单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,微专题：运用基本不等式处理多元变量最值问题,微专题：运用基本不等式处理多元变量最值问题,1,【,热点导语,】,基本不等式是高中数学中一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于熟练掌握要求,.,高考经常考查,运,用基本不等式求,函数或代数式,的最值，具有,灵活多变、应用广泛、技巧性强,等特点,.,试题既能考查,同学们的,“四基”即,基础知识、基本技能、基本思想,和基本活动经验,，还能考查,同学们的,逻辑推理、数学运算,等数学,学科核心,素养,.,本微专题侧重对运用基本不等式求多元变量最值问题进行探讨与研究,望对同学们,的,学习有,所,帮助,.,【热点导语】 基本不等式是高中数学中一个重要知识点，在,2,【,典例精析,】,【,问题,1】,已知,，,且,，则,的最小,值为,分析：,我们注意到这是,一道,含有二元变量的求最值问题，解决这类问题的途径,至少,有两条：,一是通过,消元,减少变量，,将目标式,转化为一元,变量,处理；,二是将已知等式,中,分母,看,作整体,通过,换元,处理,，将所求,的,目标式用新元表示，,再,寻求目标式与题设条件之间的联系，,进而,运用基本不等式求,解,.,【典例精析】【问题1】 已知 ，且,解答：,方法,1,（消元法）,因为, ,所以,从而,当且仅当,时取等号,所以,的最小值为,.,方法,2,（换元法）,令,则,所以,如何求其最值？,解答：方法1（消元法）因为 ,当且仅当 时，等号成立,.,【评注】,方法,1,由,已知条件,将,用,加以,表示，代入,得到关于,表达式,，,即将二元变量化为一元变量，,再运用基本不等式求,最,值,.,方法,2,通过,换元,寻找所求目标,式,与题设条件之间的联系，再利用“,1,”的代换,创造条件,运用基本不等式求解,.,当且仅当 时，等号成立.【评注】方法1由已知条件,【,变式,】,已知,若,，则,的最小值为,。,分析：,本题是一道二元变量求最值问题，若运用消元法，,发现,比较,难以解决,；,但我们,注意到已知,等式可以,通过,移项,分解可转化为,，,通过换元,将二元变量化为一元变量,加以解决,.,解答：,（,换,元法）,由,得,，,设,，,则,从而,【,评注,】,对于多变量问题，,常用的方法为,消元,或,换元，,其,目,的是化二元为一元,创造条件运用,基本,不等式,求解,.,当且仅当 取等号,【变式】已知 ,若,【,借题发挥,】,【,问题,2】,已知,且,则函数,的最大值与,最小值,分析：,本题,仍然,是一道含有二元变量的求最值问题，如果用消元法比较困难，,但,我们注意到所求函数,是题设条件,等式,左边中,某,两项,和,，,可以运用整体处理的思想即,通过换元来处理,.,解答：,设,则,，,如何得到关于,的不等式？,所以,【借题发挥】【问题2】已知 ,且,即,，解得,，,当且仅当 等号成立,【评注】,本题我们是,通过构造“,两个整体,”，即将所求函数作为一个整体，结合题设条件再得一个整体,通过把两个整体,相乘和换元,，,由基本不等式生成得到一个关于新元的不等式从而求解，体现了整体处理,的思想与构造,的,方法,.,经检验：当 ， 时， ；,函数,的最大值为,25,，最小值为,1.,当,时，,即 ，解得 ，当且仅当,【,变式,】,已知,且,则,的最大值,如何生成？,思路,1,：,注意到已知,等式的右边为,定值，,联想到“,和是定值，积有最大值,”,于是思考把等式左边,看作,哪两项和，且它们乘积得到关于 的表达式，是解决本题的关键,.,不难发现看成 与,和，,由基本不等式得到关于,的不等式,进而,求解,.,分,析：,本题的目标是求,的最大值，如何得到关于,的不等式是解决此问题的难点,。,思路,2:,（换元）,设 ，则 代入已知等式整理，再由基本不等式得到关于,k,的不等式进而求解。,【变式】已知 ,且,解答,：,方法,1,：,因为,，所以,即,解得,当且仅当 时等号成立,.,所以当 时， 有最大值为,4,解答：方法1： 因为 ，所以即解得,方法,2,：,令 ，则 代入已知并整理得,【评注】,方法,1,是,根据所求目标需要，将已知条件中等式的左边通过合理分组把看成两个整体,；方法,2,是将目标式看作一个整体通过换元来处理，最后都是,由基本不等式得到关于,的不等式,再解不等式得出结果,。,解得,当且仅当 时等号成立,.,所以 的最大值为,4.,方法2：令 ，则 代入已知并整,【,思维拓展,】,【,问,题,3】,(1),已知,且,则,的,最,小,值为,解答,:,(1),由,积为定值,当且仅当,即 时,取等号,.,分析：,本题,是一道三元变量求最值问题，,要求和的最小值，,根据,最值定理,“积为定值,和有最小值,”,，考虑积为定值，于是对已知等式进行分解处理。,【思维拓展】【问题3】(1)已知 ,且,(2),已知,且,则,的,最大值为,解答,:,由,和为定值,当且仅当,即 时,取等号,.,【评注】,最值定理“,积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值,.,”是我们求最值问题的理论依据。为此，需要对已知等式或者将所求目标式因式分解，进行“和”与“积”合理转化,.,(2)已知 ,且 ,则,13,【,变式,1】,已知,且,，则 的最大值为,分析：,本题是一道含有二元变量的二次式求最值问题，,由以,往,经验,是通过消元转化为一元问题，本题直接消元比较困难,.,方法,1,：,通过“,1,”,的,代换将目标式转化为齐次式，将分子分母同除以,，再通过换元转化为一元问题解决,.,方法,2,：,由平方和,联想到圆的,方程,知识，将,看作半径平方即,，,利用,圆的参数方程或三角代换加以处理,.,【变式1】已知 ,且,解答,:,方法,1,（化为齐次式）,令,，,当且仅当 时取等号,.,解答: 方法1（化为齐次式）令 ， 当且仅当,【评注】,方法,1,利用,“,1,”的代换将目标式化为齐次式，通过变形、换元、分离常数等，再利用基本不等式求解,.,方法,2,通过,三角代换，三角函数,范围,最值,.,方法,2,(,三角代换,),令,设,则,当 时,取等号。,【评注】方法1利用“1”的代换将目标式化为齐次式，通过变形、,【,变式,2】,已知函数,的最大值为,，最小值为,，则,的值为,分析：,本题实质是一道,无理函数,求最值问题,，,对于无理函数，,我们的,常用的策略是,化,无理为有理,，,方法,是,换元或平方,.,解法,1,：,令,，,则,，又,可知,.,由,当 时， ；,【变式2】已知函数 的最大值为,当 时， ，,由 得 ，即,综上可得 ，即,.,解法,2,：,因为,所以,又,，,，所以,，,.,当 时，,解法,3,：,令 ，则,，所以,，,.,【评注】,本题解决的方法比较多，解法,1,通过换元化无理为有理，运用基本不等式求其最值；解法,2,是通过平方、配方求最值；解法,3,是通过三角代换,(,参数方程），利用三角函数范围求最值。,解法3：令,1.,本微专题,中,问题,及变式的,成功解决,其策略,体现在两个,关键字是,“,元”,和,“转”,.,“元”,即,通过消元,或,换元,减少变量、化非齐次为齐次式,，体现,了,整体处理的思想；,“转”,即,通过因式分解将“和”与“积”进行,互相,转换,，,通过创造条件运用,基本不等式,生成关于新元不等式，进而,求最值,。,2.,例题中难点在于将条件转化为满足运用基本不等式的条件，解决这一难点的关键是要有较强的,目标意识及相关的解题经验,。例题及变式,给予我们启示，巧妙方法源于,我们对问题的深入思考与联想，,需要认真审题，积累相关解题经验,.,通过合理,转,化,、,整体换元等视角来处理，可能会带给你惊喜,。,【,总结提升,】,1.本微专题中问题及变式的成功解决,其策略体现在两个,【,课后,练习】,【课后练习】,