单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,9.1数概念与数意识的形成过程,皮亚杰的数概念学习理论：,“数是异于“物理性知识与社会性知识的所谓“逻辑数学性知识。他把数看做是一种“有序的分类，也就是说，儿童必须能掌握分类和序列性概念的逻辑操作才能了解数字。他认为“数守恒的能力是数学理解的先决条件，儿童到了六岁半左右才具备这样的能力，如果不具备这样的能力，就不算是对数目有真正的了解，所谓守恒概念是指物体的数或量不因为位置形状的改变而改变。,盖尔曼的儿童数概念理论,盖尔曼将学前儿童数学知识和技巧分成两种形态,1.数学抽象能力，数学抽象能力是帮助儿童建立数值概念,2数学推理原那么，它是帮助儿童对数量做进一步的操作而得到有效的推理,数概念的特点,在所有数学概念中，离学生日常生活最近的是数概念和初等几何概念，绝大多数的数概念都可以在现实生活中找到模型。,正因为大多数的数概念都不贴近人类的生活源泉，因此，在数概念的教学中一般都可以借助于实际的情景和活动,数概念是一个典型的过程性概念，也就是说它即使过程又是概念。数概念的这种两重性一方面增加了概念的内涵，另一方面也为教学提供了一种层次，使学生在具体操作的根底上，经过压缩和内化，逐步形成作为对象的概念，并纳入了已有的认知结构。,过程概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对象的抽象过程，因此，与初等几何概念不同的是，数概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对象的抽象过程，因此，教学中虽然可以借助实际的模型操作，但又不能停留于具体的过程,3表征的多样性,例 0.5的表达,表征方式的多样性一方面可以为问题解决带来灵活性，但另一方面也容易造成理解上的混淆与误解。,研究说明，对数概念符号的多重意义的认识是帮助学生形成数学能力的一局部，因此如何帮助学生开展数学符号与过程的意义是数学教育家目前最重要的课题之一,外延的扩张,在中小学数学课程中，数概念是一个典型的外延型概念，而且其外延经过了屡次的扩张。从逻辑上看，数系的扩张有两条主要的途径：,1、通过添加新的元素，如在正整数集合中参加数“0就得到了自然数，从而使得两个相同的数可以相减；在自然数中参加负数就得到了全体整数,2、等式抽象方法。这种方法的优势是能够揭示数概念的本质属性，如从中可以看到，自然数看扩张为整数的目的是现实加法的对称化，整数向有理数的扩张可以现实乘法的对称化，而有理数向实数的扩张那么是为了连续化。,数概念的形成,从数系的角度看，数概念包括自然数、整数、有理数和复数。从学习心理的研究来看，主要集中在有理数，特别是自然数上，但是对虚数和无理数的研究寥寥无几。,有理数概念是学生在小学阶段遇到的最重要且最复杂的概念之一，其重要性从以下几方面看出：,1、实践角度，能有效的处理这些概念将大大的改进儿童理解和把握现实世界中的情况和问题能力,2、心理学角度，有理数概念为儿童提供一个丰富的领域，使他们能够形成和扩张今后智力开展所必须的智力结构,3、数学角度，有理数的概念掌握以后为以后初等代数计算提供了可靠的根底,自然数,皮亚杰数守恒概念的特点,1、相互性：某局部增加了就会抵消另一减少的局部，二者之间具有补偿性用。,2、同一性：自始至终设计同样的数与量，没有加多也没有拿走任何东西,3、逆反性：某一改变状态可以在心里以同等但反向的旋转被逆反回到原来状态,皮亚杰的儿童对数概念的认识三个开展阶段,第一阶段4-5岁是对数概念无法理解的阶段，无法运用一对一的对应关系去建构两组有同样数目的实物。,第二阶段5-6岁是过度时期，会运用一对一对应关系建构同等数，但对于一对一关系不是充分理解,第三阶段6岁半以后是对数概念能真正理解的阶段，儿童已能用各种方法建构同等性，例如用数的，或用一一对应的方式，并且也能理解守恒概念。不管外观安排如何变化，都不会影响其对同等性的判断,盖尔曼和盖尔里斯特的计数原那么,1一对一原那么：计数时要遵循“区分和“标记这两个过程。也就是集合中的每一个工程只能有一个数字标记，且标记不能重复。,2规定顺序原那么：在每一次在计数时，计数的“标记必须是遵循同样顺序，也就是在序列中出现的次序是固定的,3基数原那么：计数集合中最后一个工程的标记，即代表此事物的工程总数,4抽象原那么：指以上三原那么均可适用于任何可数的事物，即任何东西皆可拿来数，具体的椅子或抽象的心灵都可数,5次序无关原那么：只要遵守其他计数原那么，集合中的工程无论从哪一个开始数起，并不影响其结果,上述五项原那么，强调计数现象，但这并不意味着儿童能“明确且系统的完成不同种的作业，这些能力的实际表现会逐渐统和而稳定。,斯蒂夫等人对儿童数数的开展六个阶段,1数序。儿童将个数由1开始依序念出，但是不知其意义。这是一种机械记忆,2以知觉单位为计数对象。儿童开始会数东西时只能数知觉单位,3以心像单位为计数对象。以心中想象的东西作为数数的对象，称为心像单位。,4以动作单位为计数对象。不数想象中的东西，而是数自己的动作,5以语言单位为计数对象。本阶段的数数行为必须有意识地控制念数字之间开始与结束的时机,6以抽象单位为计数对象。知道一个数字代表一个集合的数,位值,从20世纪70年代位值概念就一直是数学教育心理学的一个研究热点，其中的一些重要成果：,贝德纳兹、詹妮弗的研究发现1学生把“个、十、百的位值含义更多的根据位值顺序来理解2学生把借位的含义解释为“删去一个数位u，拿走一个，在下一个数位上加一,整数和小数之间的位值联系对学习是有利的，但是儿童通常只注意整数方面而未能适应小数方面,对位值缺乏理解的学生在理解小数时有一段困难时期,有色的筹码是金钱经常被用来作为表示位值概念和运算的操作工具，但是他们却增加了的复杂性,学生学习位值概念时产生错误的主要原因是英语中位值系统的语言复杂性,为了减少位值概念的教学困难，一些教学辅助工具便应运而生，最为著名的是狄恩斯的“狄氏多层算术积木，他提出了以下四项原那么：,活动原那么：教儿童玩积木时，首先就该任其自由的玩耍积木，让他们了解积木的意义,活动原那么：,数学变化原那么。数学变量的变换情况并不影响变量之间的一些恒定,直觉变异原那么：数学概念结构不会因为知觉受体的改变而改变,分数,图形中整体的一局部,子集集合关系,除法中等分除的商,小数,数轴上的一点,比,作为数学概念的分数，由于表征形式的不同，而产生了多种意义，包括：,莱什等人进一步从有理数的子结构的角度深入讨论了分数的意义，除了上述六种意义外，他们还讨论了分数作为“算子的意义，把分数看做是一个变换，给出了各种意义之间的关系下页,由图可见：,1.拆分和局部整体的子结构是其他子结构的根底,2.子结构中的比是促成掌握等价概念的中介,3.算子和度量子结构在加法和乘法理解中具有重要的意义,由于分数具有多重的意义，而且这些意义之间具有一定的层次性，因此，儿童分数的形成不是一个简单的过程,拆分和局部整数,比,算子,商,度量,等价,乘法,解决问题,加法,分数意义关系网,皮亚杰对3-8岁儿童的分数概念开展过程：,4岁4岁半儿童对于将一个物品分为两半非常困难，在分割之前没有预想的方案或图示,4岁6岁儿童对于规那么的、小范围的东西有分为两半的能力，如果整体增加，分成一半缓慢,6岁7岁能过成功的实施三等分，不必利用试误的方法,10岁左右儿童能实施六等分，首先是以三等分法分一个饼，然后三块饼进行二等分,赫伯特和特尼森研究58岁分数概念开展情形,改成长度模式为,伯特尔和萨瓦达发现，儿童处理等分长方形或圆形区域，其分数概念的开展顺序为,哈特分数概念理解的层次,能用局部全体来表示 的分数意义,能利用子集集合来表示分数 ,能利用等值分数写出分数符号或图标,能解决需要不止一个运算的分数问题,分数概念形成过程之中，有四个关键因素,对单位量的认知。处理分数问题最重要的一个概念就是单位量确实认,具有等分割的概念，处理分数问题的另一个,重要的概念就是一个可以除尽的全体,理解局部与整体之间的关系,确认单位分量数,小数和分数异同的比较,小数知识,（真）分数知识,类似（）,不同（）,A.小数的值,1.在0和1之间表达一个值,2.整数被分成很多较小的等分,3.在0和1之间有无限个小数存在,B小数符号,1.一个单位被分成几个的数隐含在数字的位置中,2.有多少等份表示在小数的量中,3.整数仅可被分成10的幂次方,A.分数的值,1.在0和1之间表达一个值,2.整数被分成很多较小的等分,3.在0和1之间有无限个小数存在,B分数符号,1.一个单位被等分成由分母明确界定的,2.有多少等份表示在分数的分子中,3.整数可被分成任一个等份的数,（）,（）,（）,（）,（）,（）,小数和整数知识的比较,小数知识,整数知识,类似（）,不同（）,A.数值,1.数字从5到右时，值会变小,2.左边数字是右边相同数字的10倍,3.“0”有位值的意义,4.一个数的右边增加“0”时，其值不变,5.从小数点开始往右其值递减,B数位,1.小数点以后名称按数字次序读出,2.小数部分从十分位开始,3.位名顺序是从左到右,4.读数字的顺序是十分位，百分位，千分位，-,C读法,小数点左边整数部分按照整数读法，右边的数字依数字次序读出,A.数值,1.数字从5到右时，值会变小,2.左边数字是右边相同数字的10倍,3.“0”有位值的意义,4.一个数的左边增加“0”时，其值不变,5.从小数点开始往左其值递减,B数位,1.没有小数点以后的数字,2.从个分位开始,3.位名顺序是从右到左,4.读数字的顺序是千分位，百分位，十分位，-,C读法,依整数十进制结构读出,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,小数概念的形成,形成两条根本途径:,1.通过分数的“局部与整体关系，或者利用整数的位值概念,2.一位小数是记录十分之几的分量，两位小数是记录百分之几的分量,从整数的位值概念来看小数概念的形成,位值彼此之间关系以10为基底的指数形式表示出,位名 -千位 百位 十位 个位,位值 -,数字 -,为了使个位也能无限制地向右延伸过去，可将指数范围扩大至负整数;利用往左扩展一位是乘以10的结果，因此往右扩展一位除以10的结果，有了新符号小数符号及新位名的产生：,指数 小数 新位名,=0.1 十分位,=0.2 百分位,-,1989年的,数学课程与评价标准,1.能了解数的基本意义,2.能探索数字之间的多重关系,3.能了解数字的相对大小关系,4.能了解运算对数字的影响,5.能发展参考物参考物来测量一般的物体,2000年的,数学课程与评价标准,1.能了解数字及其表征的方法、数字之间的关系和数字系统,2.了解运算的意义以及运算之间的关联性,3。流利的计算并做合理的估计,数意识形成与开展数意识的解释，目前并不统一，几种代表性的说法,汤普森和瑞特梅尔（数意识分成四种成分）,1.能了解数字的意义与关系,2.能了解数字的相对大小,3能了解运算对数字的影响,4.能了解如何使用参考点于日常生活情景,麦克英特（数意识包涵的六种能力）,1.了解数字的意义与大小的能力2.了解并使用等值形式及表征数字能力,3.了解运算的意义和影响的能力4.了解并善用等值形式解题的能力,5.发展计算和数数策略的能力6.运用参考点的能力,肖德恩数意识包含九种成分,1.数字的分解与组合2.辨认数字相对大小的能力,3.处理数字绝对大小的能力4.使用参考点的能力,5.以有意义的方式连接数字、运算及相关符号的能力,6.了解运算对数字的影响,7.以创新的方式进行心算，使运算更为方便的能力,8.发展估算的能力，并指导何时估算是适当的,9.使数字意义化的能力,9.2运算、估算技能与算法思想的形成,9.2.1 整数加减法的研究,运算技能的形成 乘除法的研究,分数与小数的运算,加减法的研究,斯塔奇和格尔曼,学前儿童也能理解将元素并入或移出集合的效应,有关加减运算问题的基础知识是所谓的部总知识,1.部分和总体之间的运算关系知识,2.加法交换律知识,3.加法和减法互补关系知识,格里尔的教学主张,1.算术运算教学应该关联到广泛情景,2.重视儿童非形式的求解方法,