*,方向导数概念与计算公式,梯度概念与计算,小结 思考题 作业,directional derivative and gradient,第七节 方向导数与梯度,数量场与向量场的概念,第八章 多元函数微分法及其应用,1,1.方向导数的定义,设有二元函数,沿任何方向的变化率,考虑函数在某点,射线是指有方向的半直线,即,一、方向导数概念与计算公式,方向导数与梯度,2,定义,如果极限,存在,则将这个极限值称为函数,在点,记为,即,注,方向导数是函数沿半直线方向的变化率.,方向导数与梯度,3,2.方向导数的几何意义,的几何意义为曲面,当限制,自变量沿方向,变化时,对应的空间点,形成过,的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点,M,有一条,记此半切线与方向,的夹角为,则由方向导数的,半切线,定义得,方向导数与梯度,4,一定为正!,是函数在某点沿,任何方向,的变化率.,方向导数,偏导数,分别是函数在某点沿,平行于坐标轴,的直线,x,、,y,可正可负！,的变化率.,注,方向导数与梯度,5,事实上,的方向导数存在,事实上,同理,的方向导数存在,方向导数与梯度,存在时,6,方向导数与梯度,问:,反之,存在时,是否,一定存在,7,方向导数与梯度,例如,函数,沿方向,的方向导数,但,不存在.,即,z,在(0,0)点的偏导数不存在.,8,证,由于函数,可微,得到,3.关于方向导数的存在及计算公式,充分条件,定理,可微,则函数,且,则增量可表示为,两边同除以,方向导数与梯度,9,故有方向导数,方向导数与梯度,10,注,即为,(1),(2),计算方向导数只需知道,l,的方向及函数的,偏导数.,方向导数与梯度,在定点,的方向导数为,(3),(4)关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,.,0,的方向角,是,，,、,l,p,b,a,11,例,考虑函数 定点,P,0,(3,1),P,1,(2,3).求,函数在,P,0,沿 方向的方向导数.,解,方向导数与梯度,12,解,由方向导数的计算公式知,(1)最大值;,(2)最小值;,(3)等于零?,并问在怎样的方向上此方向导数有,例,方向导数与梯度,13,故,方向导数达到最大值,方向导数达到最小值,方向导数等于,和,(1)最大值;,(2)最小值;,(3)等于零?,问在怎样的方向上此方向导数有,方向导数与梯度,14,练习,方向导数与梯度,求,函数 在点,P,(2,3),沿曲线,朝,x,增大方向的方向导数.,用参数方程表示为,它在点,P,的,切向量为,解,将已知曲线,17,1,cos,=,a,15,推广可得三元函数方向导数的定义,对于三元函数,它在空间一点,的方向导数,可定义为,方向导数与梯度,同理,当函数在此点,可微,时,那末函数在该点,沿任意方向,l,的方向导数都存在,且有,是,l,的方向向量.,16,解,令,故,其方向余弦为,1991年研究生考题,计算,5分,例,方向导数与梯度,),1,1,1,(,6,3,2,2,2,2,P,z,y,x,n,在点,是曲面,设,=,+,+,处指向外侧的法向量,17,故,方向导数与梯度,18,练习,求函数 在点,处沿,解,切线方向的方向向量,在此,点的切线方向上,方向导数与梯度,曲线,的方向导数.,19,1996年研究生考题,填空,3分,解,此,方向的方向向量为,方向导数与梯度,20,问题,方向导数与梯度,二、梯度概念,与计算,已知方向导数公式,方向：,模：,方向一致时,方向导数取最大值,f,变化率最大的方向,f,的最大变化率之值,函数,沿什么方向的方向导数为最大,(gradient),一个二元函数在给定的点处沿不同方向,的方向导数是不一样的.,),cos,(cos,0,b,a,=,l,r,21,方向导数与梯度,定义,记作,读作nable.,即,为函数,称向量,梯度,(gradient),称为,或,算子,或,向量微分算子.,引入算符,哈米尔顿算子,设函数,可偏导,利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成,22,方向导数与梯度,梯度的基本运算公式,grad,),(,grad,2.,u,C,u,C,=,grad,grad,),(,grad,3.,v,u,v,u,=,v,u,u,v,v,u,+,=,),(,grad,),(,),(,grad,5.,u,u,f,u,f,=,23,结论,x,轴到梯度的转角的正切为,函数在某点的,梯度,是这样一个,向量,方向,与取得,最大方向导数,的方向一致,它的,而它的模,为方向导数的最大值.,梯度的模为,方向导数与梯度,24,在几何上,曲面被平面,所得曲线在,xOy,面上投影是一条平面曲线,等值线,梯度为等值线上的法向量,表示一个曲面,所截得,方向导数与梯度,如图:,25,法线的斜率,为:,为等值线上点,P,处的,法向量,.,所以,梯度,事实上,由于等值线,上任一点,方向导数与梯度,等值线,26,类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值,.,梯度的概念可以推广到三元函数,三元函数,在空间区域,G,内,则对于每一点,都可定义一个向量(梯度),具有一阶连续偏导数,方向导数与梯度,27,类似地,设曲面,为函数,此函数在点,的梯度的方向与过点,P,的等量面,在这点的法线的一个方向相同,的等量面指向数值较高的等量面,等于函数在这个法线方向的方向导数.,且从数值较低,而梯度的模,方向导数与梯度,28,解,故,例,并问在哪些点处梯度为零?,=0,=0,=0,方向导数与梯度,处的梯度,29,方向导数与梯度,设 可导,其中,处向径,的模,试证,证,例,为点,30,方向导数与梯度,例,设函数,(1)求出,沿什么方向具有最大的增长率,方向的变化率.,(2),最大增长率为多少?,解,(1),PQ,方向的方向向量为,31,方向导数与梯度,沿什么方向具有最大的增长率,(2),最大增长率为多少?,解,方向具有最大的增长率,最大的增长率为:,即为,梯度方向,.,32,1992年研究生考题,填空,3分,解,练习,方向导数与梯度,33,方向导数与梯度,函数,数量场,(数性函数),场,向量场,(矢性函数),可微函数,梯度场,(势),(势场,),如:温度场,电位场,密度场等,如:力场,速度场等,三、数量场与向量场的概念,(物理量的分布),34,例,解,其方向余弦为,方向导数与梯度,35,故,方向导数与梯度,36,方向导数的概念,梯度的概念,方向导数与梯度的关系,(注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的,区别),(注意梯度是一个,向量),梯度的方向就是函数,在这点增长,最快的方向.,方向导数与梯度,四、小结,数量场与向量场的概念,37,思考题,方向导数与梯度,在点,(是非题),非,函数,沿梯度方向的,方向导数最大.,因此,在(1,1)处最大的方向导数为,因为方向导数是数量,而梯度是向量.,两者,不能相等.,方向导数与梯度的关系是:,沿梯度方向的方向导数达到方向导数的最大值.,数值上等于梯度的模.,38,作业,习题8-7,(51页),2.3.4.5.7.10.,方向导数与梯度,39,