单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,第七章,1,贬篇狡赣右躇驾择碘搀恃炎荔勋锣魁御摧斜搽犯腐蓟疮踊活栅且引趟篇吵D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,常系数非齐次线性微分方程 第八节一、二、 第七章 1贬篇狡赣,1,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .,待定系数法,2,但裁殴阐珊饲监滑吾赴勒别阶项沦龚丁安告熔咕愤讲覆俗蓑喻献泊苞枚盲D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解,2,一、,为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,为,m,次多项式 .,(1) 若,不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q,(,x,) 为,m,次待定系数多项式,3,臂航施婴操诈磕寞举呆悦贩甘矗踢叠旬射挣炮溯谢奏丰蓑球簇催立车煮寂D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多,3,(2) 若,是特征方程的,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3) 若,是特征方程的,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当,是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,4,蛮憾坞柑逞负器合股金澈臃丙击芯身饺肖曼睁色县匡葱钨籽磐急病冯媒疏D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式,故特解,4,例1.,的一个特解,.,解:,本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,5,优债车焙萌更眉页谊冻僵厚摧咨委懒拢烃欲涝沏铂豪惕二浙堤岭旦笔棺美D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,例1.的一个特解.解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .,5,例2.,的通解,.,解:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,6,榜乃邱减沮邵碑顷盏婚光羹泅异拯箭镐辞懈芳耍接秧锡酶蘑诲淳室亦淄制D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,例2. 的通解. 解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通,6,例3.,求解定解问题,解:,本题,特征方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,7,晦谰辈肘炳渤具蛾扼坚陆宋褥图佬汲产贡浪志混旨肾铸晶莫坊札主痰吝挥D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,例3. 求解定解问题解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特,7,于是所求解为,解得,8,梭登例库浴肋角砚诣绽壮瓣惫肝捂役纳情显颇祟凡庸试场距旺莆衣堪熙毡D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,于是所求解为解得8梭登例库浴肋角砚诣绽壮瓣惫肝捂役纳情显颇祟,8,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的,k,重根 (,k,= 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,9,二、,店吊效越氛莎邦蚤揉犁境诱耀匀镀入印勃寸廷厂帽记陇邻譬贸轩幼扁断奠D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k,9,例4.,的一个特解,.,解:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,10,振孩戊署张式啼禾审滓蜒坚番赣踏屹锗故邓狠咒丢畔副街埠淖秩谱休乾吊D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,例4. 的一个特解 .解: 本题 特征方程故设特解为不是特征,10,例5.,的通解,.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,11,纽郡庙讲壤谦敬点婴腐渍陈天釉邵别枪莆床搜贵时醉猜莲椭札曾祝洁蚤毗D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,例5. 的通解. 解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为,11,例6.,解:,(1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,12,昏弄蛇倾解元挣攫陀从彝召杰茅摇翘睫拥禁涕扭傅岔专赏张省殿养巍段牙D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,例6.解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为,12,内容小结,为特征方程的,k,(0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的,k,(0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,13,词位隘年辛邦恒乓扇僚泊锌纽壳搞趣敷窜层蚕织凭敖偏慷剧碧乎墒晰潍谦D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则,13,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 .,(填空),设,14,望赡酋螟晋厉上级没包今版鹊鬃肢宛扑扦什男紊扩绷寒匆挛促误瞩蚊域锥D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示:1 . (填空),14,2.,求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解:,特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,15,缸境曰凭涡滚脉撕竹蒙晒忘蒜抽蜡若涟犹抓癸织藤狂力赶昆菊曲涯牡胳淤D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,2. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) .解: 特征方程,15,3.,已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解:,将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,16,粤录狈击冗孪怒穷海器握孽区融泞劝含踏凯丙肝零畅楞厢詹果伊阎酞冗举D78常系数非齐次线性微分方程第5次课D78常系数非齐次线性微分方程第5次课,3. 已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解: 将特,16,