单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,双曲线及其标准方程,1,学习难点：,双曲线标准方程推导过程中的化简,.,学习目标：,1,.,了解双曲线的定义及几何图形；,2.,掌握双曲线的标准方程的两种形式,；,3.,学会利用定义去求解双曲线的标准方程,并提高自身的运算能力,.,学,习重点：,双曲线的定义和标准方程；,不同的条件下双曲线的标准方程的求法,.,2,问题,1,：,椭圆的定义是什么？,平面内与两个定点,F,1,F,2,的距离的,和,等于常数（,大于,|F,1,F,2,|,）的点的轨迹叫做,椭圆,。,问题,2,：,椭圆的标准方程是怎样的,?,，,关系如何？,问题,3,：,如果把椭圆定义中“,距离的,和,”改为“,距离的,差,”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？,复习引入,3,如图,(A),，,|MF,1,|-|MF,2,|=2,a,(,右支,),如图,(B),，,|MF,2,|,-,|MF,1,|=2,a,(,左支,),由可得：,|MF,1,|,-,|MF,2,|=2,a,（,差的绝对值,）,上面 两条曲线,合起来叫做,双曲线,每一条叫做双曲线,的一支。,看图分析动点,M,满足的条件：,根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？,4,平面内与两个定点,F,1，,F,2,的距离的,差的绝对值,等于常数（,小于,|F,1,F,2,|，且,不等于,0,）的点的轨迹叫做,双曲线,。,这,两个定点,F,1,，,F,2,叫做双曲线的,焦点,，,两焦点间的距离,|F,1,F,2,|,叫做双曲线的,焦距,。,通常情况下，我们把,|,F,1,F,2,|,记为,2c,（,c0),；,常数,记为,2a,(a0),.,问题,4:,定义中为什么强调,常数,要,小于,|F,1,F,2,|,且,不等于,0,（即,02a2c,则轨迹是什么？,若,2a=0,则轨迹是什么？,此时轨迹为以,F,1,或,F,2,为端点的,两条射线,此时,轨迹不存在,此时轨迹为线段,F,1,F,2,的垂直平分线,F,1,F,2,F,1,F,2,分,3,种情况来看：,6,二、双曲线标准方程的推导,建系,使 轴经过两焦点 ，轴为线段 的垂直平分线。,O,设点,设 是双曲线上任一点，,焦距为 ，那么 焦点 又设,|MF,1,|,与,|MF,2,|,的差的绝对值等于常数 。,列式,即,如何求这优美的曲线的方程？,？,数学的美！,多么美丽对称的图形！,7,将上述方程化为：,移项两边平方后整理得：,两边再平方后整理得：,由双曲线定义知：,即：,设,代入上式整理得：,两边同时除以,得：,化简,这个方程叫做,双曲线的,标准方程,，它所表示的双曲线的焦点在,x,轴,上，焦点是,F,1,(-c,，,0),，,F,2,(c,，,0).,其中,c,2,=a,2,+b,2,.,8,思,考,？,类比椭圆的标准方程，请思考焦点在,y,轴,上的,双曲线,的标准方程是什么？,其中,c,2,=a,2,+b,2,.,这个方程叫做,双曲线的,标准方程,，它所表示的双曲线的焦点在,y,轴,上，焦点是,F,1,(0,，,-c),，,F,2,(0,，,c).,9,三,.,双曲线两种标准方程的比较,方程用“,”号连接。,分母是 但 大小不定。,。,如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 的系数是正的，则焦点在 轴上。即,焦点跟着正的跑,O,M,F,2,F,1,x,y,F,2,F,1,M,x,O,y,10,？,双曲线的标准方程与椭圆的,标准方程有何区别与联系,?,11,定 义,方 程,焦 点,a.b.c,的关系,F,（,c,，,0,）,F,（,c,，,0,）,a0,，,b0,，但,a,不一定大于,b,，,c,2,=a,2,+b,2,ab0,，,a,2,=b,2,+c,2,四、双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF,1,|MF,2,|=2a,2c,椭 圆,双曲线,F,（,0,，,c,）,F,（,0,，,c,）,12,练一练,判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。,答案：,题后反思：,先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。,13,因此，双曲线的标准方程为,例1、已知双曲线的焦点 F,1,(-5,0),F,2,(5,0)，双曲线上一点P到,两个,焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.,根据已知条件，,|F,1,F,2,|=10,|PF,1,|-|PF,2,|=8,，,例题讲解,解：因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为,故,那么,14,例,2.,已知双曲线的焦点是,且经过点,M(2,-5),.,求双曲线的标准方程,.,解法一,:,又因为双曲线经过点,M(2,-5),方程联立可求得,:,因此，双曲线的标准方程为,由题意知,由题意知,双曲线的焦点在 轴上,所以设双曲线,的标准方程为,例题讲解,15,例,2.,已知双曲线的焦点是,且经过点,M(2,-5).,求双曲线的标准方程,.,解法二,:,由双曲线的定义知,:,双曲线的标准方程是,:,双曲线的焦点在 轴上,适时把定义作为解题工具是很重要的哦,!,例题讲解,16,使,A,、,B,两点在,x,轴上，并且点,O,与线段,AB,的中点重合,解,:,由声速及在,A,地听到炮弹爆炸声比在,B,地晚,2,s,可知,A,地与爆炸点的距离比,B,地与爆炸点的距离远,680,m,.,因为,|AB|680,m,所以,爆炸点的轨迹是以,A,、,B,为焦点的双曲线在靠近,B,处的一支上,.,例,3,已知,A,B,两地相距,800,m,在,A,地听到炮弹爆炸声比在,B,地晚,2,s,且声速为,340,m,/,s,求炮弹爆炸点的轨迹方程,.,如图所示，建立直角坐标系,x,O,y,设爆炸点,P,的坐标为,(,x,y,),，则,即,2a=680,，,a=340,x,y,o,P,B,A,因此炮弹爆炸点的轨迹方程为,17,已知双曲线的焦点为,F,1,(-5,0),F,2,(5,0),双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于,6,，则,(1)a=_,_,_,c=_,b=_,(2),双曲线的标准方程为,_,(3),双曲线上一点，,|PF,1,|=10,则,|PF,2,|=_,3,5,4,4,或,16,课堂巩固,18,x,2,与,y,2,的系数的大小,x,2,与,y,2,的系数的正负,c,2,=,a,2,+,b,2,小结：,（,1,）推导双曲线的标准方程；,（,2,）利用待定系数法求双曲线的标准方程；,（,3,）类比法。,焦点在,y,轴上的双曲线的方程是,_,；,椭圆的焦点由,_,决定；,双曲线的焦点由,_,决定；,在双曲线的标准方程中,a,b,c,的关系是,_,；,焦点在,x,轴上的双曲线的方程是,_,；,19,