单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,1,定义,1,分量全为复数的向量称为,复向量,.,分量全为实数的向量称为,实向量,，,一、 维向量的概念,第1页/共42页,1定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为,2,例如,n,维实向量,n,维复向量,第,1,个分量,第,n,个分量,第,2,个分量,第2页/共42页,2例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量第2,3,二、 维向量的表示方法,维向量写成一行，称为,行向量,，也就是行,矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为,列向量,，也就是列,矩阵，通常用等表示，如：,第3页/共42页,3二、 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为行向,4,注意,行向量和列向量总被看作是,两个不同的,向量,；,行向量和列向量都按照,矩阵的运算法则,进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时，,都当作,列向量,.,第4页/共42页,4注意行向量和列向量总被看作是两个不同的行向,5,向量,解析几何,线性代数,既有大小又有方向的量,有次序的实数组成的数组,几何形象：可随意,平行移动的有向线段,代数形象：向量的,坐标表示式,坐标系,三、向量空间,第5页/共42页,5向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组,6,空间,解析几何,线性代数,点空间,：点的集合,向量空间,：向量的集合,坐标系,代数形象：向量空,间中的平面,几何形象：空间,直线、曲线、空间,平面或曲面,一一对应,第6页/共42页,6空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集,7,叫做,维向量空间,时， 维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的,维超平面,第7页/共42页,7叫做 维向量空间 时， 维向量没有直观,8,确定飞机的状态，需,要以下,6,个参数：,飞机重心在空间的位置参数,P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用,6,维向量,维向量的实际意义,第8页/共42页,8确定飞机的状态，需飞机重心在空间的位置参数P(x,y,9,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,四、向量、向量组与矩阵,第9页/共42页,9 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集,10,向量组, , ,， 称为矩阵,A,的行向量组,第10页/共42页,10向量组 , , ， 称为矩阵,11,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵,.,第11页/共42页,11 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成,12,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间,一一对应,第12页/共42页,12线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对,13,定义,线性组合,第13页/共42页,13定义线性组合第13页/共42页,14,向量 能,由向量组 线性表示,第14页/共42页,14 向量 能第14页,15,定理,1,定义,向量组 能由向量组 线性表示,向量组等价,第15页/共42页,15定理1定义向量组 能由向量组 线性表示向量组等价第1,16,第16页/共42页,16第16页/共42页,17,从而,第17页/共42页,17从而第17页/共42页,18,第18页/共42页,18第18页/共42页,19,第19页/共42页,19第19页/共42页,20,第20页/共42页,20第20页/共42页,21,第21页/共42页,21第21页/共42页,22,注意,定义,五、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,第22页/共42页,22注意定义五、线性相关性的概念则称向量组 是线性相关的，,23,第23页/共42页,23第23页/共42页,24,定理向量组 （当 时）线性相关,的充分必要条件是 中至少有一个向,量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示,.,即有,六、线性相关性的判定,第24页/共42页,24定理向量组 （当 时）线性相关,25,故,因 这 个数不全为,0,，,故 线性相关,.,必要性,设 线性相关，,则有不全为,0,的数使,第25页/共42页,25故因,26,因 中至少有一个不为,0,，,不妨设则有,即 能由其余向量线性表示,.,证毕,.,第26页/共42页,26因 中至少有一,27,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,第27页/共42页,27线性相关性在线性方程组中的应用结论第27页/共42页,28,定理,2,下面举例说明定理的应用,.,证明,（略）,第28页/共42页,28定理2下面举例说明定理的应用.证明（略）第28页/共4,29,解,例,第29页/共42页,29解例第29页/共42页,30,解,例,分析,第30页/共42页,30解例分析第30页/共42页,31,第31页/共42页,31第31页/共42页,32,证,第32页/共42页,32证第32页/共42页,33,第33页/共42页,33第33页/共42页,34,定理,3,第34页/共42页,34定理3第34页/共42页,35,第35页/共42页,35第35页/共42页,36,证明,说明,第36页/共42页,36证明说明第36页/共42页,37,说明,第37页/共42页,37说明第37页/共42页,38,第38页/共42页,38第38页/共42页,39,.,向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方,程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,.,线性相关与线性无关的概念；线性相关性,在线性方程组中的应用；,（,重点,）,.,线性相关与线性无关的判定方法：定义，,两个定理,（,难点,）,七、小结,第39页/共42页,39. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方.,40,思考题,第40页/共42页,40思考题第40页/共42页,41,证明,（）、（）略,（）,充分性,必要性,思考题解答,第41页/共42页,41证明（）、（）略（）充分性必要性思考题解答第4,线性代数课件 hty,42,感谢您的欣赏！,第42页/共42页,线性代数课件 hty42感谢您的欣赏！第42页/共42页,