Click to edit Master text styles,*,*,*,Click to edit Master title style,目 录,1-1,点在两投影面体系中的投影,1-2,点在三投影面体系中的投影,1-3,两点的相对位置和无轴投影图,1-4,点的辅助投影,1-1,点在两投影面体系中的投影,一、点的投影,空间点在投影面上的投影仍是点。在正投影中只有点的一个,投影不能确定该点在空间的位置。,规定,：,表示空间的点用大写字母标记，如,A,；表示点的投影用相应的小写字母标记，如,a,。,从本章起，如不特别声明，讲到“投影”，一律是指,正投影,。,1-1,点在两投影面体系中的投影,多面正投影法中，,至少要用两个互相垂,直的投影面，构建两,投影面体系，作出点,的两个投影，来确定,该点在空间的位置。,二、两投影面体系及空间直角坐标系,1-1,点在两投影面体系中的投影,水平放置的投影面称为,水平投影面,，常标以“,H,”,。,竖直放置的与,H,面垂直的投影面称为,正立投影面,，常标以“,V,”,。,二、两投影面体系及空间直角坐标系,1-1,点在两投影面体系中的投影,二、两投影面体系及空间直角坐标系,H,面和,V,面构成两投影面体系（简称两面体系），它包含了确定空间点所必须的三个向度，即左右、前后、上下三个方向上的尺度。,在两投影面体系中建立空间直角坐标系,空间点的位置用三个坐标（,x,，,y,，,z,）表示。,1-1,点在两投影面体系中的投影,投影面是可以无限扩展的，若把,H,面向后、,V,面向下扩展出,H,0,和,V,0,，整个空间便被分成了四部分，每一部分称为一个,分角,，依次编为第,、,、,、,分角。,二、两投影面体系及空间直角坐标系,1-1,点在两投影面体系中的投影,三、点的两面投影及其投影图画法,将点,A,放在第,分角中进行投射，向,H,面投射得,a,，称为点,A,的,水平投影,或,H,面投影。将点,A,向,V,面投射得,a,，称为点,A,的,正面投影,或,V,面投影。,1-1,点在两投影面体系中的投影,画法几何中规定,：,标记,V,面投影，要在小写字母的右上角加一撇，如,a,；,H,面投影则不加一撇，如,a,。,点,A,在空间的位置被其两个投影,a,和,a,唯一确定，因为两个投影反映了三个方向的坐标,(,x,A,，,y,A,，,z,A,),。点,A,可表述为,A,(,a,，,a,),。,三、点的两面投影及其投影图画法,1-1,点在两投影面体系中的投影,画投影图时，需要把,互相垂直的两个投影面展,开成一个平面。画法几何,规定两面体系的展开方法是：,V,面不动，,H,面绕,OX,轴向下,旋转,90,角。,三、点的两面投影及其投影图画法,1-1,点在两投影面体系中的投影,由于投影面是无限大的，在投影图中毋须画出其边界线。,投影面展开后，点,A,的两投影,a,和,a,处于同一条垂直于,OX,轴的直线上，此线称为投影连线，即,a,a,OX,。,1-1,点在两投影面体系中的投影,点的两面投影规律,：,(1),两投影的连线垂直于投影轴，即,a a,OX,。,(2),空间点的某一投影到投影轴的距离，等于该点到另,投影面的距离,即,aa,X,=A a=y,A,，,aa,X,=A a=z,A,。,1-1,点在两投影面体系中的投影,例,1-1,点,A,的坐标,x,A,、,y,A,、,z,A,分别为,5,、,3,、,4,个单位，试画,出点,A,的两面投影图。,解：,1-1,点在两投影面体系中的投影,例,1-2,试画出例,1-1,中点,A,的立体示意图。,1-2,点在三投影面体系中的投影,确定点在空间的位置，如前所述，有两个投影就够了。,但对于一些较复杂的形体，只有两个投影往往不能确定其形,状。解决的办法是设置第三个投影面，构建三投影面体系，,作出形体的第三个投影,。,1-2,点在三投影面体系中的投影,一、三投影面体系的建立,在两面体系的基础上，包含,OY,轴和,OZ,轴作出第三个投影面,侧立投影面,（简称侧面），又称,W,面。,W,面与,H,、,V,面相互垂直并一起构成三投影面体系，简称三面体系。,W,面能反映前后、上下两个方向的尺度,。,1-2,点在三投影面体系中的投影,二、八个卦角,在扩展,H,、,V,面的基础上，,再扩展,W,面，得到,V,面后的,W,面的扩展部分,W,0,，从而把,空间分成八个卦角（也称卦,限）。,W,、,W0,面的左方为第,、,、,、,卦角，右,方为第,、,、,、,卦角，,投影轴的指向即坐标轴的正,方向。,1-2,点在三投影面体系中的投影,三、点的三面投影,把点,A,放在第,卦角中进行,投射。在,H,、,V,面上得到了,a,、,a,，又从左向右投射，在,W,面上得到点,A,的第三投影,a,，,称为,侧面投影,或,W,面投影。,a,反映了点,A,的,y,和,z,坐标，即,a,（,y,A,，,z,A,）,。,1-2,点在三投影面体系中的投影,三、点的三面投影,aa,Z,=,a a,Y,=,A a,=,x,A,，,反映,点,A,到,W,面的距离；,aa,Z,=,a a,X,=,A a,=,y,A,，,反映,点,A,到,V,面的距离；,aa,Y,=,aa,X,=,A a,=,z,A,，,反映,点,A,到,H,面的距离。,用三个投影表达点,A,的位置时，,可写成,A,（,a,，,a,，,a,）,。,1-2,点在三投影面体系中的投影,三、点的三面投影,与两面体系一样，实际画,投影图时需要把三个投影面展开,成一个平面。,V,面不动，,H,面绕,OX,轴向下旋转,90,角，,W,面绕,OZ,轴向右旋转,90,角。此时,OY,轴被“一分为二”，随,H,面的轴记,为,OY,H,，随,W,面的轴记为,OY,W,。,1-2,点在三投影面体系中的投影,三、点的三面投影,给出空间点的三个坐标，就,可按前述点的投影规律画出点的,三面投影图,；反之，由点的三面,投影图应能想象出点的空间的位,置。,点在三投影面体系中的位置,有：在各卦角间、在各投影面内,和在各投影轴上等情况，它们都,遵守相同的投影规律。,1-2,点在三投影面体系中的投影,四、由点的两个投影求作第三投影,分析点,A,的三个投影,a,(,x,A,y,A,),、,a,(,x,A,z,A,),、,a“(y,A,z,A,),可知，三,个投影中的任意两个，都包含有,确定该点空间位置所必需的,x,、,y,、,z,三个坐标，因此，由点的两个,投影可以作出第三投影。,1-2,点在三投影面体系中的投影,例,1-3,如图所示，已知点,A,的两个投影,a,及,a,，求作,a,。,已知,求解,利用分规量距离,求解,利用圆规画弧,1-2,点在三投影面体系中的投影,例,1-3,如图所示，已知点,A,的两个投影,a,及,a,，求作,a,。,求解,利用,45,分角线或,45,上斜线作图,点击后自动演播,1-3,两点的相对位置和无轴投影图,一、两点的相对位置,通常判别两个点在空间的相对位置，是将其中一点作为基,准点，判断另一点（即比较点）在基准点之左（或右）、之,前（或后）、之上（或下）多少距离。反映在投影图中，是,在确定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上投影的,同名坐标值的代数差,x,、,y,、,z,。,1-3,两点的相对位置和无轴投影图,例,1-4,已知两点的投影，试判断两点的相对位置。,解：,选定,A(a,a,a),为,基准点，,B,为比较点，则有：,x,为正值，点,B,在点,A,之左；,y,为负值，点,B,在点,A,之后；,z,为正值，点,B,在点,A,之上。,一、两点的相对位置,1-3,两点的相对位置和无轴投影图,二、点的重影及其可见性判断,当空间两点处在对某一投影面的同一条投射线上时，它们在该投影面上的投影便重合在一起。空间的这些点，称为对该投影面的,重影点,，,重合在一起的投影称为,重影,。,右图中，点,A,、,B,是对,H,面的重影点，,a,、,b,则是它们的重影。,1-3,两点的相对位置和无轴投影图,二、点的重影及其可见性判断,在投影图中需要判断并标明重影的可见性，即标明沿投射方向“看”去，哪个点的投影是可见的，哪个点的投影是被遮挡而不可见的。,重影,a,、,b,的可见性是从,V,面（或,W,面）上的投影判断出来的：,a,高于,b,，,所以,a,可见，,b,不可见。通常在,不可见的投影标记上加上括号,。,1-3,两点的相对位置和无轴投影图,三、无轴投影图,在辨认两点的相对位置时，起重要作用的是两点同面投影的坐标差，而与投影轴的位置无关。因此，对于不涉及点到投影面距离的作图问题，便可不画出投影轴。这种图就称为,无轴投影图,。,1-3,两点的相对位置和无轴投影图,例,1-5,已知点,A,的三个投影，如图所示，有一点,B,在其右,3,、其前,3,、其下,2,个单位处，试画出点,B,的三个投影。,解：,x,=-3,y,=3,z,=-2,1-4,点的辅助投影,对于复杂的形体常需设置侧立投影面,W,，画出形体在,W,面上的投影，以便更充分、准确地表明形体的形状。,用,H,、,V,和,W,各面投影仍不足以准确表明形体的形状时，可以设置只与已知两投影面体系中的一个投影面相垂直的,辅助投影面,，作出形体在辅助投影面上的投影，称之为,辅助投影,。,辅助投影面,1-4,点的辅助投影,一、点的辅助投影,在基本的,两投影面体系,V/H,中，有一个点,A(a,a),。设置一个与,H,投影面垂直的辅助投影面,V,1,。,V,1,面与,H,面交于,O,1,X,1,。,O,1,X,1,称为,辅助投影轴,。,V,1,面和,H,面也构成一个两投影面体系。将,A,点向,V,1,面作正投影，得,V,1,面上的投影,a,1,，,a,1,是,A,点的,辅助投影,。,1-4,点的辅助投影,一、点的辅助投影,有两个两投影面体系，一个是原有的体系,(,V/H,),，其投影轴是,OX,;,另一个是新设置的体系,(,V,1,/H,),其投影轴是辅助投影轴,O,1,X,1,，它们共有投影面,H,。,O,1,X,1,的位置视辅助投影面,V,1,的位置而定。辅助投影图上有：,aa,1,O,1,X,1,a,x,1,a,1,=a,x,a,。,1-4,点的辅助投影,根据点的原有投影作出其辅助投影的方法，可以表述如下：,自辅助投影面所垂直的原投影面上的投影，向辅助投影轴作垂线，与辅助投影轴交于一点，自交点起在垂线上截量一段距离，使等于原有的另一投影到原有投影轴的距离，即得点的辅助投影。这个关系习惯上简单说成是,新投影到新轴的距离等于老投影到老轴的距离。,a,1,1-4,点的辅助投影,如果设置辅助投影面,H,1,垂直于,V,面，则辅助投影面,H,1,与,V,面构成新的两投影面体系,(,V/H,1,),，新旧两体系共有投影面,V,。这时作点的辅助投影，仍要遵循前面所表述的作图规律。,1-4,点的辅助投影,二、点的复辅助投影,在基本的,(,V/H,),体系中设置辅助投影面,V,1,后，再在,(,V,1,/H,),体系中设置第二个辅助投影面,H,2,垂直于,V,1,，,H,2,称之为,复辅助投影面,。,1-4,点的辅助投影,把,A,点正投射到,H,2,面上，就得到了,A,点的复辅助投影,a,2,。在,(,V,1,/H,2,),体系中根据,(,a,a,1,),作,a,2,时仍然要遵循前面所表述的,作辅助投影的规律。,1-4,点的辅助投影,当然也可以先设置辅助投影面,H,1,垂直于,V,，构成投影面体系,(,V/H,1,),，,然后设置复辅助投影面,V,2,H,1,，求复辅助投影的方法与前述类似。,直线由两个点确定，平面由不在一直线上的三个点确定，求直线、平面的辅助投影和复辅助投影都可以归结为求点的辅助投影或复辅助投影。因此应透彻理解求点的辅助投影和复辅助投影的原理和熟练掌握其作图方法。,