单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,Ch1.数学模型概述,数学模型分类,1）依数学模型功能分为：定性的定量的,2）依数学模型目的分为：理论研究的预知结果的,优化的.,3）依数学模型变量关系分为：代数的几何的,积分的,4）依数学模型结构分为：分析的非分析的,图论,5）依数学模型研究对象特征分为：,确定的与随机的静态的与动态的,连续的与离散的线性的与非线性的,Ch1.数学模型概述,1,6）依数学模型所用方法分为：,初等模型 DE模型 优化模型 统计模,控制论模型逻辑模型扩散模型,7）依数学模型的领域分为：,人口模型交通模型生态模型生理模型,经济模型社会模型工程系统模型以及电力模型,8）依数学模型对象的了解程度分为：,白箱模型 灰箱模型 黑箱模型.,1-4建模步骤和原则,1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的。,2）模型假设：由实际对象的特性和建模的目的，在掌握必要资料基础上对问题进行必要的简化，并用精确的语言作出假设。(关键一步),6）依数学模型所用方法分为：,2,3）模型建立:据假设，用适当数学工具刻划变量间的关系，建立数学结构（公式，图形，表格）,4）模型求解:对模型求解，包括解方程，图解，逻辑推理，定理证明，特点性分析等（设计技术，计算技巧）,5）模型分析:对求解结果在数学上进行预测，分析各变量关系或特点性态，或根据结果作预测或得出最优决策与控制方案.,6）模型检验:用实际现象，根据检验模型的合理性，通用性（正确性）若与结果不符，要重新假设建模.,7）模型应用:若拓展结果正确，满足问题的要求，便可以利用此模型解决实际问题.,注 可以Newton万有引力模型为例，叙述建模的七个步骤.,3）模型建立:据假设，用适当数学工具刻划变量间的关系，建立,3,Ch2建模的常用方法,（1）理论分析法（2）模拟方法（3）类比分析法,（4）数据分析法（5）人工假设法（6）物理系统建模法,请作习题二，2.5,MP MO MS,MAP MAN，MT MF,M准备,M假设,分析 检验,M建立,M求解,M应用,Ch2建模的常用方法 （1）理论分析法（,4,Ch3.初等模型,简单方法建立问题的数学模型：,1.代数法,此方法涉及到以下四个例题:,1）例3.1.1 生小兔问题（Fabonacci问题）,2）例3.1.2 椅子问题（战略核武器杀伤力问题）,3）例3.1.3 雨中行走问题,4）例3.1.4 动物形体问题,2.图解法,1）例3.1 实物交换问题,2）例3.2.2 导弹核武器危机,Ch3.初等模型简单方法建立问题的数,5,3.量纲分析法,1）单摆运动,2）开普勒第三定律,4.初等概率法,1）例3.4.1 Buffon问题（投针问题）,2）例3.4.2 下赌注问题,3）例3.4.3 Banach火柴盒问题,4）例3.4.4生男生女问题,5）例3.4.5供电问题,另外还有 递推法 人狗鸡米渡河问题,夫妻过河问题,图形法 市场平衡问题,奇偶校验法（铺方砖法)及优化决策问题-工厂选址问题,3.量纲分析法,6,作业p37,2,3,9,习题3 3.1；3.4；3.12；3.16,第一次作业,1.3.12 候车问题 公共汽车每隔五分钟有辆公共汽车通过，乘客到车站的任一时刻是等可能的，试分别用几何概型，均匀分布概型求乘客候车不超过三分钟的概率（假设公共汽车一来，乘客就上车）,2.3.16 已知某项提案有48%的选民支持，并假设职工代表确实 能解决选民的观点。试问由435名代表组成的职代会会通过这项提案的可能性有多大。,作业p37,2,3,9,7,Ch4.DE模型（Ch5.差分方程模型Ch6.工程系统中的模型）,在化工、仪表、通讯、交通、生物、经济、医学、工程及社会等领域中，有大量的系统是DE模型。建模的方法可归纳为：,（1）由规律列方程：如数学定律、物理、力学、电学、光学、生物学、药学、化学定律,（2）由微分法列方程：如微元法,（3）模拟近似法：有些象生物，经济学科的实际问题，规律性不清楚，建模时在不同的假设下去近似模拟实际现象，得到DE。求出解来与实际对比。看其能否刻划某些实际现象。,Ch4.DE模型（Ch5.差分方程模型Ch6.工,8,本章研究DE模型的建模方法：,涉及：几何；力学；电学；化学；热学；扩散；医学；人口；体育；社会经济等。,4-1几何问题,建立几何问题的数学模型方法：,1）找出反映该问题的几何关系,2）把几何量的表达式代入该关系式,3）得到DE即几何问题的数学模型,模型三、最速降线问题,1.,历史背景,：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在教师报上发表了一封公开信。信的内容是：请世界上的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。引起了数学家的极大兴趣。之后,此问题由Newton，Lebeniz，Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科-变分学。,本章研究DE模型的建模方法：,9,2.,问题,：确定一条连接二定点A，B的曲线。使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B点(介质的摩擦力与空气阻力忽略不计）。,有人指出：连结A，B的直线段即为速度线。回答是否定的。在1630年Newton实验：在铅垂平面内，取两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B。（先到达B）,另一个沿直线从A滑到B。（晚到达B）,Galilei认为速降线是圆弧线（错了）。,3.,建模,3.1 模型准备,选取直角坐标系,参看下页图,2.问题：确定一条连接二定点A，B的曲线。使质点在这曲线上用,10,3.2 模型假设,设想质点由A滑到B的路径，,使所需时间为最短（像光学一样）,依光学原理（史奈尔折射定律）得,（常数）（1）,3.3 模型建立。,据能量守恒定律，质点在一定高度处的速度，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与路径无关。该质点质量为m，重力加速度为g，质点由A滑到点 的速度为v.则,（2）,由几何关系，有,（3）,3.2 模型假设,11,由（1）（2）（3）,，得：,（4）,此为速降线的数学模型的DE.,3.4 模型求解,把（4）变为,（5）,则,由（1）（2）（3），得：,12,所以,积分得：,因为曲线过（0，0），所以当t=0时，有x=y=0.于是,=0.所以 （6）,而,（7）,若令,则(6)(7)变为,（8）,所以,13,此为旋轮线（圆滚线，外摆线）的参数方程.（外摆线为齿轮线）,3.5 模型分析 3.6 模型检验,注1,只要适当选a，可使摆线过B点。,3.7 模型应用,注2,速降线的深远意义：,1，由此产生了变分法近代分析的一重要分支；,2，揭示了物理世界的心脏中包含着简单性.,注3,应用变分法。可同样得到模型（4）.,设s为 的弧长，则有,又由弧微分有,所以,整个下降时间是 的积分.故，需取最小值的积分,（x,y）,此为旋轮线（圆滚线，外摆线）的参数方程.（外摆线为齿轮,14,是 ：（9）,此为求泛函 的极小值问题。,令,由变分法知，（9）的解所满足的欧拉方程为,即,此即为（4）.,15,作业:习题四4.1,1.如图所示，沿 轴及直线,是河的两岸，河水以,匀速 朝 轴方向流动，,小船从 处入河相对,于河水的速度 直接朝原点行驶.,求船行路线，并确定 与 须满足,什么条件才能使小船到达彼岸，,船在何处登岸？,问题1:建立我国海上人员缉私的实际模型。,问题2:外摆线齿轮与圆渐开线齿轮数学模型的区别研究,作业:习题四4.1,16,模型四、追线问题（追击模型）,1.,问题描述,（模型准备）,我海上缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私船正以匀速a沿直线行驶.缉私舰立即以最大速度b追赶，若用雷达进行跟踪。保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。,2.,模型假设,（见下页图）,模型四、追线问题（追击模型）1.问题描述（模,17,1）选取走私船逃跑,的方向为y 轴方向；,2）缉私舰在（c，0）,处发现走私船在（0，0）处。,3）船舰视为两个质点。,4）设发现船的t时刻时，走,私船到达R（0，at）点，缉私舰到达D（，）.,3.模型建立,因为直线DR与路径相切，所以由几何关系，有,（10）,两端对x求导，有 （11）,代入 （最大速度为b（缉私舰）,y-at,1）选取走私船逃跑y-at,18,得到,（12）,（此处负号是因为s随x减小而增大）,所以由（11），（12），得追线的DE数学模型：,（13）,其中 （13）是不显示y的DE.令,则上式可化为 又,所以,得到,19,所以 （14）,先确定k.,若 从而 积分（14），有：,当t=0时，,即走私船被缉私舰捕捉前所跑过的距离为,所用的时间为：,若 即 则由（14）可得：,（15）,最速降线问题(数学模型概述)课件,20,若 即 显然，此时缉私舰也不可能追上走私船。,作业：习题四 .4.3,1.设飞机在半径为 的圆周上以等速v运动，导弹从圆心出发追踪，当 时，飞机在 ，导弹在圆心，若导弹速度也是v，而且圆心、导弹、飞机总是在一条直线上，证明当飞机飞行至 时，导弹正好追上它。,问题3:建立导弹攻击目标的数学模型。,问题4:建立潜水艇的导弹攻击目标的数学模型。,若 即 显,21,