,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,棱 柱 和 棱 锥,(2),棱 柱 和 棱 锥(2),复习,1,棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点，它们分别指什么？,2,棱柱分为斜棱柱、直棱柱、正棱柱的依据是什么？,3,棱柱的三条性质,复习1棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点，它们分别指什么？,平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱,直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体,长方体：底面是矩形的直平行六面体,正方体：棱长都相等的长方体,特殊的四棱柱,(,一,),几个概念,平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱直平行六面体：侧棱与底面,长方体,-,常见的四棱柱,四棱柱,-,平行六面体,-,侧棱垂直于底面,直平行六面体,-,底面是矩形,棱长都相等,正方体,其关系为,：,底面是平行四边形,正四棱柱,底面是正方形,侧面是正方形,长方体-常见的四棱柱四棱柱-,(,二,),性质,问题,1,：在平面几何中平行四边形、长方形各有什么性质,?,如：平行四边形对角线互相平分；,长方形的长为,a,，宽为,b,，则对角线长为,l,2,=a,2,+b,2,问题,2,：在立体几何中平行六面体、长方体是否也有类似的性质呢,?,(二)性质 问题1：在平面几何中平行四边形、长方形各有什么性,定理,1,：平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处互相平分,已知：平行六面体,ABCDABCD,（如图）,求证：对角线,AC,、,BD,、,CA,、,DB,相交于一点,O,，且在点,O,处互相平分,.,定理1：平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处互相平分,证明,：设,O,是,A,的中点，则,设,P,、,M,、,N,分别是 、的中点，,同样可证,由此可知,O,、,P,、,M,、,N,四点重合，定理得证。,证明：设O是A 的中点，则,定理,2,：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和,定理2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平,证明：,证明：,例,1,已知：正四棱柱 的底面,边长为,2,，侧棱长为 ，,（,1,）求二面角 的大小；,（,2,）求点,B,到平面 的距离。,H,O,A,D,C,B,D,C,B,A,例1已知：正四棱柱,例,2,：已知长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,（,1,）设对角线,D,1,B,与,D,1,出发的三条棱分别成 、求证,:,（,2,）设对角线,D,1,B,与,D,1,出发的三个面分别成 、，求证,:,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,例2：已知长方体ABCD-A1 B1 C1 D1中，ABC,棱柱的侧面积和体积,把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展开在一个平面上，展开后的图形称为棱柱的侧面展开图；展开图的面积称为棱柱的侧面积,棱柱的侧面积等于棱柱的各个侧面面积之和,棱柱的侧面积和体积 把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展,公式,1,、如果直棱柱的底面周长是,C,，高为,h,，则侧面积为：,公式,2,、若柱体的底面积为,S,，柱体高为,h,，则体积为：,公式1、如果直棱柱的底面周长是C，高为h，则侧面,(,三,),应用,1,、下列说法正确的是（）,A,、直四棱柱是直平行六面体,B,、底面是平行四边形的棱柱是平行六面体,C,、底面是矩形的平行六面体是长方体,D,、各侧面都是矩形的棱柱是长方体,2,、长方体同一顶点的三个面对角线长分别为,a.b.c,则它的体对角线长为 （）,B,C,(三)应用 1、下列说法正确的是（,3,、斜棱柱,ABC-ABC,中，,A,在底面,ABC,的射影,O,是底面三角形,ABC,的,中心,，求证：,BCCB,是矩形,O,C,C,B,A,注：有一个侧面是矩形的棱柱，不一定是直棱柱,3、斜棱柱ABC-ABC中，A在底面ABC的,(1),求,B,、,D,两点的距离,4,、有一矩形纸片,ABCD,，,AB=5,BC=2,E,F,分别是,AB,，,CD,上的点，且,BE=CF=1,，把纸片沿,EF,折成直二面角,.,(2),求证,AC,，,BD,交于一点且被这点平分,.,(1)求B、D两点的距离4、有一矩形纸片ABCD，AB=5,课堂小结,本课主要学习了平行六面体的相关概念及性质，重点是要切实明确几种特殊的四棱柱的关系，掌握长方体的对角线与棱的关系,.,课堂小结,棱锥、圆锥的体积,棱锥、圆锥的体积,复习：,1,、等底面积等高的两个柱体体积相等。,2,、,V,柱体,Sh,V,圆柱,r,2,h,3,、柱体体积公式的推导：,复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。,柱体体积公式的推导：,等底面积等高的几个柱体,被平行于平面,的平面所截,截面面积始终相等,体积相等,V,长方体,abc,V,柱体,Sh,V,圆柱,r,2,h,柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面的平,问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下,锥体体积是否具有相似的结论？,问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,h,1,S,1,h,1,S,1,h,S,h,S,取任意两个锥体，它们,的底面积为,S,，高都是,h,平行于平面,的任一平面去截,截面面积始终相等,两个锥体体积相等,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1h,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,h,1,S,1,h,1,S,1,h,S,h,S,证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为,S,，高都是,h,。,把这两个锥体,放在同一个平面,上，这是它们的顶点都在和平面,平行的同一个平,面内，,用平行于平面,的任一平面去截它们，,截面分别与底面相似，,设截面和顶点的距离是,h,1,，截面面积分别是,S,1,、,S,2,，,那么,根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1h,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,A,B,C,A,C,B,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,A,B,C,A,C,B,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,BCABCACBABCABCABCACB,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,C,B,把三棱锥,1,以,ABC,为底面、,AA,1,为侧棱补成,一个三棱柱。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,C,B,连接,B,C,然后,把这个三棱柱,分割成三个三,棱锥。,就是三棱锥,1,和另两个三棱,锥,2,、,3,。,2,3,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,就是三棱锥,1,和另两个三棱,锥,2,、,3,。,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,2,3,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,B,C,A,B,2,C,A,C,B,3,A,B,C,A,1,三棱锥,1,、,2,的底,ABA,、,B,A,B,的面积相等。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,C,A,C,B,3,A,B,C,A,1,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,三棱锥,1,、,2,的底,ABA,、,B,A,B,的面积相等，,高也相等（顶点都是,C,）。,A,1,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,高,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,1,C,A,C,B,3,B,C,A,B,2,三棱锥,2,、,3,的底,BCB,、,C,B,C,的面积相等。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,1,C,A,C,B,3,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,三棱锥,2,、,3,的底,BCB,、,C,B,C,的面积相等。,高也相等（顶点都是,A,）。,高,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,1,C,A,C,B,3,B,C,A,B,2,V,1,V,2,V,3,V,三棱锥,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,定理证明：,已知：三棱锥,1,（,A,1,-ABC,）的底面积,S,高是,h.,求证,:V,三棱锥,Sh,证明,:,把三棱锥,1,以,ABC,为底面、,AA,1,为侧棱补成一个三棱,柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三,棱锥,1,和另两个三棱锥,2,、,3,。,三棱锥,1,、,2,的底,ABA,1,、,B,1,A,1,B,的面积相等，,高也相等（顶点都是,C,）；三棱锥,2,、,3,的底,BCB,1,、,C,1,B,1,C,的面积相等，高也相等,（顶点都是,A,1,）,V,1,V,2,V,3,V,三棱锥,。,V,三棱柱,Sh,。,V,三棱锥,Sh,。,A,B,C,A,C,B,2,3,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,任意锥体的体积公式：,定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积,是,S,，高是,h,，那么它的体积是,V,锥体,Sh,推论：如果圆锥的底面半径是,r,，高是,h,，,那么它的体积是,V,圆锥,r,2,h,任意锥体的体积公式：定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底,小结：,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积,是,S,，高是,h,，那么它的体积是,V,锥体,Sh,推论：如果圆锥的底面半径是,r,，高是,h,，,那么它的体积是,V,圆锥,r,2,h,小结：,例题一：如图：已知三棱锥,A-BCD,的侧棱,AD,垂直于底,面,BCD,，侧面,ABC,与底面所成的角为,求证：,V,三棱锥,S,ABC,ADcos,A,D,B,C,E,证明：在平面,BCD,内，作,DE BC,，垂足为,E,，,连接,AE,DE,就是,AE,在平面,BCD,上的射影。,根据三垂线定理，,AE BC,。,AED,。,V,三棱锥,S,B CD,AD,S,AB C,