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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.3 连续系统状态方程的解,连续系统状态方程的一般形式为,式中,状态方程的求解方法,变换法,时域法,一、状态方程的时域解,将式 等号两端前乘以 并移项得,根据矩阵指数函数的性质,上式可写成为,等号两端取t,0,到t的积分,得,上式等号两端前乘以 并移项,得,式中 时的状态矢量,即初始状态矢量。,第一项只与初始状态 有关,是系统状态矢量的零输入解。,第二项只与输入矢量 有关,是系统状态矢量的零状态解。,状态转移矩阵有以下重要性质:,矩阵 称为,状态转移矩阵,,用 表示,得,则写为,则状态方程的解,可以用类似于矩阵乘法的运算规则定义两个函,数矩阵的卷积积分。,状态方程的解可写成简练的形式,若 表示输出矢量的零状态响应,零输入响应,零状态响应,将上式代入 中得,定义一个pp对角方阵,于是,式中,称为冲激响应矩阵。,矩阵。,其中,结论:,例,8.3-,1,给定系统的状态空间方程为,已知系统初始状态,输入为单位阶跃函数。试求该系统的状态矢量,x,和输出,y,。,解,系统状态转移矩陈为,:,(,1,)计算状态矢量解,x,(,t,),。,零状态分量,于是状态矢量解为,(2),计算输出响应,y,(,t,),。,零输入分量,零状态分量,所以,系统的输出响应为,试求系统的状态和输出。,例8.3-2 如某LTI系统的状态方程和输出方程分别为,其初始状态和输入分别为,A的特征多项式,解(1)求状态转移矩阵,A的特征根为,用成分矩阵法求,由给定方程得知系统矩阵,可得矩阵指数函数为,其中,将它们代入 式,得,可用另外一种方法,求得相同结果。,由,将有关矩阵代入,得,(2)求状态方程的解,零输入解,零状态解,(3)求输出,其全解,将 和 代入到输出方程,得,零输入响应,零状态响应,解 1、求状态转移矩阵,求该系统的状态转移矩阵和系统矩阵A,例8.3-3一个二阶系统,其状态方程为 。,已知,当,时,当,时,状态矢量的零输入响应,为,2x2,矩阵,由已知条件可得,由上式可解得,将它们综合在一起,有,2、求系统矩阵,根据矩阵指数函数的性质。,令t=0得,所以,二、状态方程的变换解,设状态矢量 的分量 的,把它们简记作,由拉普拉斯的微分性质有,对 取拉普拉斯变换,即,上式等号两端前乘以 得,零输入解,零状态解,于是得状态转移矩阵,为了方便,定义,可称为预解矩阵。于是有,取上式的逆变换就得到,对输出方程取拉普拉斯变换,得,将上式代入,得,例,8.3-4,已知系统的状态空间方程为,系统输入为单位阶跃函数,初始状态,x,(0,-,)=1 2,T,。试求,(,1,)状态转移矩阵,和冲激响应矩阵,h,(,t,),;,(,2,)系统状态矢量,x,(,t,);,(3),系统输出,y,(,t,),解,(1),计算,(,t,),h,(,t,),。,先求预解矩阵。,因为,其行列式和伴随矩陈为,所以,取,的拉普拉斯反变换,得状态转移矩陈为,系统函数矩阵,取其拉普拉斯反变换,得冲激响应矩阵为,(2),计算状态矢量,x,(,t,),。,状态矢量的零输入分量,状态矢量的零状态分量,于是系统的状态矢量为,(3),计算输出,y,(,t,),。,输出的零输入分量,输出的零状态分量,因此,系统输出,即完全响应为,将连续时间,LTI,系统状态空间分析的一般步骤归纳如下:,第一步,,确定系统状态变量。一般地说,可以选取系统中表征记忆元件能量状况的物理量作为状态变量。通常,对于用信号流图,(,或框图,),表示的模拟系统,选取一阶系统,(,包括积分器,),输出变量为状态变量;对于,LTI,电系统,选取独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。,第二步,,用直接法或间接法列出系统的状态空间方程。,第三步,计算状态转移矩阵,或预解矩阵,第四步,求状态矢量,x,(,t,),其计算公式为,时域,S,域,第五步,计算冲激响应矩阵,或系统函数矩阵,H,(,s,)=,C,(,s,),B,+,D,第六步,计算系统输出,(,响应,)y(t),,,具体方法有两种:,方法,1,如果状态矢量解已经求出,可将它直接代入输出方程得到,y,(,t,),。,方法,2,如果状态矢量解未知,可按下列公式计算,:,时域:,S,域:,例8.3-4 描述二阶连续系统的动态方程为,求描述系统输入,输出的微分方程。,解 系统函数为,考虑到D=0和,例,8.3-5,设某连续系统的状态空间描述方程中,其系数,矩阵,试问当,K,满足何条件时,系统是稳定的,?,解,根据矩阵,A,的特征多项式,排出罗斯阵列为,若,A,的特征根均位于,S,平面的左半开平面上,则必须要求罗斯阵列的第一列数均大于零,故有,解得,K,3,即当,K,3,时,该系统是稳定的。,本节小结,1、连续系统状态方程的时域解,2、连续系统状态方程的变换域解,
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