SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 2 章时域离散信号和系统的频域分析,Discrete-Time Signals and Systems in the Transform-Domain,11/19/2024,1,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,第 2 章时域离散信号和系统的频域分析Discrete-T,本章主要内容,序列的傅里叶变换（DTFT）,离散傅里叶级数（DFS）,周期序列的傅里叶变换,序列的Z变换（ZT）,逆Z变换,时域离散时不变系统的变换域分析,11/19/2024,2,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,本章主要内容序列的傅里叶变换（DTFT）9/29/20232,2.1,引言,信号和系统的描述方法和分析工具,时域信号序列、系统单位脉冲响应、差分方程,直观,求解难，分析困难,特征不易把握,设计难,频域信号频谱、系统频率响应、离散时间傅里叶变换（DTFT）、Z变换、,便于求解,分析、设计易,11/19/2024,3,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.1 引言信号和系统的描述方法和分析工具9/29/202,2.2,时域离散信号的傅里 叶变换,11/19/2024,4,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.2 时域离散信号的傅里 叶变换9/29/2,连续信号的傅里叶变换（FT）,连续信号的傅里叶变换定义如下,正变换,反变换,时域非周期绝对可积信号，在频域中为连续的频谱,11/19/2024,5,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,连续信号的傅里叶变换（FT）连续信号的傅里叶变换定义如下9/,2.2.1,时域离散信号的傅里叶变换的定义,若 序列 绝对可和，或者说序列能量有限，即,则时域离散信号 的傅里叶变换(,DTFT离散时间傅立叶变换,)为,正变换,（,DTFT,）,其中： ，,T,是采样间隔。 表示序列的频率特性。,幅频特性： 相频特性：,注意：,求和上下限、变换的条件、,n,取整数、DTFT变换的结果是连续的，且以2,为周期。,11/19/2024,6,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义若 序列,反变换,（,IDTFT,）,定义：,证明：,由于,于是,11/19/2024,7,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,反变换（IDTFT）定义：9/29/20237SCHOOL,DTFT,举例,例2.2.1求矩形序列 的傅里叶变换,解：,11/19/2024,8,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,DTFT举例例2.2.1求矩形序列,2.2.2,周期信号的离散傅里叶级数,（,DFS,）,周期为 基频,正变换,反变换,连续周期信号的傅里叶级数,（,FS,）,11/19/2024,9,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数（DFS）周期为,表明：,时域,连续,周期,信号 频域,非周期,离散,序列；,任意周期信号,x,(,t,) 可分解为许多不同频率的复指数信号之和。,X,(,jk,0,) 是频率为,k,0,的分量的系数，,X,(,j,0) 是直流分量。,连续周期信号的傅里叶级数,（,续,）,0,0,11/19/2024,10,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,表明：连续周期信号的傅里叶级数（续）009/29/2,周期序列,的离散傅里叶级数（DFS）,周期信号不存在傅里叶变换,设 为以,N,为周期的周期序列，则其可展开成傅里叶级数：,为什么是有限项之和？,如何求 ？,11/19/2024,11,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,周期序列的离散傅里叶级数（DFS）周期信号不存在傅里叶变换9,周期序列的离散傅里叶级数（续）,11/19/2024,12,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,周期序列的离散傅里叶级数（续）9/29/202312SCHO,k、n,均取整数； 是周期函数，,周期为,N,是周期为,N,的周期序列，即,令,则：离散傅里叶级数（DFS）对：,仅有N个独立的频率分量,周期序列的离散傅里叶级数（续）,11/19/2024,13,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,k、n 均取整数； 是周期函数,周期序列的离散傅里叶级数（续）,均是以,N,为周期的周期序列。,反变换表达式,具有明显的物理意义：,它表示将周期序列分解为,N,次谐波，第,k,次谐波的频率是,谐波的幅度为 ，相位为,11/19/2024,14,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,周期序列的离散傅里叶级数（续）,例2.2.2 设 ，将 以,N,=8 为周期进行周期延拓，得到,周期序列,，试求 的,离散傅里叶级数,的系数,解：,11/19/2024,15,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例2.2.2 设,得：,周期信号的频谱是离散线状谱,若信号的周期为,N,，则 的周期亦为,N,。,11/19/2024,16,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,得：周期信号的频谱是离散线状谱9/29/202316SCHO,四种傅立叶变换:,时域,频域,1.,连续,非周期,非周期,连续,(,) FT,2.,连续,周期,非周期,离散,(,),FS,3.,离散,非周期,周期,连续,( ) DTFT,4.,离散,周期,周期,离散,( ) DFS,切实理解四种,FT,之间的对应关系,11/19/2024,17,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,四种傅立叶变换:时域频域1. 连续非周期,四种傅立叶变换,11/19/2024,18,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,四种傅立叶变换9/29/202318SCHOOL OF,2.2.3,周期信号的傅里叶变换,序列的傅里叶变换（DTFT）的条件是序列必须绝对可和，周期序列不满足绝对可和的条件，因此严格讲傅里叶变换不存在。,但如果像连续信号那样，引入奇异函数（单位冲激函数），傅里叶变换的定义可以放松，可以用冲激函数表示其傅里叶变换。,模拟信号 的傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度是2,，即,11/19/2024,19,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.2.3 周期信号的傅里叶变换序列的傅里叶变换（DTFT,1.,复指数序列的傅里叶变换,复指数序列的傅里叶变换,连续信号 的傅里叶变换,令,：复指数序列 的傅里叶变换为,11/19/2024,20,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,1. 复指数序列的傅里叶变换复指数序列的傅里叶变换9/29/,复指数序列的傅里叶变换（续）,是以 为周期的单位脉冲序列,上式为假设,，如该假设成立，其傅里叶反变换应为,11/19/2024,21,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,复指数序列的傅里叶变换（续）是以 为周期的,求证：,复指数序列的傅里叶变换（续）,11/19/2024,22,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,求证：复指数序列的傅里叶变换（续）9/29/202322SC,2.,一般周期序列的傅里叶变换,设 为以,N,为周期的周期序列，则可展成傅里叶级数,对每一项进行傅里叶变换,11/19/2024,23,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2. 一般周期序列的傅里叶变换设 为以,一般周期序列的傅里叶变换,（续）,由于：,于是：,周期序列的傅里叶变换由 的冲激函数的和组成，各冲激函数的强度为 ， 是周期序列离散傅里叶级数的系数。,11/19/2024,24,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,一般周期序列的傅里叶变换（续）由于：于是：周期序列的傅里叶变,例2.2.3 设 ，将 以,N,=8 为周期进行周期延拓，得到,周期序列,，试求 的傅里叶变换,解：先求周期序列 的,傅里叶级数,周期序列 的,傅里叶变换,为,11/19/2024,25,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例2.2.3 设,幅频特性：,11/19/2024,26,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,幅频特性：9/29/202326SCHOOL OF PH,例2.2.4 令 ， 为有理数，求其傅里叶变换。,解：,11/19/2024,27,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例2.2.4 令,余弦信号的傅里叶变换是在 处的冲激函数；强度为 ；以 为周期进行周期性延拓。,11/19/2024,28,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,余弦信号的傅里叶变换是在,正弦序列 ， 为有理数，求其傅里叶变换。,11/19/2024,29,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,正弦序列 ，,基本序列的傅里叶变换 P/31,11/19/2024,30,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,基本序列的傅里叶变换 P/319/29/202330SC,2.2.4,时域离散信号傅里叶变换的性质,时域离散信号的傅里叶变换(频域函数)以 为周期，即,，,M,为整数,证明：,1.,周期性,11/19/2024,31,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号的傅里叶,周期性的意义,对信号进行频域分析时，只需分析一个周期即可；,在 处，表示直流分量；,在 附近为低频分量,在 附近为高频分量,11/19/2024,32,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,周期性的意义9/29/202332SCHOOL OF P,2.,时域卷积定理,设,则,时域卷积 频域相乘。,11/19/2024,33,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2. 时域卷积定理设时域卷积 频,证明,11/19/2024,34,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,证明9/29/202334SCHOOL OF PHYSI,该定理说明，,两序列卷积的DTFT，结果服从相乘的关系,。,对于线性时不变系统输出的DTFT，等于输入信号的DTFT乘以单位脉冲响应的DTFT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域按照前式作乘积，求出输出的DTFT，再作IDTFT求出输出信号。,11/19/2024,35,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,该定理说明，两序列卷积的DTFT，结果服从相乘的关系。9/2,3.,频域卷积定理,设,则,时域相乘 频域卷积,11/19/2024,36,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,3. 频域卷积定理设时域相乘 频域,证明,时域相乘，频域卷积。亦称为调制定理,11/19/2024,37,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,证明时域相乘，频域卷积。亦称为调制定理9/29/202337,例2.2.5 设 ，,求 的傅里叶变换。,解：,将 移动了 ，即将 信号调制到 信号上。,序列与 相乘，相当于奇数序列值乘以-1，在频域上相当于 平移了 ，即高频段与低频段互换了位置。,在-,积分限之间只有,r,=-1和,r,=0有效,11/19/2024,38,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例2.2.5 设,11/19/2024,39,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,9/29/202339SCHOOL OF PHYSICS,3.,傅里叶变换的对称性,最一般地，序列 为复序列，则,定义：共轭对称序列,共轭反对称序列,任一序列可分解成,共轭对称部分,和,共轭反对称部分,故有,因为,11/19/2024,40,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,3. 傅里叶变换的对称性最一般地，序列,傅里叶变换的对称性（续）,频域共轭对称性,频域共轭反对称性,将频域函数分成,共轭对称分量,和,共轭反对称分量,有：,因为,11/19/2024,41,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,傅里叶变换的对称性（续）频域共轭对称性频域共轭反对称性将频域,序列分解为,实部,和,虚部,即：实部（实序列）的傅里叶变换具有共轭对称性质,序列的对称性与变换到频域的对称性之间的关系？ ,傅里叶变换的对称性,考虑到,实际上，实部的DTFT就是原序列DTFT的共轭对称分量，即,对实部：,11/19/2024,42,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,序列分解为实部和虚部即：实部（实序列）的傅里叶变换具有共,纯虚数序列的傅里叶变换具有共轭反对称性质,而对 ：,所以：,实际上有：,11/19/2024,43,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,纯虚数序列的傅里叶变换具有共轭反对称性质而对,因,可以得到：,即有：,将序列分成,共轭对称部分,和,共轭反对称部分,11/19/2024,44,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,因可以得到：即有：将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分9/,如果将序列傅里叶变换写成：,当 为实序列，则 为偶对称， 为奇对称,当 为,实序列,， 则其傅里叶变换具有,共轭对称,性质；,当 为,实偶对称序列,，则其傅里叶变换为,实偶对称的,；,当 为,实奇对称序列,，则其傅里叶变换为,纯虚奇对称的,11/19/2024,45,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,如果将序列傅里叶变换写成：当 为实序列，则,小结：,时域离散信号的傅里叶变换,非周期信号 连续周期频谱,周期信号 离散周期冲激频谱,时域离散周期信号的傅里叶级数,离散周期频谱,变换的物理意义,离散信号傅里叶变换的性质,11/19/2024,46,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,小结：时域离散信号的傅里叶变换9/29/202346SCHO,2.3,时域离散信号的Z变换,11/19/2024,47,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3 时域离散信号的Z变换9/29/202347SCHO,Z变换的意义,傅里叶变换为信号提供了一种频域表示方法，便于进行频域分析及信号处理；,序列的离散时间傅里叶变换是有条件的，即需满足绝对可和条件；,很多情况下，序列的傅里叶变换不存在，无法利用其频域特征；,Z变换是傅里叶变换的推广形式，为许多信号提供了频域表示。,11/19/2024,48,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,Z变换的意义傅里叶变换为信号提供了一种频域表示方法，便于进行,Z变换的意义,很多序列的离散时间傅里叶变换不存在，但其 Z变换存在；,Z 变换是数字滤波器设计与分析的重要工具；,线性时不变离散时间系统的分析工具，如稳定性、性能指标等。,11/19/2024,49,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,Z变换的意义很多序列的离散时间傅里叶变换不存在，但其 Z变换,2.3.1 Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系,Z变换的定义,z复变量,双边Z变换：,单边Z变换：,1. Z变换的定义,11/19/2024,50,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3.1 Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系Z变换的定义,Z变换的定义（续）,Z变换存在的充分条件：前面的幂级数收敛，,使上式满足的|z|的,取值域,，称为,X,(,z,)的,收敛域,。,收敛域的最小收敛半径,收敛域的最大收敛半径,11/19/2024,51,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,Z变换的定义（续）Z变换存在的充分条件：前面的幂级数收敛，,得到：,Z变换的定义（续）,收敛域是Z变换不可缺少的一部分,例2.3.1 ，求其Z变换，并确定收敛域,收敛的条件：,11/19/2024,52,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,得到： Z变换的定义（续）收敛域是Z变换不可缺少的一部分收敛,2. Z变换与离散时间傅里叶变换之间的关系,令,如 则,这样，Z变换变为离散时间傅里叶变换（DTFT），,DTFT是单位圆上的Z变换，单位圆必须包含在收敛域中,例,x,(,n,),u,(,n,) 的Z变换,收敛域不包含单位圆，单位圆上的Z变换不存在，DTFT不存在,11/19/2024,53,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2. Z变换与离散时间傅里叶变换之间的关系令如,Table 3.8: Some commonly used z-transform pairs.,Sequence,z-Transform,ROC,1,All values of z,11/19/2024,54,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,Table 3.8: Some commonly used,2.3.2 Z变换的收敛域与序列特性之间的关系,一般而言，z变换是有理函数，分子分母用z的多项式描述：,Z变换的零点：分子多项式的根,Z变换的极点：分母多项式的根,收敛域总以极点为界,有限长序列、右序列、左序列、双边序列的收敛域 ？,11/19/2024,55,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3.2 Z变换的收敛域与序列特性之间的关系一般而言，z,1. 有限长序列Z变换的收敛域,有限长序列：,收敛域：,取任意值,11/19/2024,56,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,1. 有限长序列Z变换的收敛域有限长序列：取任意值9/29/,2. 右边序列Z变换的收敛域,右序列：,右序列的Z变换,收敛域：,有限长序列：,因果序列：,收敛域：,11/19/2024,57,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2. 右边序列Z变换的收敛域右序列：收敛域：有限长序列：因果,3. 左边序列Z变换的收敛域,左序列：,有序列的Z变换,收敛域：,第一项,第二项,收敛域：,11/19/2024,58,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,3. 左边序列Z变换的收敛域左序列：收敛域：第一项第二项收敛,4. 双边序列Z变换的收敛域,双边序列：,有序列的Z变换,收敛域：,第一项,第二项,收敛域：,11/19/2024,59,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,4. 双边序列Z变换的收敛域双边序列：收敛域：第一项第二项收,例：2.3.2 求 的Z变换及其收敛域,解：有限长序列，,n,0,N,-1，,收敛域：,Z变换：,注：,z,1 既是极点也是零点，抵消后单位圆仍在收敛域内。,11/19/2024,60,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例：2.3.2 求,例：2.3.3 求 的Z变换及其收敛域,解： 序列值非零,收敛域：,Z变换：,Z变换的表达式与例2.3.1相同，,但收敛域不同,。,11/19/2024,61,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例：2.3.3 求,例：2.3.4 求 的Z变换及其收敛域,解： 双边序列,收敛域：,Z变换：,两部分的收敛域分别为：,该序列Z变换的收敛域分别为：,11/19/2024,62,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例：2.3.4 求,收敛域包含单位圆，其傅里叶变换存在,，可直接求出,11/19/2024,63,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,收敛域包含单位圆，其傅里叶变换存在，可直接求出9/29/20,2.3.3 逆Z变换,已知序列的Z变换及其收敛域，求原序列,方法：,部分分式展开,围线积分法,幂级数法,常见序列的Z变换及其收敛域： P/39 表2.3.2,11/19/2024,64,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3.3 逆Z变换已知序列的Z变换及其收敛域，求原序列常,1. 幂级数法（长除法）,从定义出发,原序列是z的幂级数的系数,Z变换的两个多项式之比，通过长除，可以得到z的负幂级数,11/19/2024,65,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,1. 幂级数法（长除法）从定义出发原序列是z的幂级数的系数Z,例：,11/19/2024,66,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例：9/29/202366SCHOOL OF PHYSI,2. 部分分式法,将Z变换的有理分式分解为简单的部分分式之和，,查表得到各部分分式所对应的序列，,求和，获得原序列。,11/19/2024,67,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2. 部分分式法将Z变换的有理分式分解为简单的部分分式之和，,部分分式法的一种计算方法： 对,X,(,z,)仅有单阶极点的情况，可用留数方法求得部分分式。,设,X,(,z,)有,N,个一阶极点,通过留数，求取,11/19/2024,68,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,部分分式法的一种计算方法： 对X(z)仅有单阶,例2.3.5 用部分分式法求逆Z变换,解：,于是，得：,11/19/2024,69,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例2.3.5 用部分分式法求逆Z变换解：于是，得：9/29/,双边序列,根据极点确定每个分式的收敛域,第一个分式的收敛域,第二个分式的收敛域,查表，获得每个分式的原序列,X,(,z,)的原序列,11/19/2024,70,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,双边序列根据极点确定每个分式的收敛域第一个分式的收敛域查表，,3.围线积分法, 基于围线积分的原序列求取公式：,c,是,X,(,z,)收敛域中任意一条包含原点的逆时针旋转的封闭曲线,用柯西留数定理计算围线积分,11/19/2024,71,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,3.围线积分法 基于围线积分的原序列求取公式：c是X(z),若 为单阶极点（单重极点），则,为,F,(,z,) 在围线,c,内的极点，设有,M,个极点,围线积分的计算,令,若 为,N,阶极点（多重极点），则,11/19/2024,72,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,若 为单阶极点（单重极点），则 为 F(z,多阶极点留数的计算比较麻烦，可以改求围线以外的极点的留数之和。,如,F,(,z,)在,z,平面上有,N,个极点，围线,c,内有 个，围线,c,外有 个,围线积分的计算,上式成立的条件：,F,(,z,)分母的阶次分子的阶次2,11/19/2024,73,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,多阶极点留数的计算比较麻烦，可以改求围线以外的极点的留数之和,围线积分的计算,设,设,P,(,z,)、,Q,(,z,)的阶次分别为,N,、,M,，则,11/19/2024,74,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,围线积分的计算设设P(z)、Q(z)的阶次分别为N、M，则9,例子：,1.,已知 ，求其逆z变换 。,2. 已知 ,求其逆z变换 。,11/19/2024,75,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例子：1. 已知,F(z)的极点为 ，被围线c包围，于是,例2.3.6 已知 ，求其逆z变换 。,解：收敛域包含，是一个因果序列。,求F(z)的极点,F(z)的极点为 和,n,阶极点,z,=0 ，被围线c包围,X,(,z,)的分子、分母的阶次相等,N,=,M,= 1，满足留数辅助定理的条件,围线外无极点，用围线外的留数代替围线内的留数,原序列为,11/19/2024,76,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,F(z)的极点为 ，被围线c包,例2.3.7,解：收敛域为环状域，原序列是双边序列。求,F,(,z,),11/19/2024,77,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,例2.3.7解：收敛域为环状域，原序列是双边序列。求 F(z,所以,11/19/2024,78,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,所以9/29/202378SCHOOL OF PHYSI,11/19/2024,79,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,9/29/202379SCHOOL OF PHYSICS,11/19/2024,80,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,9/29/202380SCHOOL OF PHYSICS,11/19/2024,81,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,9/29/202381SCHOOL OF PHYSICS,11/19/2024,82,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,9/29/202382SCHOOL OF PHYSICS,2.3.4 Z变换的性质,Z变换的性质与DTFT的性质相似，,掌握Z变换的性质，便于Z域的计算与信号分析,注意收敛域（ROC）的变化。借以揭示信号在时域与在 Z 域的特性之间的关系。,11/19/2024,83,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3.4 Z变换的性质Z变换的性质与DTFT的性质相似，,线性,2.3.4 Z变换的性质(1),11/19/2024,84,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,线性2.3.4 Z变换的性质(1)9/29/202384S,2.3.4 Z变换的性质(1),11/19/2024,85,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3.4 Z变换的性质(1)9/29/202385SCH,解：,11/19/2024,86,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,解：9/29/202386SCHOOL OF PHYSI,序列移位,2.3.4 Z变换的性质(2),11/19/2024,87,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,序列移位2.3.4 Z变换的性质(2)9/29/20238,解：,序列移位,因,Y,(,z,)有极点,z,=1,且,y,(,n,)为因果序列，,Y,(,z,)的收敛域为：,11/19/2024,88,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,解：序列移位因Y(z)有极点z=1,且y(n)为因果序列，Y,时间反转,2.3.4 Z变换的性质(3),11/19/2024,89,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,时间反转2.3.4 Z变换的性质(3)9/29/20238,2.3.4,Z变换的性质(4),乘以指数序列,11/19/2024,90,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3.4 Z变换的性质(4)乘以指数序列9/29/202,微分,2.3.4 Z变换的性质(5),解：,因此,11/19/2024,91,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,微分2.3.4 Z变换的性质(5)解：因此9/29/202,解：利用微分性质，将非有理函数转换成有理函数表达式,序列移位性质,11/19/2024,92,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,解：利用微分性质，将非有理函数转换成有理函数表达式序列移位性,2.3.4 Z变换的性质(6),共轭,11/19/2024,93,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3.4 Z变换的性质(6)共轭9/29/202393S,2.3.4 Z变换的性质(7),时域卷积定理,11/19/2024,94,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3.4 Z变换的性质(7)时域卷积定理9/29/202,解：,利用围线积分，求输出序列,y,(,n,),11/19/2024,95,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,解：利用围线积分，求输出序列 y(n)9/29/202395,因为输入输出序列都为因果序列，,n,0，围线包围2个极点,z,=,a,，1，所以,11/19/2024,96,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,因为输入输出序列都为因果序列，n0，围线包围2个极点z=a,复卷积定理,2.3.4 Z变换的性质(8),11/19/2024,97,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,复卷积定理2.3.4 Z变换的性质(8)9/29/2023,解（1）：直接简单求解方法是分别求出,x,(,n,)和,y,(,n,)，相乘后再作Z变换。,11/19/2024,98,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,解（1）：直接简单求解方法是分别求出x(n)和y(n)，相乘,V平面上的收敛域,解（2）：,X,(,z,)的收敛域,11/19/2024,99,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,V平面上的收敛域解（2）：X(z)的收敛域9/29/2023,因此，V平面上的收敛域,Y,(,z,)的收敛域,求围线积分：,11/19/2024,100,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,因此，V平面上的收敛域Y(z)的收敛域求围线积分：9/29/,V平面上的极点,求围线积分：,V平面围线c以内的极点,求,W,(,z,),11/19/2024,101,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,V平面上的极点求围线积分：V平面围线c以内的极点求W(z)9,W(z)的收敛域,11/19/2024,102,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,W(z)的收敛域9/29/2023102SCHOOL OF,初值定理,2.3.4 Z变换的性质(9),11/19/2024,103,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,初值定理2.3.4 Z变换的性质(9)9/29/20231,x,(,n,)为因果序列，,X,(,z,)在单位圆上只能有一个一阶极点，其它极点均在单位圆内。,终值定理,2.3.4 Z变换的性质(10),证明：,因为x(n)是因果序列，,因为(,z,-1),X,(,z,)在单位圆上无极点，上式两端对,z,=1取极限,11/19/2024,104,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,x(n)为因果序列，X(z)在单位圆上只能有一个一阶极点，其,2.3.4 Z变换的性质(10),因为,因此终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示，,即：,如果单位圆上X(z)无极点，则,x,(,)=0。,11/19/2024,105,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.3.4 Z变换的性质(10)因为因此终值定理也可用X(,补充: 序列的Z变换与连续时间信号的Laplace变换、Fourier变换的关系,序列的Z变换：,连续时间信号的Laplace变换：,连续时间信号的Fourier变换：,理想采样信号的Laplace变换：,11/19/2024,106,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,补充: 序列的Z变换与连续时间信号的Laplace变换、F,理想抽样信号的Laplace变换,理想抽样信号：,其Laplace变换：,11/19/2024,107,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,理想抽样信号的Laplace变换理想抽样信号： 其Lapla,其Z变换：,比较理想抽样信号的Laplace变换：,得：,11/19/2024,108,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,其Z变换：比较理想抽样信号的Laplace变换：得：9/29,Z平面： （极坐标）,即：,这是复平面S平面到Z平面的映射,(直角坐标）,S平面：,抽样序列的Z变换 = 理想抽样信号的Laplace变换,11/19/2024,109,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,Z平面： （极坐标）即：这是复平面S平面,单位圆外部,r1,右半平面, 0,单位圆内部,r1,左半平面, 1右半平面 0单位圆内部r1左半平面,S平面到Z平面的,映射是多值映射。,=0 正实轴 零频,=,0,T,辐射线 角度,:,:, =0 实轴 零频, =,0,平行直线 频率,:,Z平面,S平面,11/19/2024,111,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,S平面到Z平面的=0 正实轴,11/19/2024,112,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,9/29/2023112SCHOOL OF PHYSIC,2.4 利用Z变换对信号和系统进行分析,11/19/2024,113,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.4 利用Z变换对信号和系统进行分析9/29/2023,Z 变换域分析的意义,便于考察信号、系统的特征,便于系统的分析与设计,比傅里叶变换的应用范围广,2.4 利用Z变换对信号和系统进行分析,11/19/2024,114,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,Z 变换域分析的意义便于考察信号、系统的特征2.4 利用Z,2.4.1 系统的传输函数和系统函数,系统的时域描述 单位脉冲相应,h,(,n,),系统的,传输函数,（或：,频率响应函数,）,11/19/2024,115,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.4.1 系统的传输函数和系统函数系统的时域描述 单,系统的传输函数的意义（1）,输出同频 序列,幅度受频率响应幅度 加权,相位为输入相位与系统相位响应之和,(,),0,w,设系统的输入 是单一频率的复指数序列,11/19/2024,116,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,系统的传输函数的意义（1）输出同频 序列()0w,输出信号的频谱取决于输入信号的频谱特性和系统的传输函数,这里 仍然起着改变输入信号频谱结构的作用，因此又将 称为系统的“,频率响应函数,”,设计不同的频率响应函数，可以实现对信号的放大、滤波、相位均衡等功能。,系统的传输函数的意义（2）,如果系统的输入 是一般序列，根据傅里叶变换的时域卷积定理，有：,11/19/2024,117,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,输出信号的频谱取决于输入信号的频谱特性和系统的传输函数系统的,系统函数,定义,它表征系统的,复频域,特性,如果,H,(,z,)的收敛域包含单位圆 ，则序列的傅里叶变换存在。则 和 之间的关系为,系统的,传输函数,是,系统单位脉冲响应,在,单位圆,上的Z变换，有时亦将,系统函数,称为,传输函数,由卷积定理：,可得：,11/19/2024,118,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,系统函数定义它表征系统的复频域特性如果 H(z)的收敛域包含,2.4.2 根据系统函数极点的分布分析系统的 因果性和稳定性,系统函数的极点,Z变换，得系统函数（,a,0,=1,）,因式分解,11/19/2024,119,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2.4.2 根据系统函数极点的分布分析系统的,A,影