单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲线的参数方程,？,救援点,投放点,一架救援飞机在离灾区地面,500m,高处,100m/s,的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？,如图，建立平面直角坐标系。,因此,不易直接建立,x,y,所满足的关系式。,x,表示物资的水平位移量，,y,表示物资距地面的高度，,由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，,x,y,500,o,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（,1,）沿,ox,作初速为,100m/s,的匀速直线运动；,（,2,）沿,oy,反方向作自由落体运动。,在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？,物资出舱后，在时刻,t,，水平位移为,x=100t,，离地面高度,y,，即：,y=500-gt,2,/2,，,物资落地时，应有,y=0,，,得,x10.10m,；,即,500-gt,2,/2=0,，解得，,t10.10s,，,因此飞行员在距离救援点水平距离约为,1010,米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。,在,t,的取值范围内，给定,t,的一个值，,由可以唯一确定,x,，,y,的,值，也就是说，当,t,确定时，点,M,（,x,，,y,）的位置就唯一确定了,.,由上所述，,可以确定物资投放后的每一个时刻的位置，还可以确定物资投放的时机,.,x=100t,y=500-,（,1/2,）,gt,2,x=100t,y=500-,（,1/2,）,gt,2,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x,，,y,都是某个变数,t,的函数,那么这个方程组就叫做这条曲线的,参数方程,，联系变数,x,y,的变数,t,叫做,参变数，,简称,参数,。,并且对于,t,的每一个允许值，由上述方程组所确定的点,M(x,y),都在这条曲线上，,参数是联系变数,x,y,的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,.,参数方程的概念,例,1:,已知曲线,C,的参数方程是 （,为参数）,(1),判断点,M,1,(0,，,1),，,M,2,(5,，,4),与曲线,C,的位置关系；,(2),已知点,M,3,（,6,，,a,）在曲线,C,上，求,a,的值。,解：,(1),把点,M,1,的坐标,(0,1),代入方程组，解得,t=0,，所以,M,1,在曲线上,把点,M,2,的坐标,(5,4),代入方程组，得到,这个方程组无解，所以点,M,2,不在曲线,C,上,(2),因为点,M,3,(6,a),在曲线,C,上，所以,解得,t=2,a=9,所以，,a=9.,练习,1,、曲线,与,x,轴的交点坐标是,(),B,A(1,，,4),；,B(25/16,0)C(1,-3)D(25/16,0),2,、方程,所表示的曲线上一点的坐标是,(),D,A(2,，,7),；,B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1,，,0),已知曲线,C,的参数方程是,点,M(5,4),在该曲线上,.,(1),求常数,a;,由题意可知,:,由,1+2t=5,，得,t=2,；,由,at,2,=4,；得,a=1,，,y,x,o,r,M(x,y),圆周运动中，当物体绕定轴作匀速转动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，,怎样刻画运动中点的位置呢？,.,圆的参数方程,设点,M,从初始位置（,时的位置）出发，按逆时针方向在圆,o,上作匀速圆周运动，,点,M,绕,点,o,转动的角速度为,即怎样表示圆上各点的坐标？,显然，点,M,的位置由时刻,唯一确定，因此可以取,为参数。,那么,=t.,设,|OM|=r,，那么由三角函数定义，有,如果在时刻,t,，点,M,转过的角度是,，坐标是,M(x,y),，,即,这就是圆心在原点,O,，半径为,r,的圆的参数方程,参数,t,有物理意义,(,质点作匀速圆周运动的时刻,),考虑到,=t,，也可以取,为参数，于是有,这就是圆心在原点,O,，,半径为,r,的圆的参数方程,.,其中参数,的几何意义是,OM,0,绕点,O,逆时针旋转到,OM,的位置时，,OM,0,转过的角度（,半径,OM,的旋转角,）,一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，,另外，要注明参数及参数的取值范围。,圆心为 ，,半径为,r,的圆的参数方程,例,2,：,如图,圆,O,的半径为,2,，,P,是圆上的动点，,Q(6,0),是,x,轴上的定点，,M,是,PQ,的中点，当点,P,绕,O,作匀速圆周运动时，求点,M,的轨迹的参数方程。,y,o,x,P,M,Q,解：设点,M,的坐标是,(x,y),则点,P,的坐标是,(2cos,2sin,).,由中点坐标公式可得,因此，点,M,的轨迹的参数方程是,轨迹是什么曲线？,cos=x-3,sin=y;,于是,(x-3),2,+y,2,=1,，,在例中，由参数方程,直接判断点,M,的轨迹的曲线类型比较困难，但如果把参数方程化为普通方程就很清楚了。,一般地,可以,通过消去参数而从参数方程得到普通方程,；在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,，,y,的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的,.,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,.,.,参数方程与普通方程的互化,将曲线的参数方程化为普通方程有利于识别曲线的类型,.,例、,把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,解,:,(1),由,得,代入,得到,这是,以（,1,，,1,）为端点的一条射线；,所以,把,得到,这是抛物线的一部分；,把参数方程化为普通方程常用方法有三种：,1.,代入法：,利用其中一个等式解出参数,t,然后代入另一个等式消去参数,2.,三角法：,利用三角恒等式消去参数,3.,整体消元法：,根据参数方程本身的结构特征,整体上消去参数,在消参过程中注意,变量,x,、,y,取值范围的一致性,，必须根据参数的取值范围，确定,f(t),和,g(t),值域得,x,、,y,的取值范围。,把普通方程化为参数方程的方法：,普通方程化为参数方程需要引入参数；,一般地,如果知道变量,x,y,中的一个与参数,t,的关系,例如,x=f(t),，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数,t,的关系,y=g(t),，那么,:,就是曲线的参数方程。,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,y,的取值范围保持一致,例：,求椭圆,的参数方程：,(1),设,为参数；,(2),设,为参数,.,解：把,因此，此椭圆的参数方程为,解：把,椭圆的参数方程为：,和,因而与,y=x,2,不等价；,练习,:,曲线,y=x,2,的一种参数方程是（）,.,在,A,、,B,、,C,中，,x,y,的范围都发生了变化，,而,在,D,中，,x,y,范围与,y=x,2,中,x,y,的范围相同,，,代入,y=x,2,后满足该方程，,从而,D,是曲线,y=x,2,的一种参数方程,.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,，,y,的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的,.,在,y=x,2,中，,xR,y0,，,解：,1,.,已知动圆方程,为参数），那么圆心的轨迹是,（）,A.,椭圆,B.,椭圆的一部分,C.,抛物线,D.,抛物线的一部分,解：,圆心轨迹的参数方程为：,消去参数得：,D,课堂练习,.,（,2009,广东卷）,若直线,（为参数）与,直线 （为参数）垂直，则,_,.,.,解：，,得,高考链接,3,已知,x,、,y,满足,求,的最大值和最小值,解：由已知圆的参数方程为,1.,解：取投放点为原点，飞机飞行航线所在直线为,X,轴，过原点和地心的直线为,Y,轴,建立平面直角坐标系，得到被投放物资的轨迹方程为：,（,t,是参数，表示时间）,令 解得 ，当 时，,由方程得到,即飞机投放救灾物资时飞机高度约为,490m,教材习题答案,2.,解：设经过时间,t,动点的位置是,M,（,x,y,）,那么：,x-2=3t,，,y-1=4t,于是点,M,的轨迹方程的参数为：,x=2+3t,y=1+4t,3.,解：不妨设的外接圆的半径为,1,，建立如图,平面直角坐标系，使点,B,C,关于,X,轴,对称，那么外接圆的参数方程是：,A,B,C,O,（,t,为参数）,（,为参数）,A,B,C,的坐标分别为（,1,，,0,），,设点,M,，则,4,.,解：,（,1,）直线；,（,2,）以,为端点的一段抛物线弧,（,3,）双曲线,5.,解,（,1,）,（为参数）,（,2,）（为参数）,