第,41,页,数学,单击此处编辑母版文本样式,高考一轮总复习,（北师大版,陕西专版,理）,第二节,命题及其关系、充分条件与必要条件,第二节,(状元之路)分条件与必要条件,考点精讲,1,命题、真命题、假命题,在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以,判断真假,的语句叫做命题其中,判断为真,的语句叫做真命题，,判断为假,的语句叫做假命题,考点精讲,2,四种命题及其关系,(1),四种命题：,命题,表述形式,原命题,若,p,，则,q,逆命题,若,q,，则,p,否命题,若,綈,p,，则,綈,q,逆否命题,若,綈,q,，则,綈,p,2四种命题及其关系命题表述形式原命题若p，则q逆命,(2),四种命题间的相互关系：,(2)四种命题间的相互关系：,(3),四种命题的真假关系：,原命题为真，它的逆命题,不一定,为真,原命题为真，它的否命题,不一定,为真,原命题为真，它的逆否命题,一定,为真,逆命题为真，否命题,一定,为真,(4),命题中条件与大前提的关系：,当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须,保留大前提,，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个,(,或多个,),作为大前提,(3)四种命题的真假关系：,(5),否命题与命题的否定之间的区别：,命题的否命题,既否定命题的条件,，,又否定命题的结论,；而命题的否定,只否定命题的结论,3,充分条件、必要条件、充要条件的概念,(1),若,p,q,，则,p,是,q,的,充分,条件；,(2),若,q,p,，则,p,是,q,的,必要,条件；,(3),若,p,q,，且,q,p,，则,p,是,q,的,充要,条件；,(4),若,p,q,，且,q,/,p,，则,p,是,q,的,充分不必要,条件；,(5),若,p,/,q,，且,q,p,，则,p,是,q,的,必要不充分,条件；,(6),若,p,/,q,，且,q,/,p,，则,p,是,q,的,既不充分也不必要,条件,(5)否命题与命题的否定之间的区别：,4,集合与充要条件的关系,【,注意,】,这里的集合,A,、,B,分别是使命题,p,和,q,为真命题的对象所组成的集合,记法,A,x,|,p,(,x,),，,B,x,|,q,(,x,),关系,A,B,图示,结论,p,是,q,的充分不必要条件,p,是,q,的必要不充分条件,p,是,q,的充要条件,p,是,q,的既不充分也不必要条件,4集合与充要条件的关系记法Ax|p(x)，Bx|,(状元之路)分条件与必要条件,答案：,A,答案：A,2,(2010,天津,),命题,“,若,f,(,x,),是奇函数，则,f,(,x,),是奇函数,”,的否命题是,(,),A,“,若,f,(,x,),是偶函数，则,f,(,x,),是偶函数,”,B,“,若,f,(,x,),不是奇函数，则,f,(,x,),不是奇函数,”,C,“,若,f,(,x,),是奇函数，则,f,(,x,),是奇函数,”,D,“,若,f,(,x,),不是奇函数，则,f,(,x,),不是奇函数,”,解析：,否命题是同时否定命题的条件与结论，故由否命题的定义可知,B,选项是正确的,答案：,B,2(2010天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(x),3,(2009,重庆,),命题,“,若一个数是负数，则它的平方是正数,”,的逆命题是,(,),A,“,若一个数是负数，则它的平方不是正数,”,B,“,若一个数的平方是正数，则它是负数,”,C,“,若一个数不是负数，则它的平方不是正数,”,D,“,若一个数的平方不是正数，则它不是负数,”,解析：,将原命题的条件与结论互换可得逆命题为,“,若一个数的平方是正数，则它是负数,”,答案：,B,3(2009重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数,4,(2010,陕西,),对于数列,a,n,，,“,a,n,1,|,a,n,|(,n,1,2,，,),”,是,“,a,n,为递增数列,”,的,(,),A,必要不充分条件,B,充分不必要条件,C,充要条件,D,既不充分也不必要条件,答案：,B,4(2010陕西)对于数列an，“an1|an|,答案：,A,答案：A,(状元之路)分条件与必要条件,题型一,四种命题及其关系,例,1,写出下列命题的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断四种命题的真假：,(1),末位数字是,0,的多位数一定是,5,的倍数；,(2),在,ABC,中，若,AB,AC,，则,C,B,；,(3),若,x,2,2,x,3,0,，则,x,3,或,x,1,；,(4),若,m,2,4,n,0,，则对于任意,x,R,，都有不等式,x,2,mx,n,0,成立,题型一四种命题及其关系,解析：,(1),逆命题：若一个多位数是,5,的倍数，则它的末位数字是,0.,否命题：若一个多位数的末位数字不是,0,，则它不是,5,的倍数,逆否命题：若一个多位数不是,5,的倍数，则它的末位数不是,0.,这里，原命题与逆否命题为真命题，否命题与逆命题是假命题,(2),逆命题：在,ABC,中，若,C,B,，则,AB,AC,.,否命题：在,ABC,中，若,AB,AC,，则,C,B,.,逆否命题：在,ABC,中，若,C,B,，则,AB,AC,.,这里，四种命题都是真命题,解析：(1)逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是,(3),逆命题：若,x,3,，或,x,1,，则,x,2,2,x,3,0.,否命题：若,x,2,2,x,30,，则,1,x,3.,逆否命题：若,1,x,3,，则,x,2,2,x,30.,这里，四种命题都是真命题,(4),逆命题：若对于任意,x,R,，都有不等式,x,2,mx,n,0,成立，则,m,2,4,n,0.,否命题：若,m,2,4,n,0,，则存在,x,R,，使得,x,2,mx,n,0.,逆否命题：若存在,x,R,，使得,x,2,mx,n,0,，则,m,2,4,n,0.,这里，四种命题都是假命题,(3)逆命题：若x3，或x1，则x22x30.,解后反思：,写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件,p,与结论,q,，将原命题写成,“,若,p,则,q,”,的形式,(2),中原命题有大前提,“,在,ABC,中,”,，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提,(3),中,“,x,3,或,x,1,”,的否定形式是,“,x,3,且,x,1,”,，即,“,1,x,3,”,一般地,“,p,或,q,”,的否定形式是,“,非,p,且非,q,”,；,“,p,且,q,”,的否定形式是,“,非,p,或非,q,”,解后反思：写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出,(状元之路)分条件与必要条件,解析：,(1),若,A,B,，则,sin,A,sin,B,，即,p,q,.,又若,sin,A,sin,B,，则,2,R,sin,A,2,R,sin,B,，即,a,b,.,A,B,，即,q,p,.,所以,p,是,q,的充要条件,(2),其逆否命题为：,对于实数,x,，,y,，若,x,2,，且,y,6,，则,x,y,8,，,显然当,x,2,，,y,6,时，,x,y,8,成立；,但当,x,y,8,时，,x,2,，且,y,6,不一定成立，,解析：(1)若AB，则sinAsinB，即pq.,(状元之路)分条件与必要条件,解后反思：,判断,p,是,q,的什么条件，需要从两个方面分析：一是由条件,p,能否推得条件,q,；二是由条件,q,能否推得条件,p,.,对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题,解后反思：判断p是q的什么条件，需要从两个方面分析：一是由条,题型三,充分条件与必要条件的应用,例,3,设命题,p,：,|4,x,3|1,；命题,q,：,x,2,(2,a,1),x,a,(,a,1)0.,若綈,p,是,綈,q,的必要不充分条件，求实数,a,的取值范围,题型三充分条件与必要条件的应用,(状元之路)分条件与必要条件,解后反思：,此类题型有两种解法：方法一是利用等价性将,“,綈,p,是,綈,q,的必要而不充分条件,”,转化为,“,p,是,q,的充分而不必要条件,”,简化解题；方法二是在求得,p,和,q,后，求出,綈,p,和,綈,q,，再进行判断,解后反思：此类题型有两种解法：方法一是利用等价性将“綈p是綈,题型四,充要条件的证明,例,4,求证关于,x,的方程,ax,2,2,x,1,0,至少有一个负根的充要条件是,a,1.,题型四充要条件的证明,(状元之路)分条件与必要条件,(状元之路)分条件与必要条件,解后反思：,证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论在这里要注意两种说法：,“,p,是,q,的充要条件,”,与,“,p,的充要条件是,q,”,；前者,p,是条件，后者,q,是条件证明分为两个环节：一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件证明时，不要认为它是推理过程的,“,双向书写,”,，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明,解后反思：证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论在这里要,方法技巧,1,当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个,(,或,n,个,),作为大前提,2,数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的,方法技巧,3,命题的充要关系的判断方法,(1),定义法：直接判断若,p,则,q,、若,q,则,p,的真假,(2),等价法：即利用,A,B,与綈,B,綈,A,；,B,A,与,綈,A,綈,B,；,A,B,与,綈,B,綈,A,的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法,4,利用集合间的包含关系判断：若,A,B,，则,A,是,B,的充分条件或,B,是,A,的必要条件；若,A,B,，则,A,是,B,的充要条件,3命题的充要关系的判断方法,失误防范,1,否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论要注意区别,2,判断,p,与,q,之间的关系时，要注意,p,与,q,之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆,失误防范,随堂反馈,1,(2008,山东,),给出命题：若函数,y,f,(,x,),是幂函数，则函数,y,f,(,x,),的图像不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是,(,),A,3,B,2,C,1,D,0,解析：,原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题原命题的逆命题为：若,y,f,(,x,),的图像不过第四象限，则函数,y,f,(,x,),是幂函数显然此命题为假,又逆命题与否命题同真假，否命题为假,答案：,C,随堂反馈,2,命题,“,若,x,2,1,，则,1,x,1,”,的逆否命题是,(,),A,若,x,2,1,，则,x,1,，或,x,1,B,若,1,x,1,，则,x,2,1,C,若,x,1,，或,x,1,，则,x,2,1,D,若,x,1,，或,x,1,，则,x,2,1,解析：,原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意,“,1,x,1,”,的否定是,“,x,1,，或,x,1,”,.,答案：,D,2命题“若x21，则1x1”的逆否命题是(),(状元之路)分条件与必要条件,答案：,B,答案：B,(状元之路)分条件与必要条件,答案：,9,，,),答案：9，),5,求证：关于,x,的方程,x,2,mx,1,0,有两个负实根的充要条件是,m,2.,证明：,(1),充分性：因为,m,2,，所以,m,2,4,0,，,方程,x,2,mx,1,0,有实根,设,x,2,mx,1,0,的两个实根为,x,1,、,x,2,，,由根与系数的关系知,x,1,x,2,1,0.,所以,x,1,、,x,2,同号,又因为,x,1,x,2,m,2,，,所以,x,1,、,x,2,同为负根,5求证：关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条,(状元之路)分条件与必要条件,