单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,总结,高等代数,多项式,线性代数,矩阵,向量,方程组,计算,多项式,一元多项式,多元多项式,2,基本概念,：,次数：,最基本的概念和工具,整除：,多项式之间最基本的关系,带余除法：,最基本的算法，判断整除,.,最大公因式：,描述多项式之间关系的复杂程度,互素：,多项式之间关系最简单的情形,既约多项式：,最基本的多项式,根：,最重要的概念和工具,一元多项式,3,重要结论,：,带余除法定理,对于任意多项式,f,(,x,),和非零多项式,g,(,x,),，有唯一的,q,(,x,),和,r,(,x,),使得,f,(,x,)=,g,(,x,),q,(,x,)+,r,(,x,),，,r,(,x,)=0,或,deg,r,(,x,)deg,g,(,x,).,最大公因式的存在和表示定理,任意两个不全为,0,的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式,d(x),都有,u(x),和,v(x),使得,d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),互素,f(x),和,g(x),互素,有,u(x),和,v(x),使得,f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.,4,因式分解唯一定理,次数大于,1,的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一,.,标准分解定理,每个次数大于,1,的多项式,f,都有如下的标准分解,其中,a,是非零常数,p,1,p,t,是互不相同的首一既约多项式,n,1,n,t,是正整数,.,进一步,a,p,1,p,t,n,1,n,t,由,f,唯一确定,.,重因式,f,无重因式当且仅当,f,与其导式互素,.,5,代数学基本定理：,下列陈述等价，,复数域上次数,1,的多项式总有根,复数域上的,n,次多项式恰有,n,个根,复数域上的既约多项式恰为一次式,复数域上次数,1,的多项式可分解成一次式之积,.,实数域上的次数,1,的既约多项式只有无实根的二次式,实数域上次数,1,的多项式可分解成一次式和二次式之积,6,实数域上的标准分解定理,在实数域上，每个次数大于,1,的多项式,f,都有如下的标准分解,其中,a,是,f,的常数项,x,1,x,t,是,f,全不互不相同的根,p,1,p,t,是互异、首一、无实根的二次式,.,复数域上的标准分解定理,在复数域上，每个次数大于,1,的多项式,f,都有如下的标准分解,其中,a,是,f,的常数项,x,1,x,t,是,f,全部互不相同的根,n,1,n,t,分别是这些根的重数,.,7,多项式作为函数,：,两个多项式相等,(,即对应系数相同,),它们作为函数相等,(,即在每点的函数值相等,),它们在,k+1,个点的函数值相等，这里,k,是它们次数的最大者,.,设,f(x),a,n,x,n,+.+a,1,x+a,0,，,若,f(x),在,n+1,个点的函数值为,0,，则,f(x),恒等于,0.,8,Eisenstein,判别法,：,设 是整系数多项式，若有素数,p,使得,则,f(x),是有理数域上的既约多项式,.,有理根：,有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项,9,重要结论,命题,1.8.1,若多项式的值全为,0,，则该多项式必为,0.,命题,1.8.2,每个,n,次多项式,f,均可唯一地表示成齐次多项式之和 ，,f,n,0,，且其中,f,i,是,0,或,i,次齐次多项式，,0,i,n,，,f,i,称为,f,的,i,次齐次分量,.,基本概念,：,次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式,多元多项式,对称多项式基本定理,每个对称多项式，都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式,.,10,矩阵,运算,行列式,初等变换,和标准形,特殊矩阵,11,运算及其关系,转置,取逆,伴随,行列式,秩数,加,法,(,A,+,B,),T,=,A,T,+,B,T,r,(,A,+,B,),r,(,A,)+,r,(,B,),数,乘,(,kA,),T,=,k A,T,(,kA,),1,=,k,1,A,1,(,kA,),*,=,k,n,1,A,*,|,kA,|=,k,n,|,A,|,r,(,kA,)=,r,(,A,)(,k,0),乘,法,(,AB,),T,=,B,T,A,T,(,AB,),1,=,B,1,A,1,(,AB,),*,=,B,*,A,*,|,AB,|=|,A,|,B,|,r,(,A,)+,r,(,B,)-,n,r,(,AB,),r,(,A,),r,(,B,),转,置,(,A,T,),T,=,A,(,A,T,),1,=(,A,1,),T,(,A,T,),*,=(,A,*,),T,|,A,T,|=|,A,|,r,(,A,T,)=,r,(,A,),取,逆,(,A,1,),1,=,A,(,A,1,),*,(,A,*,),1,|,A,1,|=|,A,|,1,伴,随,(,A,*,),*,=|,A,|,n,2,A,*,|,A,*,|=|,A,|,n,1,n,若,r(A)=n r(A*)=1,若,r(A)=n-1,0,若,r(A)n-1,其,它,A,-1,=,|A,|,-1,A,*,AA,*,=,A,*,A,=|,A,|,E,当,A,可逆时，,A,*,|,A,|,A,1,定义,性质,若,P,Q,可逆，则,r(A)=r(PA)=r(AQ),=r(PAQ),12,转置,取逆,伴随,加法,(,A,+,B,),T,=,A,T,+,B,T,数乘,(,kA,),T,=,k A,T,(,kA,),1,=,k,1,A,1,(,kA,),*,=,k,n,1,A,*,乘法,(,AB,),T,=,B,T,A,T,(,AB,),1,=,B,1,A,1,(,AB,),*,=,B,*,A,*,转置,(,A,T,),T,=,A,(,A,T,),1,=(,A,1,),T,(,A,T,),*,=(,A,*,),T,取逆,(,A,1,),1,=,A,(,A,1,),*,(,A,*,),1,伴随,(,A,*,),*,=|,A,|,n,2,A,*,其它,A,-1,=,|A,|,-1,A,*,AA,*,=,A,*,A,=|,A,|,I,当,A,可逆时，,A,*,|,A,|,A,1,13,行列式,秩数,加法,r,(,A,+,B,),r,(,A,)+,r,(,B,),数乘,|,kA,|=,k,n,|,A,|,r,(,kA,)=,r,(,A,)(,k,0),乘法,|,AB,|=|,A,|,B,|,r,(,A,)+,r,(,B,)-,n,r,(,AB,),r,(,A,),r,(,B,),转置,|,A,T,|=|,A,|,r,(,A,T,)=,r,(,A,),取逆,|,A,1,|=|,A,|,1,伴随,|,A,*,|=|,A,|,n,1,n,若,r(A)=n,r(A*)=1,若,r(A)=n,1,0,若,r(A)n,1,其它,定义,性质,若,P,Q,可逆，则,r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ),14,性质,公式,备注,转置不变性,|,A,T,|=|,A|,行列地位平等,反交换性,|.,.,.|=,|.,.,.|,换法变换,交错性,|.,.,.|=,0,齐性,|.k,.|=k,|.,.|,倍法变换,统称线性,加性,|.,+,.|=|.,.|+|.,.|,倍加不变性,|.,+k,.,.|=|.,.,.|,消法变换,按,第,k,行,第,k,列展开,|a,ij,|=a,k1,A,k1,+a,kn,A,kn,=a,1k,A,1k,+a,nk,A,nk,a,j1,A,k1,+a,jn,A,kn,=,a,1j,A,1k,+a,nj,A,nk,=,jk,|a,ij,|,Laplace,定理,分块三角矩阵的行列式,Cauchy-Binet,公式,Vandermonde,行列式,定义,性质,；,15,Laplace,定理,(,按第,i,1,.,i,k,行展开,),；,分块三角形行列式,16,Cauchy-Binet,公式,设,U,是,mn,矩阵,V,是,nm,矩阵,m,n,则,17,18,初等变换,行变换,列变换,换法变换,倍法变换,消法变换,对单位矩阵做一次初等变换,对,A,做一次,行,变换,=,用相应的初等矩阵,左,乘以,A,对,A,做一次,列,变换,=,用相应的初等矩阵,右,乘以,A,19,对于,mn,矩阵,A,，,B,下列条件等价,A,B,，即,A,可由初等变换化成,B,有可逆矩阵,P,Q,使得,PAQ=B,秩,A=,秩,B,A,，,B,的标准型相同,A,B,行等价,有可逆矩阵,P,使得,A=PB,每个矩阵都行等价于唯一一个,RREF,矩阵,A,B,等价,有可逆矩阵,P,Q,使得,A=PBQ,每个秩数为,r,的矩阵都等价于,矩阵等价,20,可逆矩阵,vs,列满秩矩阵,对于,n,阶矩阵,A,下列条件等价,A,是可逆矩阵,|A|,0,秩,A=n,有,B,使得,AB=I,或,BA=I,A,是有限个初等矩阵之积,A(,行或列,),等价于,I,A,的列,(,行,),向量组线性无关,方程组,Ax=0,没有非零解,对任意,b,Ax=b,总有解,对某个,b,Ax=b,有唯一解,A,是可消去的,(,即由,AB=AC,或,BA=CA,恒可得,B=C),对于,mr,矩阵,G,下列条件等价,G,是列满秩矩阵,G,有一个,r,阶的非零子式,秩,G=,列数,G,有左逆,即有,K,使得,KG=I,有矩阵,H,使得,(G,H),可逆,G,行等价于,G,的列向量组线性无关,方程组,Gx=0,没有非零解,对任意,b,若,Gx=b,有解,则唯一,对某个,b,Gx=b,有唯一解,G,是左可消去的,(,即由,GB=GC,恒可得,B=C),21,设,A,的秩数为,r,则,A,有如下分解,其中,P,Q,为可逆矩阵,A=PE,其中,P,可逆,E,是秩数为,r,的,RREF,A=GH,其中,G,列满秩,H,行满秩,且秩数都是,r,(,满秩分解,),矩阵分解,22,分块矩阵的初等变换和,Schur,公式,把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵,Schur,公式 设,A,可逆,两种常用方法,适用例子,:,习题,3.7.5;3.7.911,:,23,2.,正则化方法,证明当,A,可逆时结论成立,考虑,xI+A,有无穷多个,x,使得该矩阵可逆,将要证明的结论归结为多项式的相等,若两个多项式在无穷多个点处的值相同,则这两个多项式在任意点的值相等,特别地,取,x=0.,适用例子,:,习题,3.6.4;3.7.7;3.7.11,:,24,特殊矩阵,三角,正规,可逆,对合,Hermite,反,Hermite,酉矩阵,幂等,幂零,对称,反对称,正交,对角,纯量,25,向量,线性关系,线性相关,线性无关,线性表示,等价,极大无关组,秩数,26,线性表示,：,列向量组,1,.,r,可由,1,.,s,线性表示当且仅当有矩阵,C,使得,(,1,.,r,)=(,1,.,s,)C.,进一步，,C,的第,k,列恰为,k,的表示系数,线性表示有传递性,被表示者的秩数表示者的秩数,向量组等价：,对于向量组,S,，,T,，下列条件等价,S,和,T,等价，即,S,T,可以互相表示,S,T,的极大无关组等价,S,T,的秩数相等，且其中之一可由另一表示,27,线性相关与线性表示：,1,.,r,线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示,若,1,.,r,线性相关,而,1,.,r,线性无关,则,可由,1,.,r,线性表示,且表法唯一,线性无关：,对于向量组,1,.,r,下列条件等价,1,.,r,线性无关,当,c,1,.,c,r,不全为,0,时，必有,c,1,1,+.+c,r,r,0,当,c,1,1,+.+c,r,r,0,时，必有,c,1,.,c,r,0,1,.,r,的秩数等于,r,(,1,.,r,),是列满秩矩阵,28,极大无关组与秩数：,1,.,r,S,是,S,的一个极大无关组当且仅当,1,.,r,线性无关,S,的每个向量都可由,1,.,r,线性表示,秩,S,极大无关组中向量的个数,若秩,S,r,则任何,r,个无关的向量都是极大无关组,矩阵的秩数行向量组的秩