,2.3.1离散型随机变量的均值,浙江省富阳二中高二数学备课组,2013-3-27,2.3.1离散型随机变量的均值浙江省富阳二中高二数学备课组,1,一、离散型随机变量的分布列,x,1,x,2,x,i,p,p,1,p,2,p,i,称为随机变量,的概率分布，简称的分布列。,则表,取每一个值的概率,设离散型随机变量,可能取的值为,1、概率分布（分布列）,性质：,一、离散型随机变量的分布列x1x2xipp1p2pi,2,2、两点分布：若随机变量X服从两点分布，则X的分布列为,3、二项分布：若随机变量,XB(n,p)，则X的分布列为,X,0,1,P,1-p,p,X,0,1,k,n,P,2、两点分布：若随机变量X服从两点分布，则X的分布列为3、二,3,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。,我们还常常希望,直接通过数字,来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有,期望与方差,.,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关,4,问题1：,在北京08奥运会开幕前,国家射击队正在紧张的、挥汗如雨的训练当中,然而,主教练王义夫却面对着一个艰难的决断：女子手枪班：薛保全(辽宁),张民宪(上海)只有一名队员能参加比赛,两名队员都比较优秀,到底选择谁好呢？,Zxxk,薛保全：,张民宪：,x,7,8,9,10,P,0.3,0.4,0.2,0.1,Y,6,7,8,9,10,P,0.04,0.24,0.44,0.22,0.06,问题1：在北京08奥运会开幕前,国家射击队正在紧张的、挥汗如,5,解：设射击100次，预计,P(X7)10030次得7环,P(X8)10040次得8环,P(X9)10020次得9环,P(X10)10010次得10环,预计平均环数=,x,7,8,9,10,P,0.3,0.4,0.2,0.1,薛保全：,解：设射击100次，预计x78910P0.30.40.20.,6,预计平均环数=,即：,所不同的是：若将100次改为n次，预计平均环数，就是射击环数的,期望值,还是8.1,样本平均数是一个随机变量,随机变量平均数是一个常数!,预计平均环数=即：所不同的是：若将100次改为n次，预计平均,7,解：设射击100次，预计,P(X6)1004次得6环,P(X7)10024次得7环,P(X8)10044次得8环,P(X9)10022次得9环,Zxxk,P(X10)1006次得10环,预计平均环数=,张民宪：,Y,6,7,8,9,10,P,0.04,0.24,0.44,0.22,0.06,解：设射击100次，预计张民宪：Y678910P0.040.,8,1、数学期望,若离散型随机变量X的概率分布为,则称EX=x,1,p,1,+x,2,p,2,+x,n,p,n,为,X的数学期望或平均数、均值,，又称,期望,。,数学期望是离散型随机变量的一个特征数，,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,期望是随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，它反映了随机变量取值的平均水平，与统计中的平均数对比，现在要乘上概率，内容上做到了升华，体现了由特殊到一般的数学思想。,1、数学期望若离散型随机变量X的概率分布为则称EX=x1p1,9,问：若X为上述离散型随机变量，则Y=aX+b的分布列怎样？EY呢？,因为P（Y=ax,i,+b）=P（X=x,i,），i=1，2，3n,所以，Y的分布列为,于是EY=（ax,1,+b),p,1,+,（ax,2,+b),p,2,+,+（ax,n,+b),p,n,E（aX+b）=aEX+b,X,x,1,x,2,x,i,x,n,Y,ax,1+,b,ax,2+,b,ax,i+,b,ax,n+,b,P,p,1,p,2,p,i,p,n,=a（x,1,p,1,+x,2,p,2,+x,n,p,n,）+b（p,1,+p,2,+p,n,）,问：若X为上述离散型随机变量，则Y=aX+b的分布列怎样？E,10,练习1：,1随机变量X的分布列是,X,1,3,5,P,0.5,0.3,0.2,（1）则EX,.,（2）若Y=2X+1,EY,.,2随机变量X的分布列是,X,4,7,9,10,P,0.3,a,b,0.2,若EX=7.5，则a，b,。.,2.4,5.8,0.4,0.1,练习1：X135P0.50.30.2（1）则EX.2随机变,11,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,一般地，如果随机变量X服从两点分布，,X,1,0,P,p,1p,则,四、例题讲解,小结：,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已,12,例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；,（1）求他得到的分数X的分布列；,（2）求X的期望。,X,0,1,2,3,P,解,：,(1)XB（3，0.7）,(2),例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已,13,一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则,小结：,一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则小,14,证明：,所以,若B(n，p)，则Enp,证明：若B(n，p)，则Enp,证明：所以若B(n，p)，则Enp证明：若B(,15,0.03,0.97,P,1000a,1000,E=10000.03a0.07a,得a10000,故最大定为10000元。,例3、,每人交保险费1000元，出险概率为3%，,若保险公司的赔偿金为a（a1000）元，为使保险公司收益的期望值不低于a的7%，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？,0.030.97P1000a1000E=10000.03,16,基础训练,：,1、,一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是.,3,基础训练：1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从,17,2、某人掷一枚硬币，规定正面向上,得,1分，反面向上得0分，则得分X的期望为,。,0.5,3、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。(保留三个有效数字),0.3,4,0.3,3,0.7,0.3,2,0.7,0.3,0.7,0.7,p,5,4,3,2,1,E=,1.43,2、某人掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得0分，则得,18,课堂小结：,1数学期望的定义：,EX=x,1,p,1,+x,2,p,2,+x,n,p,n,2数学期望的性质：,E（aX+b）=aEX+b,3求期望的步骤：,a确定随机变量的取值,b写出分布列，并检验,c求出期望的值,重要结论：如果随机变量,X两点分布，则EX=p,如果随机变量,XB(n,p)，则EX=np,课堂小结：,19,