单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 刚体的定轴转动,实际物体都是有形状、大小的。当需要研究物体的自身运动时，物体不能被看作质点。但很多情况下，可忽略物体在运动过程中的形变。,刚体：,物体内任意两点间的距离在运动中保持不变。,研究方法：,视刚体为无穷多质点组成的质点系。每一质点的运动服从牛顿定律。而整个刚体的运动规律是所有质点运动规律的叠加。,刚体的一般运动,平动（可看作质点）,转动,定轴转动,非定轴转动,第四章 刚体的定轴转动实际物体都是有形状、大小的。当需要,1,（1）,刚体的角动量、转动惯量；,（2）,刚体的转动定理及其应用；,（3）,刚体的角动量定理和角动量守恒定律；,（4）,力矩的功、转动动能、刚体的动能定理。,主要内容：,返回,（1）刚体的角动量、转动惯量；（2）刚体的转动定理及其应用；,2,4-1 刚体的运动,定轴转动,：刚体上所有质点均绕一固定直线作圆周运动，该直线称为,转轴,。,非定轴转动,：刚体上所有质点绕一直线作圆周运动，该轴也在空间运动.,平动,：刚体内任意两点连线的方向在运动中保持不变。,A,A,A,B,B,B,p,v,本章主要讨论刚体的定轴转动。,返回,4-1 刚体的运动定轴转动：刚体上所有质点均绕一固定直线,3,4-2 质心、质心运动定理,在讨论质点系的运动时，引入质心（或质心参照系）的概念，常可简化计算。,则质心的位矢定义为：,对质量连续分布的物体：,或：,x,y,z,o,m,i,C,为质点系总质量。,其中：,或：,设质点系各质点质量,m,1,、m,2,、,m,i,、,m,n,，它们的位矢,4-2 质心、质心运动定理在讨论质点系的运动时，引入质心,4,质心相对于质点系中各质点的位置是确定的,，该位置不因坐标系的不同选择而不同。,例：质量均匀的细杆，坐标原点选在一端。,C,o,x,dx,L/2,x,M,L,例：质量均匀的细杆，坐标原点选在杆中央。,C,o,x,dx,x,M,L,对质量分布均匀，形状对称的物体，质心就在其几何中心。,质心、重心是两个不同的概念，但物体不太大时，质心和重心位置重合。,当以质心为参照系时，质点系总动量为零。,质心相对于质点系中各质点的位置是确定的，该位置不因坐标系的,5,质心运动定理：,由质点系的动量定理：,可见：一个质点系质心的运动，就好象一个质点的运动。该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点所受的力等于整个质点系所受外力之和。,即：,称为,质心运动定理,。,返回,质心运动定理：由质点系的动量定理：可见：一个质点系质心的运动,6,4-3 刚体的角动量、转动惯量,1、,刚体定轴转动的角量描述：,角位移矢量,：,dt,时间内位矢转过的角度。,方向沿转轴,角速度矢量,：,角位移的时间变化率,。,定轴转动刚体上任一质元的线速度和角速度的关系为：,角加速度矢量,：,角速度的时间变化率,。,p,4-3 刚体的角动量、转动惯量1、刚体定轴转动的角量,7,刚体定轴转动时转轴固定不动，所以各角量可用,标量表示。,刚体定轴转动时，各质元角量 均相同，但,各质元线量 均不同。,角量与线量的关系：,可见：研究刚体定轴转动时用角量描述比用线量描述,方便得多。,刚体定轴转动时转轴固定不动，所以各角量可用刚体定轴转动时，各,8,2,、刚体的角动量：,刚体定轴转动不能用动量进行描述，而要用角动量进行描述。,定义：刚体上任一质元对转轴的角动量：,整个刚体对转轴的角动量为：,定义：刚体绕某定轴的转动惯量：,单位：,kg,m,2,所以，刚体对某转轴的,角动量,：,p,质点的角动量,2、刚体的角动量：刚体定轴转动不能用动量进行描述，而要用角动,9,3,、转动惯量的计算：,转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它的大小取决于：,(1),刚体质量；,(2),质量的分布；,(3),转轴的位置。,对质量连续分布的刚体：,质量体分布时：,质量面分布时：,质量线分布时：,质量元dm到转轴的距离,3、转动惯量的计算：转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它的,10,应用以下两个定理，往往可简化转动惯量的计算：,(1),平行轴定理：,(2),正交轴定理：,设,z,c,为通过刚体质心的转轴，,z,为与,z,c,平行的另一转轴。两转轴相距,d,，则：,其中：,md,2,相当于质量全部集中于,c,时，对,z,轴的转动惯量。,刚体对通过质心转轴的转动惯量最小。,薄板形刚体对板内两正交轴的转动惯量之和等于刚体对过两轴交点并垂直于板面的转轴的转动惯量。,C,z,z,c,d,y,o,z,x,应用以下两个定理，往往可简化转动惯量的计算：(1)平行轴定,11,例题,4-1,：,求质量为,M,、长为,l,的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：,（1）,转轴通过棒的中心并和棒垂直；,（2）,转轴通过棒的一端并和棒垂直,；,（3）,转轴通过棒上距中心为,h,的一点并和棒垂直。,（1）,棒上任取线元,dx,，其质量为,dm。,L、M,x,dx,C,该线元对转轴的转动惯量为：,整根棒对转轴的转动惯量为：,例题4-1：（1）棒上任取线元dx，其质量为dm。L、Mxd,12,L、M,x,dx,L、M,h,C,z,z,c,（2）,当转轴取在棒的一端时：,（3）,当,转轴通过棒上距中心为,h,的一点并和棒垂直时：,由平行轴定理：,当,h=L,/,2,时，与,(2),的情况相同，由上式：,L、MxdxL、MhCzzc（2）当转轴取在棒的一端时：（3,13,例题,4-2,：,求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为,R,，质量为,M,。,在圆盘上取一半径为,r,、宽度为,dr,的圆环，环的面积为,2,rdr,，环的质量为：,转动惯量：,p,r,dr,M,返回,P60常见的几种的转动惯量,例题4-2：在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积,14,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘,15,4-4 刚体的转动定理,外力对刚体定轴转动的影响，与力的大小、方向、作用点的位置都有关。但外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。,1,、力矩：,p,fcos,d,o,f sin,定义：外力相对于某固定轴的,力矩,为：,力矩的大小：,其中：,称为外力对转轴的,力臂,。,4-4 刚体的转动定理外力对刚体定轴转动的影响，与力,16,力矩的大小也可以写作：,当有几个外力同时作用于刚体时，合外力矩等于各外力力矩的矢量和：,可见：只有垂直于位矢方向的分力,f sin,才对刚体定轴转动起作用。,但对于作定轴转动的刚体，合外力矩可用代数和表示：,刚体所受合外力为零时，合外力矩不一定为零，反之亦然。,力矩的大小也可以写作：当有几个外力同时作用于刚体时，合外力矩,17,2,、刚体的转动定理：,刚体中第,i,个质元对转轴的角动量为：,对时间求导：,其中：,为第,i,个质元所受的作用力；,为,f,i,对转轴的力矩。,对整个刚体：,2、刚体的转动定理：刚体中第i个质元对转轴的角动量为：对时间,18,为所有质元所受外力矩和内力矩的矢量和：,因为刚体内每一对内力的力矩均等值、反向，所以内力矩对定轴转动刚体的运动无影响。,O,刚体内作用力和,反,作用力的力矩互相,抵消,为所有质元所受外力矩和内力矩的矢量和：因为刚体内每一对内力的,19,非相对论情况下，转动惯量,I,为常量：,所以，经典力学中刚体的,转动定理,可表示为：,当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小。说明,转动惯量,I,是刚体转动惯性大小的量度。,设 为刚体所受的合外力矩，则：,刚体的转动定理：刚体所受的合外力矩等于刚体对同一转轴,角动量的时间变化率。,非相对论情况下，转动惯量I为常量：所以，经典力学中刚体的转动,20,例题,4-5,设,m,1,m,2,，定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为,M,而半径为,r,。绳的质量不计且与滑轮无相对滑动，滑轮轴的摩擦力不计。求：,m,1,、,m,2,的加速度及绳中的张力。,隔离滑轮及重物，画受力分析图。,因绳的质量不计，所以：,T,1,=T,1,，T,2,=T,2,。,m,1,m,2,M,m,2,g,M,r,o,T,2,T,1,m,1,g,T,2,T,1,a,a,例题4-5设 m1 m2，定滑轮可看作匀质圆盘，其质量,21,解方程：,若滑轮质量不计，即,M=0,，则：,返回,解方程：若滑轮质量不计，即M=0，则：返回,22,例5,一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链,O,相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链,O,转动.试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度.,解,细杆受重力和,铰链对细杆的约束力,作用，由转动定律得,例5 一长为 质量为,23,式中,得,由角加速度的定义,代入初始条件积分 得,式中得由角加速度的定义代入初始条件积分 得,24,4-5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律,外力矩持续作用一段时间后，刚体的角速度才会改变。,1,、刚体的角动量定理：,由转动定理：,式中,称为合外力矩在,t=t,2,-t,1,内的,冲量矩,(N,m,s),。,角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一,时间内角动量的增量。,角动量定理对非刚体也成立，此时：,4-5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律外力矩持续作,25,2,、角动量守恒定律：,当物体所受合外力矩为零时，有：,即：,当物体所受合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。,角动量守恒的两种情况：,(1),转动惯量和角速度都不变；,(2),转动惯量和角速度都改变，但两者的乘积保持不变。,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守 恒条件,若 不变，不变；若 变，也变，但 不变.,讨论,在,冲击,等问题中,常量,2、角动量守恒定律：当物体所受合外力矩为零时，有：即：当物体,26,有许多现象都可以用角动量守恒来说明.,花样滑冰,跳水运动员跳水,有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰,27,例题,4-6,质量为,M,，半径为,R,的转台，可绕垂直中心轴无摩擦地转动，质量为,m,的人站在台边。开始时，人与转台都静止。若人沿台边走动一周。求：转台和人相对地面各转动了多少角度？,设人对地角速度,，转台对地角速度,，人对转台角速度,rel,，则：,人与转台系统地角动量守恒：,得：,例题4-6质量为 M，半径为R的转台，可绕垂直中心轴无摩擦,28,所以人对地转过的角度：（设,T,为人沿转台走一周所需时间）,转台对地转过的角度：,负号表示人与转台的转动方向相反。,返回,所以人对地转过的角度：（设T为人沿转台走一周所需时间）转台对,29,例3,质量很小长度为,l,的均匀细杆,可绕过其中心,O,并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率,垂直落在距点,O,为,l,/4,处,并背离点,O,向细杆的端点,A,爬行.设小虫与细杆的质量均为,m,.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,解,小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒,例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕,30,由角动量定理,即,考虑到,质点！,由角动量定理即考虑到质点！,31,例4,一杂技演员,M,由距水平跷板高为,h,处自由下落到跷板的一端,A,并把跷板另一端的演员,N,弹了起来.设跷板是匀质的,长度为,l,质量为,跷板可绕中部支撑点,C,在竖直平面内转动,演员的质量均为,m,.假定演员,M,落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员,N,可弹起多高?,l,l,/2,C,A,B,M,N,h,解,碰撞前,M,落在,A,点的速度,碰撞后的瞬间,M,、,N,具有相同的线速度,例4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为,32,把,M,、,N,和跷板作为一个系统,角动量守恒,解得