单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多元函数,*,*,第九节,一、二元函数泰勒公式,二、极值充分条件的证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数的泰勒公式,第八章,11/19/2024,多元函数,一、二元函数的泰勒公式,一元函数,的,泰勒公式,:,推广,多元函数泰勒公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,记号,(,设下面涉及的偏导数连续,):,一般地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示,表示,11/19/2024,多元函数,定理,1,.,的某一,邻域内有直,到,n,+1,阶连续偏导数,为此邻域内任,一点,则有,其中,称为,f,在点,(,x,0,y,0,),的,n,阶泰勒公式,称为其,拉格,朗日型余项,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,证,:,令,则,利用多元复合函数求导法则可得,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,一般地,由,的,麦克劳林公式,得,将前述,导数公式代入即得二元函数泰勒公式,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,说明,:,(1),余项估计式,.,因,f,的各,n,+1,阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界,M,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,(2),当,n,=0,时,得二元函数的拉格朗日中值公式,:,(,3),若函数,在,区域,D,上的两个一阶偏导数,恒为,零,由中值公式可知在,该,区域上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,例,1.,求函数,解,:,的,三阶泰,勒公式,.,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,时,具有极值,二、极值充分条件的证明,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则,:1),当,A 0,时取极小值,.,2),当,3),当,时,没有极值,.,时,不能确定,需另行讨论,.,若函数,定理,2,(,充分条件,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,证,:,由二元函数的泰勒公式,并注意,则有,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,其中,是当,h,0,k,0,时的无穷小量,于是,(,1),当,AC,B,2,0,时,必有,A,0,且,A,与,C,同号,可见,从而,z,0,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,从而,z,0,(,2),当,AC,B,2,0,时,若,A,C,不全为零,无妨设,A,0,则,时,有,异号,;,同号,.,可见,z,在,(,x,0,y,0,),邻近有正有负,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,+,+,若,A,C,0,则,必有,B,0,不妨设,B,0,此时,可见,z,在,(,x,0,y,0,),邻近有正有负,(,3),当,AC,B,2,0,时,若,A,0,则,若,A,0,则,B,0,为零或非零,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19/2024,多元函数,此时,因此,作业,P67 1,3,4,5,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,不能断定,(,x,0,y,0,),是否为极值点,.,11/19/2024,多元函数,