单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,4,章,功和能,(work and energy),一、功,:,1.,恒力作用,直线运动,?,cos,r,F,A,?,?,?,?,r,F,A,?,?,?,?,?,F,?,?,r,?,?,-,描述力对空间累积效果的物理量。,2.,一般运动,（变力作用,曲线运动）,元功,r,f,A,?,?,d,d,?,?,a,b,f,?,r,?,d,?,?,?,b,a,r,f,A,?,?,d,功是过程标量,;,功是代数量，其正负取决于力与位移的夹角。,3.,性质,:, 0,正功, =90,0,A=0,不做功, 90,0,A0,负功,4.1,功,5.,合力的功,?,?,?,?,2,1,),(,r,r,i,i,r,d,f,A,?,?,?,?,合力的功等于各分力功的代数和。,4.,直角坐标系下的功,:,k,f,j,f,i,f,f,z,y,x,?,?,?,?,?,?,?,k,z,j,y,i,x,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,r,r,r,d,f,A,?,?,?,?,2,1,cos,r,i,i,r,f,dr,?,?,?,?,r,r,r,?,?,i,i,A,?,?,?,?,?,?,2,1,2,1,2,1,z,z,z,y,y,y,x,x,x,dz,f,dy,f,dx,f,j,y,i,x,F,?,?,?,3,4,?,?,例,已知力,质点从原点移动到,x,=8,y,=6,处该力做功多少,?,o,P(8,6),Y,X,?,?,?,2,1,r,r,r,d,f,A,?,?,?,?,6.,功的计算,6,0,2,8,0,2,2,3,2,y,x,?,?,?,?,?,?,6,0,8,0,3,4,ydy,xdx,(J),182,54,128,?,?,?,二、功率,:,v,f,t,r,f,?,?,?,?,?,?,?,?,d,d,-,描述做功快慢的物理量,t,A,P,?,?,?,平均功率,瞬时功率,t,A,t,A,P,t,d,d,l,i,m,0,?,?,?,?,?,?,?,cos,v,f,P,?,功率的单位,（瓦特）,W,10,kW,1,3,?,1,s,J,1,W,1,?,?,?,一,、动能,:,1.,定义,:,动能是物体状态的单值函数，反映物体做功的本领。,2,2,1,mv,E,k,?,2.,动能的性质,:,瞬时性,;,相对性,3.,动能与动量的关系,:,2,2,1,mv,E,k,?,铅直下落的冰雹，质量为,m,，某时刻的速率为,v,，试问从地,面上以速率,v,水平运动的车上观察，该冰雹的动能是多少？,问题：,2,2,1,p,m,?,v,v,v,v,u,（答案,:,mv,2,）,4.2,动能定理,二,、动能定理,?,?,2,2,1,1,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,2,2,2,2,v,v,v,v,m,d,v,d,m,v,m,v,m,v,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,v,d,r,A,F,d,r,m,d,r,m,d,v,m,d,v,v,d,t,d,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,v,v,v,v,v,v,v,v,1.,质点的动能定理,k1,k2,E,E,A,?,?,合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量,.,?,?,?,?,2,d,2,v,v,d,v,d,v,v,?,?,?,v,v,v,v,g,1,、动能是状态量，任一运动状态对应一定,的动能，而功是过程量。,K,K,K,E,E,E,A,?,?,?,?,1,2,质点运动的动能定理,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量,说明,：,2,、动能定理适用于惯性系。,例,1,一根质量为,m,长为,L,的匀质链条,放在摩擦系数为,的水平桌,面上,其一端下垂,长度为,a,如图所示,设链条由静止开始运动,求,:,链条离开桌面过程中摩擦力所做的功,;,链条刚刚离开桌面时的速率,。,L-,a,a,（,2,）确定研究对象：,（,3,）分析所受的力；重力和摩擦力,（,1,）选择地球惯性系建立坐标系；,链条,f,解：,o,X,摩擦力,:,设经时间,t,秒，链条下落,x,（,4,）链条离开桌面过程中摩擦力所做的功,?,g,L,m,x,L,f,),(,?,?,?,?,?,?,?,L,a,fdx,dA,A,?,?,?,?,L,a,dx,g,L,m,),x,L,(,?,L,a,L,mg,2,2,1,),(,?,?,?,?,x,L-,x,),2,(,),(,2,2,L,a,a,L,g,L,a,L,g,v,?,?,?,?,?,?,1,2,K,K,f,G,E,E,A,A,?,?,?,（,5,）下落过程重力做的功：,（,6,）应用动能原理列方程解方程,L,G,a,m,A,x,g,d,x,L,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,2,2,2,a,L,L,mg,?,?,链条刚刚离开桌面时的速率：,0,2,1,2,1,2,2,2,2,2,?,?,?,?,?,?,mv,L,a,L,mg,a,L,L,mg,),(,),(,?,x,f,o,X,L-,x,?,重力的功：,M,在重力作用下由,a,运动到,b,，取地面为坐标原点,.,?,?,?,b,a,G,r,d,g,m,A,?,?,可见，重力,做功只与,质点的始末位,置有关，而与路径无关,.,?,?,?,b,a,y,y,dy,),mg,(,?,?,?,?,?,?,b,a,),k,dz,j,dy,i,dx,(,j,),mg,(,?,?,?,?,),mgy,mgy,(,a,b,?,?,?,4.3,势能,一、几种力作的功：,?,?,Z,X,Y,O,a,b,?,g,m,?,r,d,?,m,2,相对于,m,1,由,a,到,b,万有引力,做功,dr,r,r,d,r,?,?,?,b,a,r,a,r,b,m,1,m,2,r,r,m,Gm,e,r,r,m,Gm,e,r,m,Gm,f,r,r,?,?,?,?,3,2,1,3,2,1,2,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,b,a,r,d,f,A,?,?,r,d,r,r,m,Gm,b,a,?,?,?,?,?,?,3,2,1,?,cos,r,d,r,?,?,rdr,?,dr,r,m,Gm,A,b,a,r,r,?,?,?,?,2,2,1,1,2,1,2,(,),(,),b,a,G,m,m,G,m,m,A,r,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,r,d,r,?,?,?,?,引力的功,:,可见，万有引力做功只与,质点的始末位置,有关，而与路径无关。,r,r,re,?,v,v,?,弹力的功,kx,F,?,?,可见，弹性力,做功也只,与,质点的始末位置有,关，而与路径无关,。,2,2,2,1,2,1,b,a,x,x,s,kx,kx,dx,kx,A,b,a,?,?,?,?,?,),(,定义,：某些力对质点做功的大小只与,质点的始末,位置有关，而与路径无关。这种力称为,保守力,。,典型的保守力,：,重力、万有引力、弹性力,与保守力相对应的是,非保守力，如摩擦力。,二、保守力和非保守力,x,a,x,b,k,m,F,?,?,?,?,0,r,d,f,A,?,?,若质点沿任意闭合路径运动一周，保守力,对质点所做的功为零。,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,ACB,ADB,l,ACB,BDA,r,d,F,r,d,F,r,d,F,r,d,F,r,d,F,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,保,A,B,C,D,三、势能,E,p,1.,势能,与物体间相互作用及相对位置有关的能量,.,P,1,p,2,p,),(,E,E,E,A,?,?,?,?,?,?,2.,保守力的功,弹性势能,2,p,2,1,kx,E,?,引力势能,r,m,m,G,E,p,?,?,重力势能,mgy,E,?,p,),(,2,2,2,1,2,1,a,b,kx,kx,A,?,?,?,弹力功,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,a,b,r,m,m,G,r,m,m,G,A,引力功,),(,a,b,mgy,mgy,A,?,?,?,重力功,势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关,。,),(,p,p,z,y,x,E,E,?,势能是状态函数,?,?,?,?,0,p,p0,E,z,y,x,r,d,F,z,y,x,E,),(,),(,?,?,保,0,0,p,?,E,令,势能是属于系统的。,势能计算,p,0,p,p,(,),A,E,E,E,?,?,?,?,?,?,说,明,：,重力势能常以,地面,为零势能点。,引力势能常以,无穷远,为零势能点。,弹性势能常以,弹簧原长,为零势能点。,势能曲线：,定出坐标系和势能零点后，系统的,势能是坐标的函数。,E,P,y,E,P,=mgy,O,O,x,E,P,E,P,=kx,2,/2,O,r,E,P,E,P,= -GMm/r,4.4,质点系的动能定理,质点：,m,1,m,2,2,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,2,1,2,1,:,1,1,1,1,A,B,B,A,B,A,v,m,v,m,r,d,f,r,d,F,m,?,?,?,?,?,?,?,内力：,2,1,F,F,外力：,2,1,f,f,初速度：,A,A,v,v,2,1,末速度：,B,B,v,v,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,:,2,2,2,2,A,B,B,A,B,A,v,m,v,m,r,d,f,r,d,F,m,?,?,?,?,?,?,?,两式相加得：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,B,A,B,A,B,A,B,A,r,d,f,r,d,f,r,d,F,r,d,F,即：,外力的功之和内力的功之和,系统末动能系统初动能,所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功,之和等于质点系总动能的增量。,注意：,内力能改变系统的总动能，,但不能改变系统的总动量。,）,（,2,2,2,2,1,1,2,2,2,2,1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,A,A,B,B,v,m,v,m,v,m,v,m,?,?,记作,：,A,外,A,内,E,KB,-,E,KA,质点系动能定理,C,p,F,F,i,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,in,ex,碰撞,两物体互相接触时间极短而互作用力较大,的相互作用,.,C,E,E,E,?,?,?,2,k,1,k,k,完全弹性碰撞,（能完全恢复原状，,e=1),两物体碰撞之后，,它们的动能之和不变。,完全非弹性碰撞,（完全不能恢复原状，,e=0),两物体碰撞后,以同一速度运动。,动量守恒，机械能不守恒。损失的动能转换成系统的,碰撞问题,完全弹性碰撞,（五个小球质量全同）,由质点系的动能定理：,A,外,+A,内,=E,kB,-,E,kA,A,内,=A,保内,A,非保内,A,外,+ A,保内,A,非保内,= E,kB,-,E,kA,又,A,保内,E,PA,E,PB,A,外,A,非保内,(,E,kB,+,E,PB,)-(,E,kA,+,E,PA,),定义,E,E,k,+ E,P -,机械能,即,A,外,A,非保内,E,B,-,E,A,质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保,守力的功的总和等于其机械能的增量,称为,功能原理。,一、质点系的功能原理,4.5,机械能守恒定律,能量守恒与转换定律,二、机械能守恒定律,A,外,0,A,非保内,0,则,E,B,E,A,常量,如果,只有保守内力做功,的情况下，质点系的机械能保持不变。,三、能量守恒定律,对于一个封闭的保守系统，机械能保持不变。,一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有,能量的总和保持不变，这是普遍的能量守恒定律,。,注,能量表示状态，,意,功代表过程,。,A,外,A,非保内,E,B,-,E,A,封闭系统：不受外界作用的系统。,保守系统：系统内力只有保守力。,0,A,A,非保内,外,?,?,?,四、运用功能原理解题步骤,（,1,）确定研究对象,“,系统,”,（保守力的施力体划在系统内）,（,2,）分析系统所受的力及力所做的功；,（,3,）选择惯性系建坐标；,（,4,）选择零势能点；,（,5,）计算始末态的机械能及各力所做的功,（,6,）应用功能原理列方程解方程,。,例,一轻弹簧,其一端,系在铅直放置的圆环的顶,点,P,，另一端系一质量为,m,的小球,小球穿过圆环并在,环上运动,(,=,0,),开始球,静止于点,A,弹簧处于自然,状态，其长为环半径,R,;,当球运动到环的底端点,B,时，球对环没有压,力求弹簧的劲度系数,?,30,o,P,B,R,A,解,以弹簧、小球和,地球为一系统,B,A,?,?,只有保守内力做功,系统,?,A,B,E,E,?,即,),30,sin,2,(,2,1,2,1,o,2,2,?,?,?,mgR,kR,m,B,v,R,m,mg,kR,B,2,v,?,?,又,R,mg,k,2,?,所以,取点,B,为重力势能零点,0,p,?,E,?,30,o,P,B,R,A,1,：质量,M,的沙箱，悬挂在线的下端，质量,m,，,速率,的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆,至某一高度,h,为止。试从高度,h,计算出子弹的,速率,，并说明在此过程中机械能损失。,0,?,0,?,0,?,m,M,h,例,解：从子弹以初速击中沙箱到获得共同速度可看作,在平衡位置完成的完全非弹性碰撞。水平方向,受外力为,0,，由动量守恒有,?,?,),(,0,M,m,m,?,?,子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹、沙箱、,地球组成的系统机械能守恒。,gh,M,m,M,m,),(,),(,2,1,2,?,?,?,?,m,gh,M,m,2,),(,0,?,?,?,?,碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为：,2,2,0,),(,2,1,2,1,?,?,?,M,m,m,E,k,?,?,?,?,gh,M,m,m,M,),(,?,?,P.229 4.15,一质量为,m,的物体，从质量为,M,的圆弧形槽顶由静止滑下，,圆弧形槽的半径为,R,，张角为,90,0,。如果所有摩擦可以忽略。,求：,1.,物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？,2.,物体从,A,滑到,B,的过程中，物体对槽所做的功。,3.,物体达,B,时对槽的压力,N,。,R,A,B,解,:,1.,设物体刚离开槽时，物体,和槽的速度分别是,v ,V,R,v,V,mg,N,2,2,2,1,2,1,MV,mv,mgR,?,?,0,?,?,MV,mv,),(,2,2,m,M,M,MgR,m,V,m,M,MgR,v,?,?,?,?,?,X,o,A,B,解方程可得结果如下,:,2.,物体刚离开槽时，物体对槽所做的功是：,m,M,gR,m,MV,A,?,?,?,2,2,2,1,3.,物体相对于槽的速度是：,4.,设槽对物体的压力是,N,，由牛顿第二定律可列方程如下,R,v,m,mg,N,2,?,?,mg,M,m,N,),2,3,(,?,?,),(,2,2,m,M,M,MgR,m,m,M,MgR,V,v,v,?,?,?,?,?,?,?,物体对槽的压力是,N=,-N,