单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,4,章 抽样与抽样分布,4.1,三种不同性质,的,的分布,4.1.1,总体分布,4.1.2,样本分布,4.1.3,抽样分布,总体中各单位,的,的观测值所形,成,成的相对频数,分,分布。,分布通常是未,知,知的,可以假定它服,从,从某种分布,4.1.1,总体分布,(populationdistribution),总体,从总体中抽取,一,一个容量为的样本，由这,个,个观测值 形成的相对频数分布，称,为,为样本分布，,也,也称经验分布。,当样本容量,n,逐渐增大时，,样,样本分布逐渐,接,接近总体的分,布,布,4.1.2,样本分布,(sampledistribution),样本,4.1.3,抽样分布,(Sampling Distribution),抽样分布的形,成,成过程,(sampling distribution),总体,计算样本统计量,如：均值、比例、方差等。,样本,4.2,大数定律与中,心,心极限定理,4.2.1,大数定律,1.,独立同分布大,数,数定律,2.,伯努利大数定,律,律,4.2.2,中心极限定理,独立同分布大数定律,设独立随机变量服从同一分布,，,，且存在数学,期,期望和方差,，,，对于任意,给,给定的,有,个别,现,现象,受,受到,偶,偶然,因,因素,的,的影,响,响，,对,对总,体,体的,大,大量,观,观察,后,后进,行,行平,均,均，,能,能使,偶,偶然,因,因素,的,的影,响,响相,互,互抵,消,消，,样,样本,平,平均,数,数会,稳,稳定,在,在附,近,近，,为,为样,本,本平,均,均数,估,估计,总,总体,均,均值,提,提供,理,理论,依,依据,。,。,伯努利,大,大数,定,定律,在独,立,立试,验,验序,列,列中,，,，,是,是,事,事件,在,在,次,次,试,试验,中,中发,生,生的,次,次数,，,，,是,是事,件,件,发,发,生,生的,概,概率,，,，对,于,于任,意,意给,定,定的,有,当多,次,次重,复,复观,察,察某,个,个现,象,象时,，,，该,现,现象,发,发生,的,的频,率,率与,该,该现,象,象发,证,证的,概,概率,之,之间,的,的差,距,距是,非,非常,小,小的,，,，是,用,用频,率,率去,代,代替,概,概率,提,提供,理,理论,依,依据,。,。,4.2.2,中心,极,极限,定,定理,（,CentralLimitTheorem,）,设总,体,体均,值,值为,，,，且,存,存在,有,有限,方,方差,，,，从,中,中抽,取,取样,本,本容,量,量为,n,的样,本,本。,当,当样,本,本容,量,量足,够,够大,时,时,（,n30,），,样本,平,平均,数,数,的,的,抽,抽样,分,分布,近,近似,地,地服,从,从正,态,态分,布,布，,这,这就,是,是著,名,名的中心,极,极限,定,定理。,4.3,常用,抽,抽样,分,分布,及,及其,特,特点,4.3.1Z,分布,及,及其,特,特点,4.3.2t,分布,及,及其,特,特点,4.3.3,分布,及,及其,特,特点,4.3.4F,分布,及,及其,特,特点,4.3.1Z,分布,及,及其,特,特点,当连续,型,型随,机,机变,量,量,X,的密,度,度函,数,数为,时，,称,称,X,服从,正,正态,分,分布，有时,也,也称,X,为正,态,态随,机,机变,量,量。,设,则,Z,是一,个,个服,从,从标,准,准正,态,态分,布,布的连续,型,型随机,变,变量,，,，其密度,函,函数,为,为,Z,分布,及,及其,特,特点,E(z)=0D(z)=1,1,、,z,分布,以,以,Y,轴为,中,中心,，,，左,右,右对,称,称,2,、服,从,从标,准,准正,态,态分,布,布的,随,随机,变,变量,Z,的概,率,率，,与,与一,般,般的,正,正态,随,随机,变,变量,原,原理,相,相同,。,。,标准,正,正态,分,分布概率,密,密度,函,函数,图,图,4.3.2t,分布,及,及其,特,特点,若随,机,机变,量,量，随,机,机变,量,量，且随,机,机变,量,量,X,与,Y,相互,独,独立,，,，则,随,随机,变,变量服从,自,自由,度,度为,的,的,t,分布,，,，记为,其密,度,度函,数,数为,t,分布,及,及其,特,特点,E(t)=0D(t)=n/(n-2)(n2),1,、,t,分布,是,是对,称,称分,布,布，,均,均值,为,为,0,2,、当,自,自由,度,度,n,，,方,方差,极,极限,为,为,1,t,分布,的,的形,状,状和,自,自由,度,度,n,有关,系,系，,自,自由,度,度越,小,小，,t,分布,曲,曲线,较,较为,扁,扁平,，,，与,标,标准,正,正态,分,分布,差,差异,越,越大,；,；自,由,由度,越,越大,，,，,t,分布,曲,曲线,与,与标,准,准正,态,态分,布,布曲,线,线的,差,差异,逐,逐渐,缩,缩小,。,。,图,4-2,标准,正,正态,分,分布,以,以及,各,各种,自,自由,度,度的,t,分布,的,的密,度,度函,数,数的,曲,曲线,4.3.3,分布,及,及其,特,特点,若随,机,机变,量,量,独,独立,且,且同,为,为标准,正,正态,分,分布，则,它,它们,的,的平,方,方和,服,服从,自,自由,度,度为,n,的,分,分,布,布，,记,记为,。,。,其概率,密,密度,函,函数,为,为：,分布及其,特,特点,E(x)=nD(x)=2n,自由,度,度增大,，,，期,望,望和,方,方差,随,随之,增,增大,。,。,是一,种,种不,对,对称,偏,偏峰,分,分布,，,，值,域,域区,间,间（,0,，,+,）,随自,由,由度,增,增大,，,，曲,线,线的,最,最高,点,点逐,渐,渐下,移,移并,向,向右,移,移动,，,，趋,于,于对,称,称。,图,4-3,不同,自,自由,度,度的,分,分布,4.3.4F,分布,及,及其,特,特点,若随,机,机变,量,量,、,、,相,相,互,互独,立,立，,且,且分,别,别服,从,从自,由,由度,为,为,、,、,的,的,分,分,布,布，,则,则随,机,机变,量,量,服,服,从,从第,一,一自,由,由度,为,为,，,，第,二,二自,由,由度,为,为,的,的,F,分布,，,，记为,其密,度,度函,数,数为,：,：,F,分布,及,及其,特,特点,E(F)=n,2,/(,n,2,-2,)D(F)=2n,2,2,(n,1,+n,2,-2)/n,1,(n,2,-2),2,(n,2,-4),非对,称,称的,正,正偏,分,分布,，,，值,域,域（,0,，,+,）,F,分布,的,的极,限,限是,正,正态,分,分布,，,，随,第,第一,自,自由,度,度,n,1,的增,大,大，,分,分布,曲,曲线,逐,逐渐,趋,趋于,对,对称,，,，随,两,两个,自,自由,度,度的,增,增大,，,，分,布,布曲,线,线逐,渐,渐趋,于,于正,态,态分,布,布。,图,4-4,不同,自,自由,度,度的,F,分布,4.4,常用,统,统计,量,量的,抽,抽样,分,分布,4.4.1,样本,均,均值,的,的抽,样,样分,布,布,4.4.2,样本,比,比率,的,的抽,样,样分,布,布,在重,复,复选,取,取容,量,量为,n,的样,本,本时,，,，由,样,样本,均,均值,的,的所,有,有可,能,能取,值,值形,成,成的,相,相对频数,分,分布,，,，一种理,论,论概率,分,分布,。,。,推断,总,总体,均,均值,的理,论,论基,础,础,4.4.1,样本,均,均值,的,的抽,样,样分,布,布,样本,均,均值,的,的抽样,分,分布,(,例题,分,分析,),【,例,4-1,】,设一,个,个总,体,体，,含,含有,4,个元,素,素,(,个体,),，即,总,总体,单,单位,数,数,N=4,。,4,个个,体,体分,别,别为,X,1,=1,，,X,2,=2,，,X,3,=3,，,X,4,=4,。从,总,总体,中,中采,取,取重,复,复抽,样,样方,法,法抽,取,取容,量,量为,2,的随机样,本,本，写出,样,样本均值,的,的抽样分,布,布。,总体分布,1,4,2,3,0,.1,.2,.3,均值和方,差,差,样本均值,的,的抽样分布,(,例题分析,),现从总体,中,中抽取,n,2,的简单随,机,机样本，,在,在重复抽,样,样条件下,，,，共有,4,2,=16,个样本。,所,所有样本,的,的结果为,3,4,3,3,3,2,3,1,3,2,4,2,3,2,2,2,1,2,4,4,4,3,4,2,4,1,4,1,4,4,1,3,3,2,1,1,2,1,1,1,第二个观察值,第一个,观察值,所有可能的,n,=2,的样本（共,16,个）,样本均值,的,的抽样分布,(,例题分析,),计算出各,样,样本的均,值,值，如下,表,表。并给,出,出样本均,值,值的抽样,分,分布,3.5,3.0,2.5,2.0,3,3.0,2.5,2.0,1.5,2,4.0,3.5,3.0,2.5,4,2.5,4,2.0,3,2,1,1.5,1.0,1,第二个观察值,第一个,观察值,16,个样本的均值（,x,）,x,样本均值的抽样分布,1.0,0,0.1,0.2,0.3,P,(,x,),1.5,3.0,4.0,3.5,2.0,2.5,样本均值,的,的抽样分布,(,数学期望,与,与方差,),1.,样本均值,的,的均值,(,数学期望,),等于总体均值,2.,样本均值,的,的方差等,于,于总体方,差,差的,1/n,样本均值,的,的分布与,总,总体分布,的,的比较,(,例题分析,),=2.5,2,=1.25,总体分布,1,4,2,3,0,.1,.2,.3,抽样分布,P,(,x,),1.0,0,.1,.2,.3,1.5,3.0,4.0,3.5,2.0,2.5,x,两个重要,结,结论：,1.,样本统计,量,量抽样分,布,布的平均,数,数等于总,体,体平均数,即,2.,样本统计,量,量抽样分,布,布的标准,差,差等于总,体,体标准差,除,除以样本,单,单位数的,平,平方根。即,又称为抽样标准误差,，,，用,表,表示。,x,样本均值,的,的抽样分,布,布,以上两个结论,具,具有普遍意义,这一等式,可,可以看出,一,一项重要,事,事实,抽样平均,误,误差比总,体,体标准差,小,小的多，,仅,仅为其,。,。,例如一个,县,县的粮食,亩,亩产高低,悬,悬殊，亩,产,产标准差,为,为,80,公斤，如果随,机,机抽取,100,亩求平均,亩,亩产，那,么,么样本平均亩产,量,量的差异就,显,显著减小,，,，平均误,差,差只及总,体,体亩产标准差的，即,8,斤。,样本均值,的,的抽样分,布,布,样本均值,的,的抽样分,布,布,样本均值,的,的抽样分,布,布,样本抽样,分,分布,原总体分,布,布,样本均值,的,的抽样分布,与,与中心极限,定,定理,=50,=10,X,总体分布,n,=4,抽样分布,x,n,=16,当总体服,从,从正态分,布,布,N(,2,),时，来自,该,该总体的,所,所有容量,为,为,n,的样本的,均,均值,x,也服从正,态,态分布，,x,的数学期,望,望为,，方差为,2,/n,。,即,x,N,(,2,/,n),),中心极限,定,定理,(,CentralLimitTheorem,),当样本容量足够大时,(n,30),，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布,中心极限,定,定理：设,从,从均值为,，方差为,2,的一个任,意,意总体中,抽,抽取容量,为,为,n,的样本，,当,当,n,充分大时,，,，样本均,值,值的抽样,分,分布近似,服,服从均值,为,为,、方差为,2,/n,的正态分,布,布,一个任意分布的总体,x,中心极限,定,定理,(,CentralLimitTheorem,),x,的分布趋,于,于正态分,布,布的过程,抽样分布,与,与总体分,布,布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,正态分布,正态分布