,第七节 全概率公式,综合应用,第七节 全概率公式,用于计算比较复杂事件的概率,加法公式,乘法公式,P,(,A,+,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),A,、,B,互不相容,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B|A,),P,(,A,)0,(一)全概率公式,例如,一场精彩的足球赛将要举行，,5个球迷好不容易才搞到2张入场券.,大家都想去，怎么办？,入场券,入场券,空,空,空,抽签！,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”,“大家不必争先恐后，你们一个,一个按次序来，谁抽到入场券,的机会都一样大。”,解：显然，第一个人抽到入场券的概率为,入场券,入场券,空,空,空,下面，考虑,第二个人抽到入场券,的概率？,设,A,=第二个人抽到入场券,分析：,A,怎样发生的？,AB,1,AB,2,第一人抽到，第二人也抽到,第一人未抽到，第二人抽到,则,A,AB,1,+,AB,2,且,AB,1,和,AB,2,互不相容,设,B,1,=第一人抽到入场券,B,2,=第一人未抽到入场券,则,A,AB,1,+,AB,2,且,AB,1,和,AB,2,互不相容,所以,P,(,A,),P,(,AB,1,)+,P,(,AB,2,),运用加法公式得,P,(,B,1,),P,(,A|B,1,)+,P,(,B,2,),P,(,A|B,2,),运用乘法,公式得,将公式一般化，就得到全概率公式,抽签不必争先恐后！,入场券,入场券,空,空,空,设随机试验的样本空间为,。,1.全概率公式,A,AB,1,+,AB,2,+,AB,n,B,1,B,2,B,n,为互不相容的完备事件组(,划分,),且,P,(,B,i,)0，,i=,1,2,n,另有一事件,A,则,全概率公式的由来，不难由上式看出：,“全”部概率,P,(,A,)被分解成了许多部分之和。,它的理论和实用意义在于：,直接计算,P,(,A,)不容易时，考虑将事件,A,进行分割，借助样本空间,的一个划分,B,1,B,1,B,n,将事件,A,分成,AB,1,AB,1,AB,n,，,用所有的,P,(,AB,i,)之和计算,P,(,A,)，往 往可以简化计算。,例1 某工厂有3个车间生成同一种产品，据以往记录,有以下数据：,车间 次品率 提供份额,1 0.02 30,2 0.01 55,3 0.03 15,现从出厂产品中任取一件，问,恰好取到次品,的概率是多少？,目标事件,解：设,A,=取到的产品是次品,分析：,A,怎么发生的？,划分样本空间：,1，2，3个车间将样本空间分为三部分,合格品和次品将样本空间分为两部分,(复杂！),2.全概率公式举例,车间 次品率 提供份额,1 0.02 30,2 0.01 55,3 0.03 15,B,i,取到,i,车间的产品,i,1,2,3,解：设,A,=取到的产品是次品,则,A,AB,1,+,AB,2,+,AB,3,A,怎么发生的？,AB,1,1车间的次品,2车间的次品,AB,2,3车间的次品,AB,3,车间1应承担多少责任?,在实际生活中，还会遇到下面一类问题，是,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,现从出厂产品中任取一件，,发觉该产品是次品而且其标志已脱落,，厂方应如何处理此事较为合理？,或者问:,“已知结果求原因”,？,(二)贝叶斯公式,车间 次品率 提供份额,1 0.02 30,2 0.01 55,3 0.03 15,现从出厂产品中任取一件，,发觉该产品是次品,而且其标志已脱落，试求这件次品来自车间1的概率？,？,车间 次品率 提供份额,1 0.02 30,2 0.01 55,3 0.03 15,结果已发生,B,i,取到,i,车间的产品,i,1,2,3,解：设,A,=取到的产品是次品,所求为,运用全概,率公式,运用乘法公式,将公式一般化，就得到贝叶斯公式,P,(,B,1,|,A,),设随机试验是样本空间为,。,1.贝叶斯公式,B,1,B,2,B,n,为互不相容的完备事件组(,划分,),且,P,(,B,i,)0，,i=,1,2,n,另有一事件,A,则,i=,1,2,n,说明：,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们,确定某结果,(,事件,A,),发生的最可能的原因。,该公式由贝叶斯,(,Bayes,),给出。,他是在观察到事件,A,已发生的条件,下，寻找导致,A,发生的每个原因的,概率。贝叶斯公式的思想就是“执果溯因”。全概率,公式的思想是“由因推果”。,P,(,B,2,|A,),2.贝叶斯公式举例,0.7,0.9,0.1,0.1,“”,“”,“”,“”,例2 无线通信中，由于随机干扰，当发送信号“”时，未必收到信号“,”,，,如果整个发报过程中，信号“”和“”,分别占60%和40%，,当,收到“不清”时，,求原发信号为“”与“”的概率分别有多大？,“不清”,0.2,0,结果已发生,解：,A,收到信号“不清”,AB,1,发出“,”,收到“不清”,发出“,”，收到“不清”,AB,2,B,1,发出信号“,”，,B,2,发出信号“,”,所求为,P,(,B,1,|A,)，,例 3(疾病普查问题)某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，,试验结果是阳性，,问此人是癌症患者的概率有多大?,解:,设,A,试验结果是阳性，,AB,1,有疾病，阳性,无疾病，阳性,AB,2,B,1,抽查的人患有癌症,B,2,抽查的人不患有癌症,所求为,P,(,B,1,|A,),依题意有,P,(,B,1,)=0.005,P,(,B,2,)=0.995,P,(,A,|,B,1,)=0.95,P,(,A,|,B,2,)=0.04,现在来分析一下结果的意义：,2.检出阳性是否一定患有癌症?,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,如果不做试验，抽查一人，他是患者的概率,P,(,C,)=0.005,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率,为,P,(,C,A,)=0.1066,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍。,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,提示,2.检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为,P,(,C,A,)=0.1066,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式,贝叶斯公式,P,(,B,i,)(,i,=1,2,n,)是在没有进一步信息（不知道事件,A,是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。,当有了新的信息（知道,A,发生），人们对诸事件发生可能性大小,P,(,B,i,|,A,)有了新的估计。,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。,先验概率,后验概率,在不了解案情细节(事件,A,),之前，侦破人员根据过去,的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某甲，,现在变成了重点嫌疑犯。,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人。,甲,乙,丙,P(,B,1,),P(,B,2,),P(,B,3,),但在知道案情细,节后,这个估计,就有了变化。,P,(,B,1,|,A,),知道,A,发生后,P,(,B,2,|,A,),P,(,B,3,|,A,),最大,偏小,这一讲我们介绍了,全概率公式,贝叶斯公式,它们是,加法公式,和,乘法公式,的综合运用，同学们可通过进一步的练习去掌握它们。,(三)小结,1)全概率公式,主要用在事件,A,的发生有各种可能的原因,B,i,，这里,B,1,B,2,B,n,互斥。,第一种原因,B,1,可能导致事件,A,发生，,即：,AB,1,第二种原因,B,2,可能导致事件,A,发生，,即：,AB,2,第,n,种原因,B,n,可能导致事件,A,发生，,即：,AB,n,则事件,A,发生的概率就可以由全概率公式计算。,2)贝叶斯公式,主要用在事件,A,已发生的情况下，考虑各种可能的原因,B,i,，,有三个箱子，装球情况如下：,1）1号箱装有1个红球4个白球；,2）2号箱装有2个红球3个白球；,3）3号箱装有3个红球。,从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，,求：1)求摸出红球的概率;,2)若发现摸出的,是红球，求该球是来自1号箱的,概 率。,思考练习,1,2,3,敏感性问题的调查,调查方案核心是如下两个问题：,A：你的生日是否在7月1日之前(不含7月1日)？,B：你是否在比赛前服用过违禁药品？,被调查者只需回答其中一个问题，至于回答哪一个问题，摸球确定.,从一罐中随机取出一球，若白球，回答问题A；若红球，回答问题B.,不管是回答问题A还是B，只需在答卷上认可的方框内打勾，然后将答卷放入投票箱.,答卷,是,否,(在无人屋中自己完成),例,罐中有50个球，其中30个红球，某省在五天内安排了15个项目的运动员246名参加调查，最后开箱统计，答卷全部有效，其中回答“是”的有54张，问该省大约有多少名运动员赛前服用过违禁药品.,解：,设事件A表示答“是”，,分析：,A,怎么发生的？,取到白球，,回答问题,A,取得红球，回答问题,B,情况1,情况2,设事件B,1,表示取到白球，B,2,表示取到红球,则,即,