单击此处编辑母版标题样式,1.3 古典概型与几何概型,一、古典概型,二、基本组合分析,三、几何概型,有些概率是无法精确推断的,(主观概率),比如你对别人说你下一个周末去厦门的概率是百分之八十。,但你无法精确说出为什么是百分之八十而不是百分之八十四或百分之七十八。,其实你想说的是你很可能去，但又没有完全肯定。,实际上，到了周末，你或者去，或者不去；不可能有分身术把百分之八十的你放到厦门，而其余的放在别处。,概率的公理化定义只给出概率必须满足的三个基本性质，并未对事件,A,的概率,P(A),给定一个具体的数,也未给出概率,P(A),的,含义。,有些概率是可以估计的,(频率的稳定值),在有些实际问题中，通常可由其,物理特征,、,几何对称性,或,想像的完全随机性,，得出每个基本事件的发生的等可能性。,比如掷骰子。只要没有人在骰子上做手脚，你得到6点的概率应该是六分之一，得到其他点的概率也是一样。,得到6的概率或者机会是可以知道的，但掷骰子的结果还只可能是六个数目之一。,这个已知的概率就反映了规律性，而得到哪个结果则反映了随机性。,如果你掷1000次骰子，那么，大约有六分之一的可能会得到6；这也是随机性呈现有规律的一个体现。,比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。,我们把这类实验称为,等可能概型,，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做,古典概型,。,一、古典概型,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：,样本空间的元素只有有限个；,每个基本事件发生的可能性相同。,由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,1,m,2,n,古典概型中事件概率的计算,设,=,1,2,，,n,若事件,A,包含,m,个样本点，即,A,=,i1,i2,，,i,m,则有：,二、基本组合分析,乘法原理,若进行,A,1,过程有,n,1,种方法，进行,A,2,过程有,n,2,种方法，则进行,A,1,过程后再进行,A,2,过程共有,n,1,n,2,种方法。,n,1,n,2,n,2,n,2,n,2,A,1,A,2,加法原理,若进行,A1,过程有,n1,种方法，进行,A,2,过程有,n,2,种方法，假定,A,1,过程与,A,2,过程是并行的，则进行过程,A,1,或过程,A,2,的方法共有,n,1,n,2,种方法。,n,1,n,2,A,1,A,2,排列,：,从含有,n,个元素的总体中取出,r,个来进行排列。这时,既要考虑到取出的元素也要顾及其取出顺序。,(无放回选取)不可重复排列数,：,（有放回选取)可重复排列数,：,（,r n,时称为选排列；,r n,时称为全排列，记为,P,n,=n!,）,组合,：,从含有,n,个元素的总体中取出,r,个而不考虑其取出顺序。,(无放回选取)不可重复组合数,：,(有放回选取)可重复组合数,：,若,r,1,+r,2,+,+,r,k,=n，,把,n,个不同元素分成,k,类，第一类,r,1,个，,，,第,k,类,r,k,个，则不同的分法有：,二项,系数,多项系数,(分类数),例,1.12,一个袋子中装有10个大小相同的球，其中3个黒球，7个白球。求,(1)从袋子中任取一球，这个球是黒球的概率；,(2)从袋子中任取二球，刚好一个黒球一个白球的概率；,(3)从袋子中任取二球，二个全是黒球的概率。,例,1.13,将标号为1，2，3，4的四个球随机排成一行，求下列各事件的概率,(1)各球自左至右或自右至左恰好排列成1，2，3，4的顺序；,(2)第1号球排在最左边或最右边；,(3)第1号球与第2号球相邻。,(4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻)。,例,1.14,将,n,个球随意地放入,N,个箱子中(,Nn)，,其中每个球都等可能地放入任一个箱子，求下列各事件发生的概率：,(1)指定的,n,个箱子各放一球；,(2)每个箱子最多放入一球；,(3)某指定的箱子不空；,(4)某指定的箱子恰好放入,k,个球(,kn)。,例,1.15,一个袋子中装有,a+b,个球，其中,a,个黒球，,b,个白球。随意地每次从中取出一球(不放回)，求下列各事件的概率,(1)第,i,次取到的是黒球；,(2)第,i,次,才取到黒球；,(3)前,i,次中能取到黒球。,几何概型考虑的是有,无穷多个等可能结果,的随机试验。,首先看下面的例子。,例 1,(,会面问题,）甲、乙二人约定在 12 点到 5,点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，,且二人互不影响。求二人能会面的概率。,四、几何概型,解：,以,X,Y,分别表示甲乙二人到达的时刻，于是,即 点,M,落在图中的阴影部,分。所有的点构成一个正,方形，即有,无穷多个结果,。,由于每人在任一时刻到达,都是等可能的，所以落在正,方形内各点是,等可能的,。,0 1 2 3 4 5,y,x,5,4,3,2,1,.,M(X,Y),二人会面的条件是：,0 1 2 3 4 5,y,x,5,4,3,2,1,y,-,x,=1,y,-,x,=-1,一般，设某个区域,(,线段，平面区域，空间区域），,具有测 度,S(,),(,长度，面积，体积,)。如果随机实验,E,相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验,为 几何概型,。,A,如果事件,A,对应于点落在,内的某区域,A,，,则,例 2,(蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是,a,(,a,0),。,向平面任意投一长为,l,(,l,a,),的针，试求针与一条平行线相交的概率。,解：,设,x,是针的中点,M,到最近的平行线的距离，是针与此平行线的交角，投针问题就相当于向平面区域,取点的几何概型,。,l,M,x,M,x,D,A,0,