单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三节 高阶导数,引例，函数,二阶导数,三阶导数,一般地，函数,的导数,仍是,的函数，,称,的导数,为函数,的,二阶导数,记作：,或,即,1,第三节 高阶导数引例，函数二阶导数三阶导数一般地，函数,二阶导数的导数，叫做,三阶导数,，,记作：,或,三阶导数的导数，叫做,四阶导数,，,记作：,或,阶导数的导数，叫做,阶导数,，,记作：,或,函数,有,阶导数，,也说函数,为,阶可导,。,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。,2,二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作：或三阶导数的导数，叫做四,例1.,求,解,3,例1.求 解3,例2.,求,解,特别地,4,例2.求 解特别地,4,例3.,求,解,5,例3.求 解5,求,例4.,解,即,类似,6,求 例4.解即类似6,求,例5.,解,即,7,求 例5.解即7,法则,若函数,都在,处,阶可导,则,上式称为莱布尼茨(Leibniz)公式,其中,8,法则若函数都在处阶可导,则上式称为莱布尼茨(Leibniz),求,例5.,解,设,则,由莱布尼茨公式得,9,求 例5.解设则由莱布尼茨公式得,9,例6.,求,解.方程两边对x求导,上式两边再对x求导,（隐函数的高阶导数）,10,例6.求 解.方程两边对x求导 上式两边再对x求导,例7.,若,存在,求,解,11,例7.若存在,求解11,第四节 函数的微分,微分的定义,微分的几何意义,基本初等函数的微分公式与微分法则,微分在近似计算中的应用,12,第四节 函数的微分 微分的定义12,一、微分的定义,引例,.一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由,变到,问此薄片的,面积改变了多少?,面积的改变量：,当,很小时,可以忽略不记,因此,微分,13,一、微分的定义引例.一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长,定义,设函数,在点,某邻域内有定义,给,改变量,仍在该邻域内,若函数相应的改变量,可表示为,其中,A,是与,无关的常数,是比,高阶的无穷小.,则称函数,在点,处,可微,并称,的,线性主部,为函数,在点,处的,微分,即,记作,14,定义设函数在点某邻域内有定义,给改变量仍在该邻域内,若函数相,问题,1).函数应具备什么条件,其改变量才可表示为,的形式?,2).式中的,A,究竟等于什么?,定理,函数,在点,处,可微,的,充分必要条件,是,函数,在点,处,可导.,证,(必要性),设函数,在点,处,可微,则有,(,A,与,无关),所以函数,在点,处,可导.,且,且,15,问题1).函数应具备什么条件,其改变量才可表示为的形式?2),(充分性),设函数,在点,处,可导,即,与,无关,是较,高阶的无穷小.,所以函数,在点,处,可微.,由定理可知,若,在点,处,可微,则,在,的条件下,或,且,16,(充分性)设函数在点处可导,即与无关,是较高阶的无穷小.所以,函数,在,任意点,处的微分,称为,函数的微分,记作,或,即,则,“,微商,”,例1.,求函数,当,时的微分.,解,由,17,函数在任意点处的微分,称为函数的微分,记作,或即则“微商”,二、微分的几何意义,x,y,0,P,Q,T,N,函数,在点,处的,微分,是曲线在该点处的切线上 点的纵坐标相应的改变量,.,18,二、微分的几何意义xy0PQTN函数在点处的微分,是曲线在该,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,根据,可得基本初等函数的,微分公式,：,19,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则根据可得基本初等函数,20,20,微分法则,：,设,都可微，,则,复合函数 的微分法则：,设,而,所以,说明：无论u是自变量，还是中间变量都具有上述微分形式，这一性质称为,微分形式的不变性,.,21,微分法则：设都可微，则复合函数 的微分法则：设而所以说明：无,例1.,求,另解,解,利用微分法则,求函数的微分，方法有二：,利用,法则,及,微分形式的不变性,利用,微分定义,22,例1.求另解解利用微分法则求函数的微分，方法有二：利用法则及,例2.,求,解,利用微分法则,另解,23,例2.求解利用微分法则另解23,例3.,求,解,利用微分法则,另解,24,例3.求解利用微分法则另解24,例4.,求,解,另解,利用微分形式的不变性,令,再解,25,例4.求解另解利用微分形式的不变性,令再解25,例5.,求,解,另解,26,例5.求解另解26,例6.,求,解,另解,27,例6.求解另解27,例7.,解,28,例7.解28,例8,求,另 解.,解,练习:,两边同时求微分,（隐函数的微分）,29,例8求另 解.解练习:两边同时求微分（隐函数的微分）29,(2),(1),四、微分在近似计算中的应用,由微分定义知,当,时,因此,当,很小时,有,近似公式,:,即,(3),在(3)式中令,当,很小时,(4),30,(2)(1)四、微分在近似计算中的应用由微分定义知,当时,因,例1.,有一批半径为 1cm 的球,为了提高球面的光洁度,要镀上,一层铜,厚度定为 0.01cm,估计一下每只球需用铜多少克?,(铜的密度是,解 只须求出镀层的体积.,它等于两个球体体积之差.,镀每只球需用的铜约为:,31,例1.有一批半径为 1cm 的球,为了提高球面的,例2,.,计算,的近似值.,解:设,则,由,32,例2.计算的近似值.解:设则由32,类似可证,当,很小时,有近似公式:,用弧度作单位),用弧度作单位),33,类似可证,当很小时,有近似公式:用弧度作单位)用弧度作单位),第五节 边际分析与弹性分析,定义,一、导数的经济学意义-边际函数,设函数 可导，导函数,称为,边际函数,。,称为在,x=x,0,点的,边际函数值,。,1、边际成本：,成本函数,C(x),的导函数,2、边际收益：,收益函数,R(x),的导函数,3、边际利润：,利润函数,L(x),的导函数,34,第五节 边际分析与弹性分析定义一、导数的经济学意义-,1、边际成本：,成本函数,C(x),的导函数,2、边际收益：,收益函数,R(x),的导函数,3、边际利润：,利润函数,L(x),的导函数,上述三类边际函数的经济学意义？,当产量为x,0,时，产量每增加1个单位，,成本增加 单位.,当产量为x,0,时，产量每增加1个单位，,收益增加 单位.,当产量为x,0,时，产量每增加1个单位，,利润增加 单位.,当x=x,0,时，自变量 x 每增加1个单位，会,引起因变量 y 近似增加 单位.,35,1、边际成本：成本函数 C(x)的导函数2、边际收益：收益,1、平均成本：,2、平均收益：,3、平均利润：,表示产量从0到为x,0,时的平均成本,表示产量从0到为x,0,时的平均收益,表示产量从0到为x,0,时的平均利润,36,1、平均成本：2、平均收益：3、平均利润：表示产量从0到为x,例1：已知某产品的销价为,P(x)=,200,总成本函数,（1）总利润函数,L(x),（2）边际利润,（3）产量为1000，3000单位时的边际利润，并解释经济意义.,解：（1）,37,例1：已知某产品的销价为 P(x)=200,总成本函数,定义,二、函数的弹性,设函数 可导，则称,说明：,为,f(x),的,弹性函数,。记为：,2、弹性与量纲无关,1、弹性的含义,函数在 点的相对改变量,自变量在 点的相对改变量,当自变量在点 产生,1%,的改变时,会引起函数 产生 改变.,38,定义二、函数的弹性设函数,1、需求（价格）弹性：,2、供给（价格）弹性：,需求函数,供给函数,经济学上主要弹性有：,3.,39,1、需求（价格）弹性：2、供给（价格）弹性：需求函数供给函数,解：（1）,例2：已知需求函数,（1）需求价格弹性函数,（2）在,x=,2,单位处的弹性，并说明其经济学意义。,（2）,经济学意义,：当价格在,x=,2单位,处，价格再上涨,1%,时，,需求量从f(2)=22单位处减少了,%,，,负号,说明改变,的,方向相反,。,40,解：（1）例2：已知需求函数（1）需求价格弹性函数（2）,解：（1）,例3：已知需求函数,（1）需求价格弹性函数;,当P,=,4 时的弹性,并说明经济学意义;,（2）,收益价格弹性,函数，并且当P,=4，6,时,若价格上张1%,其,总收益是增加还是减少?它将变化百分之几?,(2)求收益R对价格P的弹性,当价格P,=,4,处再上涨,1%,时，需求量从Q(4)处减少了,%.,价格P=4，再上涨,1%,收益增加,0.36%,价格P=6，再上涨,1%,收益减少,1.4%,41,解：（1）例3：已知需求函数（1）需求价格弹性函数;当P=,53页9.,设函数,讨论函数,在,处连续性和可导性.,解,.,得,从而函数,在,处连续但不可导.,42,53页9.设函数讨论函数在处连续性和可导性.解.得 从而函数,例1.,设函数,当,取何值时,在,处连续且可导.,解,.,由,所以,当,时,函数,在,处连续且可导.,43,例1.设函数当取何值时,在处连续且可导.解.由所以,当时,60页8.,设,求,解：先计算极限,61页9（3）.,设,解 两边取对数，得,两边对,求导,得,44,60页8.设求解：先计算极限61页9（3）.设解 两,64页4.,若,解 先求,45,64页4.若解 先求45,64页6.,求,解.方程两边对x求导,（1）式两边再对x求导,46,64页6.求 解.方程两边对x求导 （1）式两边再对x,