单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七、八章复习,点值估计,区间估计,假设检验,参数估计,统计推断,正态总体方差,正态总体均值,评选标准,设总体,X,的分布函数的形式已知，但是它的某些参数是未知的，,通过总体的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为,参数的点估计问题,一、点估计,点估计常用方法:,参数,的估计量 是样本,X,1,X,2,.,X,n,的函数.,用样本(原点)矩作为总体(原点)矩的估计量的方法称为,矩估计法,矩估计法,矩估计法的具体做法是,：令,这是一个包含,k,个未知参数 的联立方程组。,解此方程组，得到一组解 ，由于,是随机变量，故解 也是随机变量，则将,分别作为 的矩估计量,最大似然估计法,.,最大似然原理的直观想法:,“概率最大的事件最可能出现”.,极大似然估计法：,就是固定样本观察值 ，在,取值的可能范围 内挑选使似然函数达到最大的参数 ，,作为 的估计值，若 为 的极大似然估计,值，则 为 的极大似然估计量,(1)设总体,X,是离散型随机变量，其分布律为,似然函数,(2)设总体,X,是连续型随机变量,其密度函数为 ，,似然函数,在很多情形，,L,关于 可微，要使,L,取得最大值，,则 必须满足方程 .又由于 是,x,的增函数，因此,L,与 在相同点达到最大，故方程,可用方程代替,则称 为 的,极大似然估计值,，,称 为 的,极大似然估计量,若,由此方程组可解得参数 的极大似然估计值,极大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数,的情况.这时,似然函数,L,是这些未知参数的函数.分别令,或令,如果 为参数 的极大似然估计量，又函数 具有,单值反函数，则 是 的极大似然估计量,似然估计具有下述性质:,二、估计量的评选标准,无偏性、,有效性、,相合性,定义1,设 是未知参数 的估计量，如果 ,则称,是 的无偏估计量,定义2,设 与 都是参数 的无偏估计，如果,则称 较 有效,定义3,设 是未知参数 的估计量，如果对于任意,，有 ，则称 为 的相合估计量,三、区间估计,为了估计总体,X,的未知参数,，通过样本寻求一个,区间,，并且给出此,区间包含参数,真值的可信程度,这就是总体未知参数的,区间估计问题,(1).,置信区间的定义,设总体,X,的分布函数,F,(,x,;,),为,未知参数，,X,1,X,2,X,n,是取自总体,的样本.设,满足 0,0,拒绝域:,c)H,0,:,0,H,1,:,0,拒绝域:,c)H,0,:,0,H,1,:,0,.但,2,均为未知.,X,1,X,2,X,n,为来自总体,X,的样本,求,2,的矩估计量.,解得,由矩估计法,对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变,【注】,例3,设总体,X,的密度函数为,其中,是未知参数,为来自总体的一个,容量为,n,的简单随机样本,试用矩估计法估计,解：因为,又因为,解之得,(,练习,)若总体X,(,),则未知参数,的矩估计量,例4,设总体,X,服从,a,，,b,上的均匀分布，,a,，,b,未知，,X,1,X,2,X,n,为来自总体,X,的样本,试求,a,，,b,的,矩估计量,解,解得，,由矩估计法,例5,设,X,b,(1,p,),X,1,X,2,X,n,是来自,X,的一个样本,求参数,p,的最大似然估计量.,解,X,的分布律为,P,X,=,x,=,p,x,(1-,p,),1,-x,x=,0,1,.,设,x,1,x,2,x,n,是相应于,X,1,X,2,X,n,一个样本值,得似,然函数为,似然估计量,似然估计值,令,于是,例6,设总体,XN,(,2,),2,均未知，又设,X,1,X,2,.,X,n,为总体,X,的样本,x,1,x,2,x,n,为,X,的一组样本观测值，,试求,2,的最大似然估计值及估计量.,解,似然函数为,似然方程组,X,的概率密度为,(,练习,)已知,X,服从参数为,的指数分布,求参数,的,最大似然估计值,例7,已知一批灯泡的使用寿命,T,服从参数为,的指数分布,现随机抽取18只,测得使用寿命(小时)如下:,16,29,50,68,100,130,140,270,280,340,410,450,520,620,190,210,800,1100,求参数,与 的最大似然估计值,解:,因为,T,服从指数分布，故参数,的最大似然估计为,所以,计算得,由定义知 较 有效,证明,所以 ,均为 的,又因为,因为,所以,无偏估计，,例8,设总体,X,的数学期望 ，方差 存在，是,X,的样,本，证明估计 时,与 都是,的无偏估计,但 比 更有效,例9.,设总体,X,服从0,上的均匀分布,X,1,X,2,X,n,是来自X的样本.求,的矩估计量及最大似然估计量,并判断它们是否是,的无偏估计量.,解答,是无偏估计量,不是无偏估计量.,例10,有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下：506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 ，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值,的置信度为0.95的置信区间。,解：,2,未知,1-,=0.95,/2=0.025,n,-1=15,得均值,的置信度为0.95的置信区间为,即（500.4,507.1）,由已知的数据算得,由于,例11,有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量（以克计）,如下：506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496,506 502 509 496,设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，,试求总体,标准差,的置信度为0.95的置信区间。,解,：,现在,查表得,又,s,=6.2022.,(4.58,9.60),经计算得所求的标准差,的置信区间为,标准差,的置信区间为,例12,某工厂用某台包装机包装糖果，包得的袋装糖重是一,个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为0.5,千克,标准差为0.015千克。某日开工后，为检验包装机是否正,常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重为(千克):0.497,0.518,0.506,0.511,0.488,0.524,0.510,0.515,0.512.问机器是否正常?,故拒绝H,0,.,计算得,0.05，n=9,拒绝域为:,解,按题意检验假设,(设显著水平为,0.05),取检验统计量,例13,在正常的生产条件下,某产品的测试指标总体,其中,后来改变了生产工艺,从新产品中随机地抽取10件,测得样本值为,算得样本标准差s=0.33,试在检验水平,的情况下,是否有显著变化;,是否变大。,生产出新产品,假设新产品的测试指标总体,检验:（1）方差,（2）方差,解:,本题为正态总体在,未知的情况下,方差,的假设检验问题.,(1)是双侧检验问题,(2)是单侧检验问题.,取统计量,的拒绝域为,得:,查表得:,这里,不在,的拒绝域,接受假设,即新产,品的指标方差与原产品比较,没有,显著变化。,(2),统计量仍然为,拒绝域为,查表,经计算,故拒绝,接受,即认为新产品指标的方差比原产品,指标的方差显著,变大.,14,设某次考试的学生成绩服从正态分布,从,中随机地抽取36名考生的成绩,算得平均成,绩为66.5,标准差为15分.(1)问在显著水平,=0.05下,是否可以认为这次考试全体考生,的平均成绩为70分?(2)在显著水平,=0.05下,是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为,16,2,?,答:,(1),认为这次考试的平均成绩为,70,分,(2),认为这次考试的成绩方差为,16,2,1.,对于正态总体的,进行假设检验,假如在,=,0.05下接受,H,0,:,=,0,.,那么在,=,0.01时,下列,结论中正确的是(),(A),必接受,H,0,(B),可能接受也可能拒绝,H,0,(C),必拒绝,H,0,(D),不接受也不拒绝,H,0,例15选择,2.(04)设随机变量 对给定的,，数 满足 ，若 ，则 等于,。,(A),(D),(B),(C),3.,设,(,X,1,X,2,X,n,),是来自正态总体,N,(,2,)的,样本,则,D,(,S,2,)=(),(A),(B),(C),(D),4.,设,X,1,X,2,X,n,是来自总体,X,的样本,E,(,X,)=,D,(,X,)=,2,为 样本均值,S,2,为样本方差,则(),(A),2,(,n,-1),(B),(C)S,2,与,相互独立,(D),S,2,是,2,的无偏估计量,5.在假设检验中，表示 原假设，表示备择,假设，则犯第一类错误的情况为（）,（A）真，接受 （B）不真，接受,（C）真，拒绝 （D）不真，拒绝,6.设 是来自总体,的样本，则 的矩估计量为（）,（）（）,（）（）,填空题,设由来自正态总体,X,N,(,0.9,2,),容量,n,=9,的样,本计算得,=5,则未知参数,的,置信度为,0.95,的,置信区间为,_.,(4.412,5.588),2.,设,X,1,X,2,X,n,是来自总体 的随机样本,其中,2,未知,记 ,.则检验假设,H,0,:,=,0用_检验,使用统计量_.,t,3.,设,X,1,X,2,X,16,是总体,N,(,2,),的样本,是样本均值,S,2,是样本方差.若 ,则,a,=_.,当c=_时,是,2,的无偏估计量.,0.4375,1/30,4.,设总体,X,具有概率密度,X,1,X,2,X,50,为取自X的样本,是样本均值,S,2,为样,本方差,则 =_.=_.,E,(,S,2,)=_.,0,1/100,1/2,