单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3.3,简单的线性规划问题,实际应用,3.3.3简单的线性规划问题 实际应用,二、,Ax+By+C0(A,2,+B,2,0),一、直线,y=kx+b,把平面分成两个区域,ykx+b,表示直线 方的平面区域；,y0(A2+B20)一、直线y=kx+b,画出不等式组,表示的平面区域。,O,X,Y,x+y=0,x=3,x-y+5=0,注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示 平面区域的公共部分。,画出不等式组OXYx+y=0 x=3x-y+5=0注：不等式组,例,1,某工厂生产甲、乙两种产品，生产,1t,甲两种产品需要,A,种原料,4t,、,B,种原料,12t,，产生的利润为,2,万元；生产乙种产品需要,A,种原料,1t,、,B,种原料,9t,，产生的利润为,1,万元。现有库存,A,种原料,10t,、,B,种原料,60t,，如何安排生产才能使利润最大？,分析：在关数据列表如下：,A,种原料,B,种原料,利润,甲种产品,4,12,2,乙种产品,1,9,1,现有库存,10,60,设生产甲种产品,x,吨，乙种产品,y,吨。,例1某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲两种产品需要A种原,设生产甲、乙两种产品的吨数分别为,x,、,y,利润,何时达到最大？,设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y利润何时达到最大？,x,Y,o,4x,y=10,12x,9y=60,2x+y=0,xYo4xy=1012x9y=602x+y=0,转化,转化,转化,四个步骤,：,1,。,画,（画可行域）,三个转化,4,。,答,（求出点的坐标，并转化为最优解）,3,。,移,（平移直线,L,。寻找使纵截距取得最值时的点）,2,。,作,（作,z=Ax+By=0,时的直线,L,。）,图解法,想一想,(,结论,):,线性约束条件,可行域,线性目标函数,Z=Ax+By,一组平行线,最优解,寻找平行线组的,最大（小）纵截距,转化转化转化四个步骤：1。画（画可行域）三个转化4。答（求出,例,2.,某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为,3000,元、,2000,元，甲、乙产品都需要在,A,、,B,两种设备上加工，在每台,A,、,B,上加工,1,件甲所需工时分别为,1h,、,2h,，,A,、,B,两种设备每月有效使用台数分别为,400h,和,500h,。如何安排生产可使收入最大？,解：,设每月生产甲产品,x,件，生产乙产品,y,件，每月收入为,z,，目标函数为,Z,3x,2y,，满足的条件是,例2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为300,Z,3x,2y,变形为,它表示斜率为 的直线系，,Z,与这条直线的截距有关。,X,Y,O,400,200,250,500,当直线经过点,M,时，截距最大，,Z,最大。,M,解方程组,可得,M,（,200,，,100,）,Z,的最大值,Z,3x,2y,800,故生产甲产品,200,件，乙产品,100,件，收入最大，为,80,万元。,Z 3x2y 变形为它表示斜率为,给定一定量的,人力,.,物力,资金等资源,完成的任务量最大,经济效益最高,给定一项任务,所耗的人力,.,物力资源最小,降低成本,获取最大的利润,精打细算,最优方案,统筹安排,最佳方案,实际应用,给定一定量的完成的任务量最大给定一项任务所耗的人力.降低成本,三、练习题,：,1、,求,z2xy,的最大值，使,x、y,满足约束条件,：,2、,求,z3x5y,的最大值，使,x、y,满足约束条件：,三、练习题：1、求z2xy的最大值，使x、y满足约束条件,1.解：作出平面区域,x,y,A,B,C,o,z2xy,作出直线,y=2xz,的图像，可知,z,要求最大值，即直线经过,C,点时。,求得,C,点坐标为（2，1），则,Z,max,=2xy3,1.解：作出平面区域xyABCoz2xy 作出直线y,2.解：作出平面区域,x,y,o,A,B,C,z3x5y,作出直线,3x5y,z,的图像，可知直线经过,A,点时，,Z,取最大值；直线经过,B,点时，,Z,取最小值。,求得,A（1.5，2.5），B（2，1），,则,Zmax=17，Z,min,=11。,2.解：作出平面区域xyoABCz3x5y 作出直线,课堂练习,课本P80,练习14,课堂练习课本P80,练习14,转化,转化,转化,四个步骤,：,1,。,画,（画可行域）,三个转化,4,。,答,（求出点的坐标，并转化为最优解）,3,。,移,（平移直线,L,。寻找使纵截距取得最值时的点）,2,。,作,（作,z=Ax+By=0,时的直线,L,。）,图解法,小结,:,线性约束条件,可行域,线性目标函数,Z=Ax+By,一组平行线,最优解,寻找平行线组的,最大（小）纵截距,转化转化转化四个步骤：1。画（画可行域）三个转化4。答（求出,课后作业,双测,P53,P54,课后作业双测P53,P54,例,2,某工厂生产甲、乙两种产品,.,已知生产甲种产品,1t,需消耗,A,种矿石,10t,、,B,种矿石,5t,、煤,4t,；生产乙种产品,1,吨需消耗,A,种矿石,4t,、,B,种矿石,4t,、煤,9t.,每,1t,甲种产品的利润是,600,元,每,1t,乙种产品的利润是,1000,元,.,工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗,A,种矿石不超过,300t,、消耗,B,种矿石不超过,200t,、消耗煤不超过,360t.,若你是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量,(,精确到,0.1t),才能使利润总额,达到最大,?,例2某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A,某工厂生产甲、乙两种产品,.,已知生产甲种产品,1t,需消耗,A,种矿石,10t,、,B,种矿石,5t,、煤,4t,；生产乙种产品,1,吨需消耗,A,种矿石,4t,、,B,种矿石,4t,、煤,9t.,每,1t,甲种产品的利润是,600,元,每,1t,乙种产品的利润是,1000,元,.,工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗,A,种矿石不超过,300t,、消耗,B,种矿石不超过,200t,、消耗煤不超过,360t.,若你是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量,(,精确到,0.1t),才能使利润总额达到最大,?,分,析,问,题,:,1.,本问题给定了哪些原材料,(,资源,)?,2.,该工厂生产哪些产品,?,3.,各种产品对原材料,(,资源,),有怎样的要求,?,4.,该工厂对原材料,(,资源,),有何限定条件,?,5.,每种产品的利润是多少,?,利润总额如何计算,?,原,材,料,每吨产品消耗的原材料,A,种矿石,B,种矿石,煤,甲产品,(t),乙产品,(t),10,5,4,4,4,9,原 材料限 额,300,200,360,利 润,600,1000,xt,yt,把题中限制条件进行转化：,约束条件,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600 x+1000y.,目标函数,：,设生产甲、乙两种产品,.,分别为,x t,、,yt,利润总额为,z,元,某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石,解,:,设生产甲、乙两种产品,.,分别为,x t,、,yt,利润总额为,z,元,那么,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600 x+1000y.,画,出以上不等式组所表示的可行域,作,出直线,L,600 x+1000y=0,.,解得交点,M,的坐标为,(12.4,34.4),5x+4y=200,4x+9y=360,由,10 x+4y=300,5x+4y=200,4x+9y=360,600 x+1000y=0,M,答,:,应生产甲产品约,12.4,吨，乙产品,34.4,吨，能使利润总额达到最大。,(12.4,34.4),经过可行域上的点,M,时,目标函数在,y,轴上截距最大,.,90,30,0,x,y,10,20,10,75,40,50,40,此时,z=600 x+1000y,取得最大值,.,例,3.gsp,图形,把直线,L,向右上方平,移,解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润,实际问题,线性规划问题,寻找约束条件,建立目标函数,列表,设立变量,转化,1.,约束条件要写全,;,3.,解题格式要规范,.,2.,作图要准确,计算也要准确,;,注意,:,结论,1:,实际问题线性规划问题寻找约束条件列表设立变量转化1.约束条件,例,3.,某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成,A,、,B,、,C,三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示,：,解：,设需截第一种钢板,x,张，第二种钢板,y,张，,钢板,总,张数为,Z,则,规格类型,钢板类型,第一种钢板,第二种钢板,A,规格,B,规格,C,规格,2,1,2,1,3,1,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,某顾客需要,A,B,C,三种规格的成品分别为,15,，,18,，,27,块，,若你是经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。,x,张,y,张,分,析,问,题,:,目标函数,:,z=x+y,例3.某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,直线,x+y=12,经过的,整点是,B(3,9),和,C(4,8),，它们是最优解,.,作出直线,L:,x+y=0,，,目标函数,:,z=,x+y,B(3,9),C(4,8),A(3.6,7.8),当直线,L,经过点,A,时,z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点,B,C,的坐标,B(3,9,),和,C(4,8),2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解,.,作直线,x+y=12,答（略）,约束条件,:,画可行域,平移,L,找交点及交点坐标,调整优解法,1.,满足哪些条件的解才是最优解,?,2.,目标函数经过,A(3.6,7.8),时,Z,的值是多少,?,你能否猜测一下,Z,的最小值可能是多少,?,3.,最优解的几何意义是什么,(,最优解可以转化为什么几何意义,)?,图,例题,4.gsp,示,x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN,*,y0 yN,*,经过可行域内的整点,B(3,9),和,C(4,8),且和原点距离最近的直线是,x+y=12,，它们是最优解,.,作出一组平行直线,t,=,x+y,，,目标函数,t,=,x+y,B(3,9),C(4,8),A(18/5,39/5),打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点,A,时,t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线,x+y=11.4,继续向上平移，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0,把,实际问题,转化成,线性规划问题,即建立数学模型的方法。大致可分为以下三个,步骤：,（,1,）准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数；,（,2,）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解；,（,3,）根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。,把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法。大致可分为,即先求非整数条件下的最优解，调整,Z,的值使不定方程,Ax+By=Z,存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解,即先打网格，描出可行域内的整点,，,平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解,线性规划求最优整数解的一般方法,:,1.,平移找解法：,2.,调整优解法,：,结论,2:,即先求非整,小结,:,实际问题,列表,设