第3章 积分的数值方法,3.1 概述,3.2 梯形积分法,3.3 抛物积分法,3.4 龙贝格积分法,3.5 高斯求积,第3章 积分的数值方法 3.1 概述,数值积分的基本思想,积分值 在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图3-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x),图,3-1,数值积分,的几何意义,数值积分的基本思想 图3-1 数值积分,建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：,（1）,由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间a,b内存在一点，使得:,即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为,的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的,因而 的值也是未知的,称 为f(x)在区间a,b上的平均高度。那么只要对平均高度 提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法.,建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有,三个求积分公式,梯形公式,y=f(x),y,x,a,b,y=f(x),a,b,y,x,(a+b)/2,中矩形公式,按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如 分别取,和,则分别得到梯形公式和中矩形公式。,y=f(x),a,b,a,b,三个求积分公式 梯形公式y=f(x)yxaby=f(,y,a,b,Simpson公式,(a+b)/2,作为平均高度,f(,)的近似值而获得的一种数值积分方法。,a,b,(a+b)/2,在这三个公式中,梯形公式,是把 f(a),f(b)的平均值：,yab Simpson公式(a+b)/2作为平均高度,Simpson公式,是以函数 f(x)在 a,b,(a+b)/2 这三点的,函数值 f(a),f(b),的加权平均值,作为平均高度f(,)的,近似值而获得的一种数值积分方法。,中矩形公式,是把,a,b,的中点处的函数值：,作为,平均高度f(,)的近似值而获得的一种数值积分方法。,Simpson公式是以函数 f(x)在 a,b,(a+,（,2）,先用某个简单函数 近似逼近f(x),用,代替原被积函数f(x)，即：,以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数,应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将 选取为插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。,（2）先用某个简单函数 近似逼近f(x),3.4 插值求积公式,设已知f(x)在节点 处有,函数值 ,作n次拉格朗日插值多项式：,式中,这里,多项式P,n,(x)易于求积,所以可取 作为,的近似值，即:,3.4 插值求积公式式中 这里 多项式Pn(x)易于求积,其中,称为,求积系数,。给出如下定义,。,定义3.1,求积公式,其系数为 时，则称求积公式为,插值求积公式,。,(3-10),其中 称为求积系数。给出如下定义。定义3.1 求积公,设插值求积公式的余项为 ,由插值余项定理得,其中,当f(x)是次数不高于n的多项式时，有,=0,求积公式(3-10)能成为准确的等式。由于闭区间a,b上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。,设插值求积公式的余项为 ,由插值余项定理得 其中 当f,定义,3.2,（代数精度）,设求积公式（,3-10,）对于一,切次数小于等于,m,的多项式(,是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式,具有m次代数精度,（简称代数精度）,由定义可知，若求积公式（3-10）的代数精度为n，则求积系数 应满足线性方程组：,或,),定义3.2 （代数精度）设求积公式（3-10）对于一是准,这是关于 的线性方程组，其系数矩阵,是梵得蒙矩阵,当,互异时非奇异,故,有唯一解。,这是关于 的线性方程组，其系数矩阵是梵得蒙矩阵,定理,3.1,n+1,个节点的求积公式,为插值型求积公式的充要条件是公式,至少具有,n,次代数精度。,证:充分性,设n+1个节点的求积公式,为插值型求积公式,求积系数为:,又,当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少,具有n次代数精度。,定理3.1 n+1个节点的求积公式证:充分性,定理,3.1,n+1,个节点的求积公式,为插值型求积公式的充要条件是公式,至少具有,n,次代数精度。,必要性 若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次,多项式,精确成立,即,而,取 时,所以有 ,即求积公式为插值型求积公式,定理3.1 n+1个节点的求积公式必要性 若求积公式至,例,3.1,设积分区间,a,b,为,0,2,时，取,时,分别用梯形和辛卜生公式,计算其积分结果并与准确值进行比较,解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比,较如下表所示,例3.1 设积分区间a,b为0,2时，取计算,f,(x)1 x x,2,x,3,x,4,e,x,准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389,梯形公式计算值 2 2 4 8 16 8.389,辛卜生公式计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421,从表中可以看出,当,f(x),是 时,辛卜生公式比梯形公式更精确,一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，辛卜生公式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证。,f(x),取f(x),=1,时，,两端相等,取f(x)=x时,取f(x)=x,2,时,两端不相等,所以梯形公式只有1次代数精度。,两端相等,取f(x)=1时，两端相等 取f(x)=x时,取f(x),例,3.2,试确定一个至少具有,2,次代数精度的公式,解:要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x,2,求积公式准确成立，即得如下方程组。,解之得：,所求公式为：,例3.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式 解:要使,例,3.3,试确定求积系数A,B,C 使,具有最高的代数精度,解:分别取f(x)=1,x,x,2,使求积公式准确成立,即,得如下方程组。,所得求积公式为：,对于f(x)=1,x,x,2,x,3,都准确成立,对于f(x)=x,4,就不准确了，所以此求积公式有3次代数精度。,例3.3 试确定求积系数A,B,C 使所得求积公式为：对于,由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如 插值求积公式,有三个节点，至少有2次代数精度，是否有3次代数精度呢？将f(x)=x,3,代入公式两端，左端和右端都等于(b,4,-a,4,)/4,公式两端严格相等，再将f(x)=x,4,代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。,由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精,的代数精度,可以验证,对于f(x)=1,x时公式两端相等,再将f(x)=x,2,代入公式 左端,例3.4 考察求积公式,两端不相等,所以该求积公式具有 1 次代数精度.,三个节点不一定具有2次代数精度，,因为不是插值型的,右端,的代数精度例3.4 考察求,例,3.5,给定求积公式如下：,试证此求积公式是插值型的求积公式,证:设 ,则以这三点为插值节点的,Lagrange插值基函数为,例3.5 给定求积公式如下：试证此求积公式是插值型的求积,积分的数值方法课件,由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。,插值型求积公式为,由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。,例3.6 求证,不是插值型的,证明:设 x,0,=-1,x,1,=0,x,2,=1,A,0,=1/2,A,1,=1,A,2,=1/2,则以这三点为插值节点的Lagrange插值,基函数为：,例3.6 求证不是插值型的证明:设 x0=-1,例3.7 给定求积公式,试确定求积系数A,-1,A,0,A,1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度,解：令求积公式对f(x)=1,x,x,2,准确成立，则有,例3.7 给定求积公式试确定求积系数A-1,A0,例3.7 给定求积公式,试确定求积系数A,-1,A,0,A,1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度,解之得,其代数精度至少为2,将f(x)=x,3,代入求积公式两端相等,而将f(x)=x,4,代入求积公式两端不相等,所以其代数精度为3次,例3.7 给定求积公式试确定求积系数A-1,A0,例 3.8 确定求积公式,使其具有尽可能高的代数精度,解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式的代数,精度为2,则当f(x)=1,x,x,2,时公式变成等式,即,例 3.8 确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度解,例 3.8 确定求积公式,使其具有尽可能高的代数精度,解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式的代数,精度为2,则当f(x)=1,x,x,2,时公式变成等式,即,其中h=b-a,令f(x)=x,3,代入上式,两端不等,说明求积公式只有2次代数精度。,解之得：,例 3.8 确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度解,构造插值求积公式有如下特点：,复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分,求积系数A,k,只与积分区间及节点x,k,有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出A,k,的值,n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度,求积系数之和,可用此检验计算求积系数的正确性,构造插值求积公式有如下特点：,例 3.9 求证当节点为n+1个时,插值求积系数之和为,例 3.9 求证当节点为n+1个时,插值求积系数之,(1)在积分区间a,b上选取节点x,k,(2)求出f(x,k,)及利用,或解关于A,k,的线性方程组求出A,k,，这样,就得到了,(3)利用f(x)=x,n,验算代数精度,构造插值求积公式的步骤,(1)在积分区间a,b上选取节点xk(3)利,例3.10,对 构造一个至少有3次代数精度,的求积公式,解:3次代数精度需4个节点,在0,3上取0,1,2,3四个,节点构造求积公式,确定求积系数A,k,(,k=0,1,2,3),利用求积系数公式,因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x,4,代入来验证其代数精度。将f(x)=x,4,代入两端不相等，所以只有3次代数精度,例3.10 对 构,3.4.1 牛顿柯特斯(Newton-Cotes)求积公式,在插值求积公式,中,当所取节点是等距时称为,牛顿-柯特斯公式,其中 插值多项式为：,求积系数为：,这里 是插值基函数。即有：,3.4.1 牛顿柯特斯(Newton-Cotes)求积公,将积分区间,a,b,划分为n等分,步长,求积节点为 为了计,算系数A,k,由于 ,所以,作变量代换 当 时,有,于是可得：,将积分区间a,b 划分为n等分,步长作变量代换,(k=0,1,n),代入插值求积公式(,3-10)中，,有：,称为,牛顿-柯特斯求积公式,C,k,称为柯特斯系数,引进记号：,(k=0,1,n),则有：,(k=0,1,n)代入插值求积公式(3-10)中，,容易验证,显然,C,k,是不依赖于积分区间a,b以及被积函数f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬如当n=1时,容易验证 显然,Ck是不依赖于积分区间a,b以,当,n,=2时,P,127,给出了,n,从18的柯特斯系数,。,当n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。,当n=2时 P127 给出了n从18的柯特斯系数。,3.4.2,梯形积分法和抛物积分法的误差,在牛顿-柯特斯求积公式中,n,=1,2,4时，就分别,得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。,(1),梯形公式,当,n,=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式,定理6.2,（梯形公式的误差）设f(x)在,a,b,上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为,3.4.2 梯形积分法和抛物积分法的误差定理6.2（梯,证:由插值型求