第,6,章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,6.1,数字滤波器的基本概念,所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。,因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。正因为,数字滤波通过数值运算实现滤波,，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过,A/DC,和,D/AC,，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。 ,6.1 数字滤波器的基本概念,1,数字滤波器的分类,按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类： 经典滤波器和现代滤波器。,经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。,例如，输入信号,x,(,t,),中含有干扰，其时域波形和频谱图分别如图,6.1.1(a),、,(b),所示，由图可见，信号和干扰的频带互不重叠，可用图,6.1.1(c),所示低通滤波器滤除干扰,得到纯信号，如图,6.1.1(d),所示。,1数字滤波器的分类,图,6.1.1,用经典滤波器从噪声中提取信号,图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取信号,但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。,现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。,本书仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法，,而现代滤波器属于随机信号处理范畴，已超出本书学习范围。 ,但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效,经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。,它们的理想幅频特性如图,6.1.2,所示。,这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，我们只能按照某些准则设计滤波器，使之在误差容限内逼近理想滤波器，理想滤波器可作为逼近的标准。,另外，需要注意的是,数字滤波器的频率响应函数,H,(e,j,),都是以,2,为周期的,，低通滤波器的通频带中心位于,2,的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于,的奇数倍处。,一般在数字频率的主值区, ,描述数字滤波器的频率响应特性。,经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低通、高通、带通,图,6.1.2,理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性,图6.1.2 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性,数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类，可以分成,无限长单位脉冲响应,(IIR),滤波器,和,有限长单位脉冲响应,(FIR),滤波器,。它们的系统函数分别为：,(6.1.1),式中的,H,(,z,),称为,N,阶,IIR,数字滤波器系统函数,; (6.1.2),式中的,H,(,z,),称为,N,1,阶,FIR,数字滤波器系统函数,。这两种数字滤波器的设计方法不同，因此下面分成两章分别进行学习。,(6.1.1),(6.1.2),数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类，可,根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频滤波器和其他滤波器。,上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校正等滤波器。,滤波器可用于波形形成、调制解调器、从噪声中提取信号,(,见图,6.1.1),、信号分离和信道均衡等。所以学习滤波器的设计与实现是必不可少的。,根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频滤波器和其他滤波,2, 数字滤波器的技术指标,常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。,假设数字滤波器的频率响应函数,H,(e,j,),用下式表示：,H,(e,j,)=|,H,(e,j,)|e,j,(,),式中，,|,H,(e,j,)|,称为幅频特性函数,;,(,),称为相频特性函数。,幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。,因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。,2 数字滤波器的技术指标,一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出,，对几种,典型滤波器,(,如巴特沃斯滤波器,),，其相频特性是确定,的，所以设计过程中，对相频特性一般不作要求。,但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技,术指标，例如波形传输、图像信号处理等。,本章主要研究针对幅频特性指标的选频滤波器设计。,一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，对几种,对于图,6.1.2,所示的各种理想滤波器，我们必须设计一个因果可实现的滤波器去近似实现。另外，也要考虑复杂性与成本问题，因此实用中通带和阻带中都允许一定的误差容限，即,通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到零,。此外，按照要求，在通带与阻带之间还应设置一定宽度的,过渡带,。,对于图6.1.2所示的各种理想滤波器，我们必须设计一个因,图表示低通滤波器的幅频特性，,p,和,s,分别称为通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为,0|,|,p,，,在通带中要求,(1,1,)|,H,(e,j,)|1,，,阻带频率范围为,s,|,|,，在阻带中要求,|,H,(e,j,)|,2,。,从,p,到,s,称为过渡带,，过渡带上的频响一般是单调下降的。,图表示低通滤波器的幅频特性，p和s分别称为通带边界频,(6.1.3a),通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，,通带内允许的最大衰减用,p,表示，阻带内允许的最小,衰减用,s,表示。对低通滤波器，,p,和,s,分别定义为：,(6.1.4a),(6.1.3a)通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数,显然，,p,越小,通带波纹越小，通带逼近误差就越小；,s,越大,阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；,p,与,s,间距越小,过渡带就越窄。,所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率,p,、通带最大衰减,p,阻带边界频率,s,和阻带最小衰减,s,确定。,显然，p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小；,片段常数特性,：,对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，,只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。,所谓片段，是指“通带”和“阻带”，,常数是指“通带波纹幅度,1,”,和“阻带波纹幅度,2,”,，而通带最大衰减,p,和阻带最小衰减,s,是与,1,和,2,完全等价的两个常数。,片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解,IIR,数字滤波器的双线性变换设计思想。,片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅,图,6.1.3,所示的单调下降幅频特性，,p,和,s,别可以表示为,如果将,|,H,(e,j0,)|,归一化为,1,，,(6.1.3b),和,(6.1.4b),式则表示为：,(6.1.3b),(6.1.4b),(6.1.5),(6.1.6),图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表示,当幅度下降到 时，标记,=,c,，此时,dB,，称,c,为,3 dB,通带截止频率。,p,、,c,和,s,统称为边界频率，它们是滤波器设计中,所涉及到的很重要的参数。,对其他类型的滤波器，,(6.1.3b),式和,(6.1.4b),式中的,H,(e,j0,),应改成 ，,0,为滤波器通带中心频率。,当幅度下降到 时，标记=c，此时,图,6.1.3,低通滤波器的幅频特性指标示意图,图6.1.3 低通滤波器的幅频特性指标示意图,3, 数字滤波器设计方法概述,IIR,滤波器和,FIR,滤波器的设计方法完全不同。,IIR,滤波器设计方法有间接法和直接法；,（,1,）,间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的,。其,设计步骤是： 先设计过渡模拟滤波器得到系统函数,H,a,(,s,),，然后将,H,a,(,s,),按某种方法转换成数字滤波器的系统函数,H,(,z,),。,（,2,）直接法：直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由,于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。,FIR,滤波器,不能采用间接法,，常用的设计方法有窗函数法、,频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。,3 数字滤波器设计方法概述,本章只介绍,IIR,滤波器的间接设计方法。,为此，,我们先介绍模拟低通滤波器的设计，这是因为低,通滤波器的设计是设计其他滤波器的基础。,模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是：,先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低,通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器,最后采用,频率转换法,将低通滤波器转换成所希望,的各种滤波器。,本章只介绍IIR滤波器的间接设计方法。为此，,6.2,模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，,且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯,(Butterworth),滤波器、切比雪夫,(Chebyshev),滤波器、椭圆,(Ellipse),滤波器、贝塞尔,(Bessel),滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。,6.2 模拟滤波器的设计,这些,典型的滤波器各有特点,： 巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性； 切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性。,设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。,选频型模拟滤波器按幅频特性可分成,低通、高通、带通和带阻滤波器,，它们的理想幅频特性如图,6.2.1,所示。但设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。,这些典型的滤波器各有特点： 巴特沃斯滤波器具有单调下降的,图,6.2.1,各种理想模拟滤波器幅频特性,图6.2.1 各种理想模拟滤波器幅频特性,6.2.1,模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,信号中讲过，分别用,h,a,(,t,),、,a,(,s,),、,H,a,(j,),表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下：,可以用,h,a,(,t,),、,H,a,(,s,),、,H,a,(j,),中任一个描述模拟滤波,器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。,但是设计模拟滤波器时，,设计指标一般由幅频响应函,数,|,H,a,(j,)|,给出,，而模拟滤波器设计就是根据设计指,标，,求系统函数,H,a,(,s,),。,6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,工程实际中通常用所谓的损耗函数（也称为衰减函数）,A,(,),来描述滤波器的幅频响应特性， 对归一化幅频响应函数,A,(,),定义如下（其单位是分贝，用,dB,表示）：,（,6.2.1,）,应当注意，,损耗函数,A,(,),和幅频特性函数,|,H,(j,)|,只是,滤波器幅频响应特性的两种描述方法。,损耗函数的优点是对幅频响应,|,H,a,(j,)|,的取值，放大了,小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变,化情况。,工程实际中通常用所谓的损耗函数（也称为衰减函数）A(),二者的特点如图,6.2.2,所示。图,6.2.2(a),所示的幅频响,应函数完全看不清阻带内取值较小（,0.001,以下）的,波纹，而图,6.2.2(b),所示的同一个滤波器的损耗函数,则能很清楚地显示出阻带,60 dB,以下的波纹变化曲,线。,另外，,直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲,线形状相反,，所以，,习惯将,A,(,),曲线称为损耗函数,如图,6.2.2,（,b,）所示。,二者的特点如图6.2.2所示。图6.2.2(a)所示的幅频,图,6.2.2,幅频响应与损耗函数曲线的比较,图6.2.2 幅频响应与损耗函数曲线的比较,模拟低通滤波器的设计指标参数有,p,、,p,、,s,和,s,。其中,p,和,s,分别称为通带边界频率和阻带截,止频率，,p,称为通带最大衰减（即通带,0,，,p,中允许,A,(,),的最大值），,s,称为阻带最小衰减（即,阻带,s,上允许,A,(,),的最小值），,p,和,s,的单,位为,dB,。,以上技术指标如图,6.2.3,所示,图,(a),以幅频特性描述,图,(b),以损耗函数描述。,模拟低通滤波器的设计指标参数有 p、p、 s和,图,6.2.3,模拟低通滤波器的设计指标参数示意图,图6.2.3 模拟低通滤波器的设计指标参数示意图,由图,6.2.3,可见，对于单调下降的幅度特性，,p,和,s,可表示成：,因为图,6.2.3,中 ，,所以,c,称为,3 dB,截止频率。,1,和,2,分别称为通带和阻带波纹幅度，容易得到关系式：,(6.2.4),(6.2.5),(6.2.2),(6.2.3),由图6.2.3可见，对于单调下降的幅度特性， p和,滤波器的技术指标给定后，需要设计一个系统函数,H,a,(s,),，希望其幅度平方函数满足给定的指标。一般,滤波器的单位冲激响应为实函数，因此,如果能由,p,、,p,、,s,和,s,求出,|,H,a,(j,)|,2,，那么就,可以求出,H,a,(,s,),H,a,(,s,),，由此可求出所需要的,H,a,(,s,),。,(6.2.6),滤波器的技术指标给定后，需要设计一个系统函数(6.2.6),H,a,(,s,),必须是因果稳定的,，因此极点必须落在,s,平面的左半平面，相应的,H,a,(,s),的极点必然落在右半平面。这就是,由,H,a,(,s,),H,a,(,s,),求所需要的,H,a,(,s,),的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。,因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重,要的作用。对于上面介绍的五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。,Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半平面,6.2.2,巴特沃斯低通滤波器的设计,1, 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理,巴特沃斯低通滤波器的,幅度平方函数,|,H,a,(j,)|,2,用下式表示：,式中，,N,称为滤波器的阶数。当,=0,时，,|,H,a,(j,)|=1,；,=,c,时， ，,c,是,3 dB,截止频率。在,=,c,附近，随,加大，幅度迅速下降。,(6.2.7),阶数指的是过滤谐波的次数,6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计(6.2.7)阶数指,幅度特性与,和,N,的关系如图,6.2.4,所示。幅度下降的,速度与阶数,N,有关，,N,愈大，通带愈平坦，过渡带愈,窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快,总的频响特,性与理想低通滤波器的误差愈小。,图,6.2.4,巴特沃斯低通滤波器幅度特性与 和,N,的关系,幅度特性与和N的关系如图6.2.4所示。幅度下降的图6.2,以,s,替换,j,，将幅度平方函数,|,H,a,(j,)|,2,写成,s,的函数：,复变量,s,=,+j,，此式表明幅度平方函数有,2,N,个极,点，极点,s,k,用下式表示：,式中，,k,=0,，,1,，,2,，,，,2,N,-1,。,2,N,个极点等间隔分布,在半径为,c,的圆上,(,该圆成为巴特沃斯圆,),，,间隔是,/,N,rad,。例如,N,=3,，极点间隔为,/3rad,，如图,6.2.5,所示。,(6.2.8),（,6.2.9,）,以s替换j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,图,6.2.5,三阶巴特沃斯滤波器极点分布图,图6.2.5 三阶巴特沃斯滤波器极点分布图,为形成,因果稳定,的滤波器，,2,N,个极点中,只取,s,平面左,半平面的,N,个极点构成,H,a,(,s,),，而右半平面的,N,个极点,构成,H,a,(,s,),。,H,a,(,s,),的表达式为,设,N,=3,，极点有,6,个，它们分别为,（,6.2.10,）,为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左（6.2.1,取,s,平面左半平面的极点,s,0,、,s,1,、,s,2,组成系统函数,H,a,(,s,),，即,由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特,性不同，为使设计公式和图表统一，将频率归一化。,巴特沃斯滤波器采用对,3 dB,截止频率,c,归一化,，归一,化后的系统函数为,取s平面左半平面的极点s0、s1、s2组成系统函数,令,p,=,+j,=,s,/,c,，,=,/,c,，,称为归一化频率，,p,称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的,归一化低通原型系统函数为,(6.2.11),（,6.2.12,）,式中，,p,k,=,s,k,/,c,为归一化极点，用下式表示：,令p=+j=s/c，=/c，称为归一化频率，,显然,这样，,只要根据技术指标求出阶数,N,，按照,(6.2.13),式求出,N,个极点，再按照,(6.2.12),式得到归一化低通原型系统函数,G,a,(,p,),，如果给定,c,，再去归一化，即将,p,=,s,/,c,代入,G,a,(,p,),中,(,或由,(6.2.14),式求出,s,k,=,c,p,k,),，,便得到期望设计的系统函数,H,a,(,s,),。,(6.2.14),（,6.2.13,）,(6.2.14)（6.2.13）,将极点表示式,(6.2.13),代入,(6.2.12),式，得到,G,a,(,p,),的分,母是,p,的,N,阶多项式，用下式表示：,归一化原型系统函数,G,a,(,p,),的系数,b,k,，,k,=0,，,1,，,，,N,1,，以及极点,p,k,，可以由表,6.2.1,得到。,另外，表中还,给出了,G,a,(,p,),的因式分解形式中的各系数，这样只要求,出阶数,N,，查表可得到,G,a,(,p,),及各极点,而且可以选择,级联型和直接型结构的系统函数表示形式，避免了因,式分解运算工作。,(6.2.15),将极点表示式(6.2.13)代入(6.2.12)式，得到Ga,表,6.2.1,巴特沃斯归一化低通滤波器参数,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,设计低通数字滤波器课件,由,(6.2.9),式和,(6.2.10),式可知,只要求出巴特沃斯滤波,器的阶数,N,和,3 dB,截止频率,c,，就可以求出滤波器的,系统函数,H,a,(,s,),。所以，,巴特沃斯滤波器的设计实质上,就是根据设计指标求阶数,N,和,3 dB,截止频率,c,的过程。,下面先介绍阶数,N,的确定方法,。,阶数,N,的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过,渡带、阻带的幅度下降速度，它由技术指标,p,、,p,、,s,和,s,确定。将,=,p,代入幅度平方函数,(6.2.7),式,中，再将幅度平方函数,|,H,a,(j,)|,2,代入,(6.2.2),式，得到：,(6.2.16),由(6.2.9)式和(6.2.10)式可知, 只要求出巴特,将,=,s,代入,(6.2.7),式中，再将,|,H,a,(j,)|,2,代入,(6.2.3),式中，得到：,由,(6.2.16),和,(6.2.17),式得到：,（,6.2.17,）,将=s代入(6.2.7)式中，再将|Ha(j)|2代入,令,(6.2.18a),(6.2.18b),则,N,由下式表示：,(6.2.18c),用上式求出的,N,可能有小数部分，,应取大于或等于,N,的,最小整数,。,令 (6.2.18a) (6.2.18b) 则N由下式表示：,关于,3 dB,截止频率,c,，如果技术指标中没有给出,可以按照,(6.2.16),式或,(6.2.17),式求出。由,(6.2.16),式,得到：,(6.2.19),由,(6.2.17),式得到：,(6.2.20),请注意，如果采用,(6.2.19),式确定,c,，则通带指标刚,好满足要求，阻带指标有富余； 如果采用,(6.2.20),式,确定,c,，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。,关于3 dB截止频率c，如果技术指标中没有给出(6.2.1,总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：,(1),根据技术指标,p,、,p,、,s,和,s,，用,(6.2.18),式求,出滤波器的阶数,N,。,(2),按照,(6.2.13),式，求出归一化极点,p,k,，将,p,k,代入,(6.2.12),式，得到归一化低通原型系统函数,G,a,(,p,),。,也可以根据阶数,N,直接查表,6.2.1,得到,p,k,和,G,a,(,p,),。,(3),将,G,a,(p),去归一化。将,p=s/,c,代入,G,a,(p),，得到实,际的滤波器系统函数,这里,c,为,3 dB,截止频率，如果技术指标没有给出,c,，,可以按照,(6.2.19),式或,(6.2.20),式求出。,总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： 这里c为3,【,例,6.2.1,】,已知通带截止频率,f,p,=5 kHz,，通带最大,衰减,p,=2 dB,，阻带截止频率,f,s,=12 kHz,，阻带最,小衰减,s,=30 dB,，按照以上技术指标设计巴特沃,斯低通滤波器。,解,：,(1),确定阶数,N,取,N,=5,【例6.2.1】 已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大,(2),按照,(6.2.13),式，其极点为,按照,(6.2.12),式，,归一化低通原型系统函数为,上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放,在一起，形成因式分解式。这里不如直接查表,6.2.1,简,单，由,N,=5,直接查表得到：,(2) 按照(6.2.13)式，其极点为,极点：,0.3090j0.9511,， ,0.8090j0.5878,1.0000,归一化低通原型系统函数为,式中,b,0,=1.0000,，,b,1,=3.2361,，,b,2,=5.2361,，,b,3,=5.2361,，,b,4,=3.2361,分母因式分解形式为,以上公式中的数据均取小数点后四位。,极点：,为将,G,a,(,p,),去归一化，先求,3 dB,截止频率,c,。,按照,(6.2.19),式，得到：,将,c,代入,(6.2.20),的变换式，得到,:,此时算出的,比题目中给的,s,小，因此，过渡带小,于指标要求。或者说，在,s,=212 krad/s,时衰减,大于,30 dB,，所以说阻带指标有富余量。,将,p,=,s,/,c,代入,G,a,(,p,),中,得到：,为将Ga(p)去归一化，先求3 dB截止频率c。按照此时算,6.2.3,切比雪夫滤波器的设计,1, 切比雪夫滤波器的设计原理,巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是阻带都是频率的单调减函数。,因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有较大富余量。,因此，更有效的设计方法应该是将逼近精确度均匀地分布,在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时均匀分布在两者之内。,这样，就可以使滤波器阶数大大降低。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。,6.2.3 切比雪夫滤波器的设计,切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。,它有两种形式： 振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调下降的切比雪夫,型滤波器； 振幅特性在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹的切比雪夫,型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图,6.2.7(a),和,(b),分别画出不同阶数的切比雪夫,型和,型滤波器幅频特性。,切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。它有两种形,图,6.2.7,不同阶数的切比雪夫,型和,型滤波器幅频特性,图6.2.7 不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性,我们这里仅介绍,切比雪夫,型滤波器的设计方法,。其幅度平方函数用,|,H,a,(j,)|,2,表示：,式中，,为小于,1,的正数，表示通带内幅度波动的程度，,愈大，波动幅度也愈大,;,p,称为通带边界频率。,令,=,/,p,，称为对,p,的归一化频率。,C,N,(,x,),称为,N,阶切比雪夫多项式，定义为,Ch,是双曲余弦,我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。其幅度平方函数用,当,N,=0,时，,C,0,(,x,)=1,； 当,N,=1,时，,C,1,(,x,)=,x,； 当,N,=2,时，,C,2,(,x,)=2,x,2,1,； 当,N,=3,时，,C,3,(,x,)=4,x,3,3,x,。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为,切比雪夫多项式的特性： ,(1),切比雪夫多项式的过零点在,|,x,|1,的范围内； ,(2),当,|,x,|1,时，,|,C,N,(,x,)|1,，在,|,x,|1,时，,C,N,(,x,),是双曲线函数，随,x,单调上升。,(6.2.25),当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x,这样，当,|,x,|1,时，,在,0,至,2,之间波动，函数,的倒数即是幅度平方函数,|,H,a,(j,)|,2,。所以,|,H,a,(j,)|,2,在,0,，,p,上有等波纹波动，最大值为,1,，,最小值为,1/(1+,2,),。当,p,时，,|,H,a,(j,)|,2,随,加,大，很快接近于零。,图,6.2.8,分别画出了四阶切比雪夫,型和巴特沃斯低通,滤波器的幅频特性，,显然,切比雪夫滤波器比巴特沃斯,滤波器有较窄的过渡带。,这样，当|x|1时， 在0至2之间波动，函数,图,6.2.8,四阶切比雪夫,型和巴特沃斯低通滤波器的幅频特性比较,图6.2.8 四阶切比雪夫型和巴特沃斯低通滤波器的幅频特,按照,(6.2.24),式，幅度平方函数与三个参数（,、,p,、,N,）有关。其中,与通带内允许的波动幅度有关，定,义允许的通带内最大衰减,p,用下式表示：,式中,因此,(6.2.26),(6.2.27),按照(6.2.24)式，幅度平方函数与三个参数（、p、式,这样，根据通带内最大衰减,p,，可以求出参数,。,阶数,N,影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的,疏密，因为,N,等于通带内最大值与最小值的总个数。,设阻带的起始点频率,(,阻带截止频率,),用,s,表示，在,s,处的,|,H,a,(j,)|,2,用,(6.2.24),式确定：,(6.2.28),令,s,=,s,/,p,，由,s,1,，有,这样，根据通带内最大衰减 p，可以求出参数。(6.2.2,可以解出,(6.2.29),(6.2.30),3 dB,截止频率用,c,表示，,按照,(6.2.24),式，有,可以解出(6.2.29)(6.2.30)3 dB截止频率用,通常取,c,1,，因此,上式中仅取正号，得到,3 dB,截止频率计算公式：,（,6.2.31,）,p,通常是设计指标给定的，由,(6.2.27),和,(6.2.29),式,求出,和,N,后，可以求出滤波器的极点，并确定归一化系统,函数,G,a,(,p,),，,p,=,s,/,p,。,下面略去繁杂的求解过程， 仅介绍一些有用的结论。,通常取c1，因此（6.2.31）p通常是设计指标给定的,设,H,a,(,s,),的极点为,s,i,=,i,+j,i,，可以证明：,式中,（,6.2.33,）,(6.2.34),(6.2.32),(6.2.33),式是一个椭圆方程，长半轴为,p,ch,(,在虚轴上,),，,短半轴为,p,sh,(,在实轴上,),。,设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明： （6.2,令,b,p,和,a,p,分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,式中,(6.2.35),(6.2.36),(6.2.37),因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在,b,p,为长半轴、,a,p,为短半轴的椭圆上的点。,令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出： (6.2,为因果稳定，用左半平面的极点构成,G,a,(,p,),，即,式中,c,是待定系数。根据幅度平方函数,(6.2.24),式可导出：,c,=,2,N,1,，代入,(6.2.38),式，得到归一化的系统函数为,(6.2.39),(6.2.38),去归一化后的系统函数为,为因果稳定，用左半平面的极点构成Ga(p)，即(6.2.39,按照以上分析，归纳出切比雪夫,型滤波器设计步骤：,(1),确定技术指标参数,p,、,p,、,s,和,s,。,p,是,=,p,时的衰减，,s,是,=,s,时的衰减，它们满足,(6.2.40),(6.2.41),(6.2.42),这里,p,就是前面定义的通带最大衰减，见,(6.2.26),式。,(6.2.40)(6.2.41)(6.2.42)这里,(2),求滤波器阶数,N,和参数,。归一化边界频率为,p,=1,s,=,s,/,p,。由,(6.2.24),式得到：, ,将以上两式代入,(6.2.41),和,(6.2.42),式，得到：,(2) 求滤波器阶数N和参数。归一化边界频率为p=1,令,(6.2.43),则,，因此,（,6.2.44,）,这样，先由,(6.2.43),式求出 ，代入,(6.2.44),式，求出阶数,N,，,最后取大于或等于,N,的最小整数。,按照,(6.2.27),式求,：,（,6.2.45,）,令(6.2.43)则，因此（6.2.44）这样，先由(6.2,(3),求归一化系统函数,G,a,(,p,),。为求,G,a,(,p,),，先按照,(6.2.32),式求出归一化极点,p,k,k,=1,，,2,，,，,N,。,将极点,p,k,代入,(6.2.39),式，得到：,（,6.2.46,）,(4),将,G,a,(,p,),去归一化，得到实际的,H,a,(,s,),，即,(6.2.47),(3) 求归一化系统函数Ga(p)。为求Ga(p)，先按照,【例,6.2.2,】 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止,频率,f,p,=3 kHz,，通带最大衰减,p,=0.1 dB,，阻带截止频,率,f,s,=12 kHz,，阻带最小衰减,s,=60 dB,。,解,：,(1),滤波器的技术要求：,【例6.2.2】 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止,(2),由,(6.2.44),和,(6.2.45),式求阶数,N,和,：,(3),将极点,p,k,、,N,和,代入,(6.2.39),式求,G,a,(,p,),：,(2) 由(6.2.44)和 (6.2.45)式求阶数N和,由,(6.2.46),式求出,N,=5,时的极点,p,i,，代入上式，得到：,(4),将,G,a,(,p,),去归一化，得到：,由(6.2.46)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：,6.2.4,椭圆滤波器的设计,椭圆（,Elliptic,）滤波器在,通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性,。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，所以由此取名为椭圆滤波器。又因为在,1931,年考尔（,Cauer,）首先对这种滤波器进行了理论证明，所以其另一个通用名字为考尔（,Cauer,）滤波器。椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线如图,6.2.10,所示。,6.2.4 椭圆滤波器的设计,图,6.2.10,椭圆滤波器幅频响应特性曲线,图6.2.10 椭圆滤波器幅频响应特性曲线,由图,6.2.10(a),可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹幅,度固定时，阶数越高,过渡带越窄； 由图,6.2.10(b),可,见，当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅,度越小,过渡带就越宽。,所以椭圆滤波器的阶数,N,由通带边界频率,p,、阻带,边界频率,s,、通带最大衰减,p,和阻带最小衰减,s,共同决定。,后面对五种滤波器的比较将证实，,椭圆滤波器可以,获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近，是一种性,能价格比最高的滤波器，所以应用非常广泛。,由图6.2.10(a)可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹幅,6.2.5,五种类型模拟滤波器的比较,前面讨论了三种类型的模拟低通滤波器（巴特沃思、切比雪夫,型和椭圆滤波器）的设计方法，这三种滤波器是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，第四种（贝塞尔滤波器）是主要考虑逼近线性相位特性的滤波器。为了正确地选择滤波器类型以满足给定的幅频响应指标，必须比较四种幅度逼近滤波器的特性。,为此，下面比较,相同阶数,的归一化巴特沃思、切比雪,夫,型、切比雪夫,型和椭圆滤波器的频率响应特性。,6.2.5 五种类型模拟滤波器的比较,当阶数相同时，对相同的通带最大衰减,p,和阻带最小衰减,s,时：,巴特沃思滤波器,具有单调下降的幅频特性，,过渡带最宽,。,两种类型的,切比雪夫滤波器,的过渡带宽度相等，,比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽,。切比雪夫,型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫,型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。,椭圆滤波器的过渡带最窄,，通带和阻带均是等波纹幅频特性。,当阶数相同时，对相同的通带最大衰减 p和阻带最小衰减s时,相位逼近情况,:,巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约,3/4,的通带,上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器仅在大约,半个通带,上非常接近线性相位特性。贝塞尔滤波器在,整个通带,逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多。,复杂性,:,在满足,相同的滤波器幅频响应指标条件,下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，,椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛,。,相位逼近情况: 巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约3/4的通,由上述比较可见，五种滤波器各具特点。工程实际中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数（阶数影响处理速度和实现的复杂性）和相位特性的具体要求。,例如，在满足幅频响应指标的条件下希望滤波器阶数最低时，就应当选择椭圆滤波器。,由上述比较可见，五种滤波器各具特点。工程实际中选择哪种滤,6.2.6,频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器,的设计,高通、带通、带阻滤波器的幅频响应曲线及边界频率分别如图,6.2.12(a),、,(b),和,(c),所示。,图,6.2.12,各种滤波器幅频特性曲线及边界频率示意图,6.2.6 频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器 图6.,低通、高通、带通和带阻滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减仍用,p,和,s,表示。图,6.2.12,中，,ph,表示高通滤波器的通带边界频率,;,pl,和,pu,分别表示带通和带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率,;,sl,和,su,分别表示带通和带阻滤波器的阻带下边界频率和阻带上边界频率。,从原理上讲，通过,频率变换公式,，可以将模拟低通滤波器系统函数,Q,(,p,),变换成希望设计的低通、高通、带通和带阻滤波器系统函数,H,d,(,s,),。,低通、高通、带通和带阻滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减仍用,在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计,公式都是针对低通滤波器的，并提供从低通到其他,各种滤波器的频率变换公式。所以，设计高通、带,通和带阻滤波器的,一般过程,是,:,(1),通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标,转换为相应的,归一化,低通滤波器指标； ,(2),设计相应的,归一化,低通系统函数,Q,(,p,),；,(3),对,Q,(,p,),进行频率变换，得到希望设计的滤波器系,统函数,H,d,(,s,),。 ,在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计,“,归一化低通滤波器,”是指关于某个边界频率归一化的低通滤波器,其系统函数就用,Q,(,p,),表示。,归一化频率根据设计需要而定，对巴特沃斯滤波器,关于,3 dB,截止频率归一化,的系统函数称为巴特沃斯,归一化低通原型（记为,G,(,p,),）。,切比雪夫和椭圆滤波器的归一化低通原型一般是,关,于通带边界频率,p,归一化,的低通系统函数（即,Q,(,p,),的通带边界频率为,1,）。,后面的设计举例将说明,如果低通滤波器,Q,(,p,),是关于,某边界频率的 “归一化低通滤波器”,则设计计算将大,大简化。 ,“归一化低通滤波器”是指关于某个边界频率归一化的低通滤波器,为了叙述方便，定义,p,=,+j,为,Q,(,p,),的归一化复变量，,其通带边界频率记为,p,，,称为归一化频率。用,H,d,(,s,),表示希望设计的模拟滤波器的系统函数，,s,=,+j,表示,H,d,(,s,),的复变量。,下面简单介绍各种频率变换公式,。从,p,域到,s,域映射的可,逆变换记为,p,=,F,(,s,),。低通系统函数,Q,(,p,),与,H,d,(,s,),之间的转,换关系为,（,6.2.48,）,（,6.2.49,）,为了叙述方便，定义p=+j为Q(p)的归一化复变量，（6,1, 模拟高通滤波器设计,（,1,）根据频率变换公式将需要设计的高通滤波器的指,标转换为归一化的低通滤波器的指标,:,式中，,ph,为希望设计的高通滤波器,H,HP,(,s,),的通带,边界频率；,p,是低通滤波器的归一化通带边界频,率频率。,变换公式（,6.2.51,）意味着将低通滤波器,的通带,0,p,映射为高通滤波器的通带,ph,，而将低通滤波器的通带,p, 0,映,射为高通滤波器的通带,ph, ,。,（,6.2.51,）,1 模拟高通滤波器设计（6.2.51）,同样，将低通滤波器的阻带,s, ,映射为高通滤波器的阻带,sh, 0,，而将低通滤波器的阻带,s,映射为高通滤波器的阻带,0,sh,。这种映射关系式确保低通滤波器,Q,(,p,),通带,p,p,上的幅度值出现在高通滤波器,H,HP,(,s,),的通带,ph,|,|,上。同样，低通滤波器,Q,(,p,),阻带,s,|,|,上的幅度值出现在高通滤波器,H,HP,(,s,),的阻带,s,s,上。,（,2,）设计相应的归一化低通滤波器的系统函数,Q,(,p,),。,即,G,a,(P),同样，将低通滤波器的阻带s, 映射为高通滤波器的阻,（,3,）根据从低通到高通滤波器的映射关系：,所以只要将（,6.2.50,）式代入（,6.2.48,）式，就可将,通带边界频率为,p,的低通滤波器的系统函数,Q(p),转换成通带边界频率为,ph,的高通滤波器系统函数,:,（,6.2.50,）,(6.2.52),注意：为了计算简单，一般选择,Q,(,p,),为归一化低通，即取,Q,(,p,),的通带边界频率,p,=1,。,（3）根据从低通到高通滤波器的映射关系：（6.2.50）(6,【,例,6.2.5,】,设计巴特沃思模拟高通滤波器，要求通带边,界频率为,4 kHz,，阻带边界频率为,1 kHz,，通带最大衰减,为,0.1 dB,，阻带最小衰减为,40 dB,。,解,(1,） 通过映射关系式（,6.2.51,），将希望设计的高通,滤波器的指标转换成相应的低通滤波器,Q,(,p,),的指标。,为,了计算简单，一般选择,Q,(,p,),为归一化低通，即取,Q,(,p,),的,通带边界频率,p,=1,。,则由（,6. 2.51,）式可求得归一化,阻带边界频率为,p,=,1,，,对应关系存在正负，而数值不存在,【例6.2.5】 设计巴特沃思模拟高通滤波器，要求通带边p,那么转换得到低通滤波器的指标为： 通带边界,频率,p,=1,，阻带边界频率,s,=4,，通带最大衰减,p,=0.1dB,，阻带最小衰减,s,=40 dB,。,（,2,） 设计相应的归一化低通系统函数,Q,(,p,),，仿照例,6.2.1,。,（,3,） 用（,6.2.50,）式将,Q,(,p,),转换成希望设计的高通滤,波器的系统函数,H,HP,(,s,),。,那么转换得到低通滤波器的指标为： 通带,2, 模拟带通滤波器的设计,（,1,）根据频率变换公式将需要设计的带通滤波器,的指标转换为归一化低通滤波器的指标,:,（,6.2.54,）,式中，,B,w,=,pu,pl,表示带通滤波器的通带宽度，,pl,和,pu,分别为带通滤波器的通带下截止频率和通,带上截止频率,;,0,称为带通滤波器的中心频率。,根据式（,6.2.54,）的映射关系，频率,=0,映射为频率,=,0,，频率,=,p,映射为频率,pu,和,-,pl,，频率,=-,p,映射为频率,-,pu,和,pl,。,2 模拟带通滤波器的设计（6.2.54）式中，Bw=p,也就是说，将低通滤波器,G(p),的通带,-,p,p,映,射为带通滤波器的通带,-,pu, -,pl,和,pl,pu,。,同样道理，频率,=,s,映射为频率,su,和,-,sl,，频率,=-,s,映射为频率,su,和,sl,。,可以证明,所以，带通滤波器的通带（阻带）边界频率关于中心,频率,0,几何对称。如果原指标给定的边界频率不满足,式（,6.2.56,），就要,改变其中一个边界频率,以便满足,式（,6.2.56,），但,要保证改变后的指标高于原始指标,。,(6.2.56),也就是说，将低通滤波器G(p)的通带-p, p映,具体方法是，,如果,pl,pu,sl,su,，则减小,pl,（或增大,sl,）使式（,6.2.56,）得到满足。,因为：减小,pl,使通带宽度大于原指标要求的通带宽度，增大,sl,或减小,pl,都使左边的,过渡带宽度,小于原指标要求的过渡带宽度具体计算公式为；,反之，,如果,pl,pu,slsu，则减小pl（或,综上所述，低通到带通的边界频率及幅频响应特,性的映射关系如图,6.2.14,所示，,低通原型的每一个,边界频率都映射为带通滤波器两个相应的边界频,率。,图中标出了设计时有用的频率对应关系。,（,2,） 设计相应的归一化低通系统函数,Q,(,p,),，仿照例,6.2.1,。,（,3,） 根据（,6.2.53,）式的映射关系将,Q,(,p,),转换成希,望设计的带通滤波器的系统函数,H,BP,(,s,),。,（,6.2.53,）,（,6.2.57,）,综上所述，低通到带通的边界频率及幅频响应特（6.2.53）（,图,6.2.14,低通原型到带通的边界频率及幅频响应特性的映射关系,图6.2.14 低通原型到带通的边界频率及幅频响应特性的映,【,例,6.2.6,】,设计巴特沃思模拟带通滤波器，要求通,带上、下边界频率分别为,4 kHz,和,7 kHz,，阻带上、,下边界频率分别为,2 kHz,和,9 kHz,，通带最大衰减为,1,dB,，阻带最小衰减为,20 dB,。,解,所给带通滤波器指标为,:,【例6.2.6】 设计巴特沃思模拟带通滤波器，要求通,因为,f,pl,f,pu,f,sl,f,su,，所以不满足（,6.2.56,）式。按照（,6.2.57,）式增大,f,sl,，则,采用修正后的,f,sl,，按如下步骤设计巴特沃斯模拟带通滤波器。,通过映射关系式（,6.2.54,），将希望设计的带通滤波器指标转换为相应的低通原型滤波器,Q,(,p,),的指标。为了设计方便，一般选择,Q,(,p,),为归一化低通，即取,Q,(,p,),的通带边界频率,p,=1,。,因为fplfpufslfsu，所以不满足（6.2.56）式,因为,=,s,的映射为,-,sl,，所以将,p,=1,、,=,s,和,=-,sl,代入式（,6.2.54,）可求得归一化阻带边界频率,为,转换得到的归一化低通滤波器指标为,:,通带边界频率,p,=1,，阻带边界频率,s,=1.963,，通带最大衰减,p,=,1dB,，阻带最小衰减,s,=20 dB,。,设计相应的归一化低通系统函数,Q,(,p,),。设计过程与,例,6.2.1,完全相同。,用式（,6.2.55,）将,Q,(,p,),转换成所希望设计的带通滤波,器系统函数,H,BP,(,s,),。,因为=s的映射为-sl，所以将p=