的根与函数的零点,1.,借助二次函数的图象与,x,轴的交点和相应一元二 次方程根的关系，理解函数零点的概念。体会函 数的零点与方程的根及函数图象之间的联系。,2.,理解并会用函数的零点存在定理判断函数零点所在区间。,3.,在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值,.,探究一：,下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？,与,与,与,思考：与对应的二次不等式的解集有何关系呢？,引申,:,二次函数 的图象和相应一元二次方程 的根有何关系,?,判别式,0,0,0,方程 的根,两不相等实数根,一个交点,没有交点,二次函数,的图象与,x,轴的交点,两个交点,两相等实数根,没有实数根,对于函数,y=f(x),我们把使,f(x)=0,的,实数,x,叫做函数,y=f(x),的,零点,函数零点的定义：,思考：函数 的图象与 轴的交点和相应的方程 的根有何关系？,x,方程,f,(,x,),0,有实数根,函数,y,f,(,x,),的图象与,x,轴有交点,函数,y,f,(,x,),有零点,函数,y=f(x),的零点就是方程,f(x)=0,的实数根，也就是函数,y=f(x),的图象与,x,轴交点的横坐标。,【,质疑探究,1】,零点是“点”吗,?,【,质疑探究,2】(1),如何确定函数零点,?,(2),方程、函数、图象之间的关系蕴含哪些重要,的解题思想方法,?,函数思想、数形结合思想、化归与转化的思想,点悟：,函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零。,探究二：,函数零点的存在条件,1,2,3,4,5,-1,-2,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,x,y,观察二次函数,f,(,x,),x,2,2,x,3,的图象：,在区间,-2,，,1,上有零点,_,；,f,(-2)=_,，,f,(1)=_,，,f,(-2),f,(1)_0(,“,”,或,“,”,),在区间,(2,，,4),上有零点,_,；,f,(2),f,(4)_0,（,“,”,或,“,”,）,1,4,5,3,1,2,3,4,5,-1,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,y,你发现什么特点了吗？,x,y,O,a,b,c,d,思考：观察图象填空，在怎样的条件下，,函数 在区间 上存在零点？,在区间,(a,b),上,f(a),f(b)_0,在区间,(a,b),上,_(,有,/,无,),零点；,在区间,(b,c),上,f(b),f(c)_0,在区间,(b,c),上,_(,有,/,无,),零点；,在区间,(c,d),上,f(c),f(d)_0,在区间,(c,d),上,_(,有,/,无,),零点；,有,有,有,零点存在定理：,辨析：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例,（,1,）已知函数,y=f(x),在区间,a,b,上连续，且,f(a),f(b)0,，则,f(x),在区间,(a,b),内有且仅有一个零点,.,（）,（,2,）已知函数,y=f(x),在区间,a,b,上连续，且,f(a),f(b)0,，则,f(x),在区间,(a,b),内没有零点,.,（）,（,3,）已知函数,y=f(x),在区间,a,b,满足,f(a),f(b)0,，则,f(x),在区间,(a,b),内存在零点,.,（）,解：,（,1,）已知函数,y=f(x),在区间,a,b,上连续，且,f(a),f(b)0,，则,f(x),在区间,(a,b),内有且仅有一个零点,.,（）,a,b,O,x,y,如图,函数,y=f(x),在区间,a,b,上有,3,个零点,“,在区间,(a,b),内有且仅有一个零点,”,的说法是错误的,.,（,2,）已知函数,y=f(x),在区间,a,b,上连续，且,f(a),f(b)0,，则,f(x),在区间,(a,b),内没有零点,.,（）,a,b,O,x,y,可知，函数,y=f(x),在区间,a,b,上连续，且,f(a),f(b)0,，但,f(x),在区间,(a,b),内有零点,.,故论断不正确。,如图,（,3,）已知函数,y=f(x),在区间,a,b,满足,f(a),f(b)0,，则,f(x),在区间,(a,b),内存在零点,.,（）,a,b,O,x,y,虽然函数,y=f(x),在区间,a,b,满足,f(a),f(b)0,但是图象不是连续的曲线，则,f(x),在区间,(a,b),内不存在零点,如图,由表可知,f(2)0,，,由于函数,f(x),在定义域,(0,+),内是增函数，所以它仅有一个零点,用计算器或计算机列出,x,、,f(x),的对应值表：,例,2.,求函数,f(x)=lnx+2x,6,的零点的个数.,解,：,10,8,6,4,2,-2,-4,5,1,2,3,4,6,x,y,O,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,f(x),-4,-1.3,1.1,3.4,5.6,7.8,9.9,12.1,14.2,方法,1,f(x)=lnx+2x,6,从而,f(2),f(3)0,函数,f(x),在区间,(2,3),内有零点,y=,2x+6,y=lnx,6,O,x,1,2,3,4,y,即求方程,lnx+2x-6=0,的根的个数，即求,lnx=6-2x,的根的个数，即判断函数,y=lnx,与函数,y=6-2x,的交点个数,如图可知，两函数只有一个交点，即方程只有一根。,方法,2,：,点悟：,1.函数f(x)的零点就是f(x)=0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实数根，有几个实数根。,2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象交点的横坐标。,求函数的零点个数可转化为求两函数的交点个数。,练习,:,求方程,2,-x,=x,的根的个数,解：,求方程 的根的个数，即求方程,的根的个数，即在判断函,数 与,的图象交点个数。由图可,知只有一解。,y=x,y,1,O,x,1,2,3,4,探究三：,二次方程的根与函数零点的转化,点悟:,一元二次方程的根分布在某区间上可转化为相应的二次函数的零点位于某区间上进行探究。,方程有实数根 函数的图象与 轴有交点 函数有,零点。,