权威专业教育资源门户,*,*,*,2.2.2,对数函数及其性质,2.2,对数函数,知识点一不同底的对数函数图象的相对位置,思考,y,log,2,x,与,y,log,3,x,同为,(0,，,),上的增函数，都过点,(1,0),，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？,答案,可以通过描点定位，也可令,y,1,，对应,x,值即底数,.,梳理,一般地，对于底数,a,1,的对数函数，在,(1,，,),区间内，底数越大越靠近,x,轴；对于底数,0,a,1,的对数函数，在,(1,，,),区间内，底数越小越靠近,x,轴,.,知识点二反函数的概念,思考,如果把,y,2,x,视为,A,R,B,(0,，,),的一个映射，那么,y,log,2,x,是从哪个集合到哪个集合的映射？,答案,如图，,y,log,2,x,是从,B,(0,，,),到,A,R,的一个映射，相当于,A,中元素通过,f,：,x,2,x,对应,B,中的元素,2,x,，,y,log,2,x,的作用是,B,中元素,2,x,原路返回对应,A,中元素,x,.,梳理,一般地，像,y,a,x,与,y,log,a,x,(,a,0,，且,a,1),这样的两个函数互为反函数,.,(1),y,a,x,的定义域,R,就是,y,log,a,x,的值域；而,y,a,x,的值域,(0,，,),就是,y,log,a,x,的定义域,.,(2),互为反函数的两个函数,y,a,x,(,a,0,，且,a,1),与,y,log,a,x,(,a,0,，且,a,1),的图象关于直线,y,x,对称,.,(3),互为反函数的两个函数的单调性相同,.,但单调区间不一定相同,.,思考辨析 判断正误,1.,y,log,2,x,2,在,0,，,),上为增函数,.(,),2.,在,(0,，,),上为增函数,.(,),3.ln,x,0,，即,|,x,|1,，则,y,log,a,f,(,x,),的单调性与,y,f,(,x,),的单调性相同，若,0,a,0,，,所以,u,6,ax,是减函数，那么函数,y,log,a,u,就是增函数，,所以,a,1,，因为,0,2,为定义域的子集，,所以当,x,2,时，,u,6,ax,取得最小值，,所以,6,2,a,0,，解得,a,3,，,所以,1,a,3.,故选,B.,跟踪训练,2,若函数,f,(,x,),log,a,(6,ax,),在,0,2,上为减函数，则,a,的取值范围是,A.(0,1)B.(1,3),C.(1,3 D.3,，,),答案,解析,类型二对数型复合函数的奇偶性,解答,所以函数的定义域为,(,2,2),，关于原点对称,.,即,f,(,x,),f,(,x,),，,即,f,(,x,),f,(,x,),，,引申探究,解答,f,(,x,),为奇函数，,(,b,),a,，即,a,b,.,有,f,(,x,),f,(,x,),，,此时,f,(,x,),为奇函数,.,故,f,(,x,),为奇函数时，,a,b,.,反思与感悟,(1),指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数,(,或偶函数,).,(2),含对数式的奇偶性判断，一般用,f,(,x,),f,(,x,),0,来判断，运算相对简单,.,解答,所以函数的定义域为,R,且关于原点对称，,即,f,(,x,),f,(,x,).,lg(1,x,2,x,2,),0.,所以,f,(,x,),f,(,x,),，,例,4,已知函数,f,(,x,),log,a,(1,a,x,)(,a,0,，且,a,1),，解关于,x,的不等式,log,a,(1,a,x,),f,(1).,解,f,(,x,),log,a,(1,a,x,),，,f,(1),log,a,(1,a,),，,1,a,0,，,0,a,1,，,不等式可化为,log,a,(1,a,x,),log,a,(1,a,).,解答,类型三简单的对数型不等式的解法,0,x,1.,不等式的解集为,(0,1).,反思与感悟,对数不等式解法要点,(1),化为同底,log,a,f,(,x,),log,a,g,(,x,).,(2),根据,a,1,或,0,a,1,去掉对数符号，注意不等号方向,.,(3),加上使对数式有意义的约束条件,f,(,x,),0,且,g,(,x,),0.,即函数的定义域为,(2,，,).,答案,解析,答案,1,2,3,4,5,达标检测,2.,如果,那么,A.,y,x,1 B.,x,y,1,C.1,x,y,D.1,y,x,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,3.,设,a,log,3,7,，,b,2,1.1,，,c,0.8,3.1,，则,A.,b,a,c,B.,c,a,b,C.,c,b,a,D.,a,c,b,4,5,答案,解析,a,log,3,7,，,1,a,2.,c,0.8,3.1,，,0,c,1.,即,c,a,0,，且,a,1),的反函数，且,f,(2),1,，则,f,(,x,),_.,log,2,x,1,2,3,4,5,5.,函数,f,(,x,),ln,x,2,的减区间为,_.,答案,(,，,0),规律与方法,1.,与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响,.,2.,y,a,x,与,x,log,a,y,图象是相同的，只是为了适应习惯用,x,表示自变量，,y,表示因变量，把,x,log,a,y,换成,y,log,a,x,，,y,log,a,x,才与,y,a,x,关于直线,y,x,对称，因为点,(,a,，,b,),与点,(,b,，,a,),关于直线,y,x,对称,.,