单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章 静电场,主 要 内 容,1.,真空中静电场方程,2.,介质中的静电场方程,3.,静电场的边界条件,4.,电容与部分电容,5.,电场能量和力,6.,镜像法,7.,应用,一,.,真空中静电场方程,物理实验表明，真空中静电场的电场强度,E,满足下列两个积分形式的方程,式中,0,为真空介电常数。,左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一,封闭,曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿,任一,条闭合曲线的环量为零。,根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即,左式表明，真空中静电场的电场强度在某,点,的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度,处处,为零。由此可见，真空中静电场是,有散无旋,场。,再根据亥姆霍兹定理，电场强度,E,应为,式中,x,P,z,y,r,0,电位以小写希腊字母,表示，上式应写为,将前述结果代入，求得,因此,标量函数,称为,电位,。表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的,负,值。,将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为,若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的,面密度,S,及,线密度,l,的关系分别为,点电荷,:,电位方程,有源空间：泊松方程,无源空间：拉普拉斯方程,泊松方程与拉普拉斯方程本质上是二次微分方程，对于特殊形式的方程可以求出通解，再由初始值，得到电位的解。,对于拉氏方程与泊松方程的理解,:,这是微分方程，在数学上，有无穷个解，需要确定待定常数,不管是什么样的场问题，都可以用这样两个方程表达,在物理上，当源分布确定时，场的分布也就惟一确定。,确定待定常数的方法，就是空间的边界条件，及场的初值条件等,例,1,计算点电荷的电场强度。,点电荷,就是指体积为,零,，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有,球对称,特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及极角无关。,取中心位于点电荷的球面为,高斯面,。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律,上式左端积分为,得,或,也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，。那么点电荷的电位为,求得电场强度,E,为,若根据电场强度公式（,3-1-14,），同样求得电场强度,E,为,例,2,计算电偶极子的电场强度。,由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位为,若观察距离远大于两电荷的间距,l,，则可认为 ，与 平行，则,x,-q,+q,z,y,l,r,r,-,r,+,O,式中,l,的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积,q,l,为电偶极子的,电矩,，以,p,表示，即,求得,那么电偶极子产生的电位为,由关系式 ，求得电偶极子的电场强度为,上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角,有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。,X,Y=meshgrid(-0.1:0.002:0.1);,Z=X./(X.2+Y.2).1.5);,mesh(X,Y,Z),axis(-0.1 0.1-0.1 0.1-3000 3000);,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,x,y,y,x,2,+,2,),+,=,例,3,设半径为,a,，电荷体密度为,的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。,x,z,y,a,L,S,1,选取圆柱坐标系，令,z,轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一,z,值，上下均匀无限长，因此场量与,z,坐标无关。对于任一,z,为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于,z,轴，且与径向坐标,r,一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度,无关。,取半径为,r,，长度为,L,的圆柱面与其上下端面构成高斯面。,由问题的对称性，可先求场强，再求电位,由于任意,z,平面均是电荷源的对称平面，因此它也是电场的对称平面，即场强方向只能是矢径,r,方向，与圆柱侧面垂直,因电场强度方向处处与圆柱侧面,S,1,的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为,当,r,a,时，则电量,q,为,求得电场强度为,上式中,a,2,可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为,=,a,2,的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为 的,无限长线电荷,的电场强度为,由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。,x,z,y,r,2,1,r,0,0,例,4,求长度为,L,，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度,令圆柱坐标系的,z,轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角,无关。因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。,因场量与,无关，为了方便起见，可令观察点,P,位于,yz,平面，即 ，那么,书中的标量,r,应该改为,r,0,，以免与矢量,r,混淆,考虑到,求得,当长度,L,时，,1,0,，,2,，则,此结果与,例,3,导出的结果完全相同。,x,z,y,r,2,1,r,0,0,二,.,介质中的静电场,1.,极化类型,导体,中的电子通常称为,自由电子,，它们所携带的电荷称为,自由电荷,。,介质,中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为,束缚电荷,。,在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为,极化,。通常，,无极,分子的极化称为,位移,极化，,有极,分子的极化称为,取向,极化。,有极分子,无极分子,无极分子,有极分子,E,a,2.,极化过程,实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场,E,a,加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场,E,s,，这种二次电场,E,s,又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。,介 质,合成场,E,a,+,E,s,极 化,二次场,E,s,外加场,E,a,3.,极化强度,介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为,极化强度,，以,P,表示，即,式中,p,i,为体积,V,中第,i,个电偶极子的电矩，,N,为,V,中电偶极子的数目。这里,V,应理解为物理无限小的体积。,实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度,P,与介质中的,合成,电场强度,E,成正比，即,式中,e,称为电极化率，它是一个正实数。,4.,介质类型,分为,:,各向同性与各向异性、均匀与非均匀性、线性与非线性、静止与运动,四大类,.,极化率与电场,方向,无关，这类介质称为,各向同性,介质。,极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度,P,与电场强度,E,的关系可用下列矩阵表示,这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为,各向异性,介质。,空间各点极化率相同的介质称为,均匀,介质，否则，称为,非均匀,介质。,极化率与时间无关的介质称为,静止,媒质，否则称为,运动,媒质。,因此，若极化率是一个,正实常数,，则适用于,线性均匀且各向同性,的介质。若前述,矩阵,的各个元素都是一个,正实常数,，则适用于,线性均匀各向异性,的介质,极化率与电场强度的,大小无关,的介质称为,线性,介质，否则，称为,非线性,介质。,各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？,发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为,极化电荷,。,可以得出如下关系：,由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的。,右式又可写为积分形式,5.,介质中的静电场方程,在介质内部，穿过任一闭合面,S,的电通应为,式中,q,为闭合面,S,中的自由电荷，为闭合面,S,中的束缚电荷。那么,令 ，求得,此处定义的,D,称为,电位移,。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的,自由,电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微分形式为,介质中微分形式的高斯定律表明，某,点,电位移的散度等于该,点自由,电荷的体密度。,电位移,电位移线,表示,.,若规定电位移线组成的相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可表示电位移的大小。值得注意的是，,电位移线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关,。,已知各向同性介质的极化强度 ，求得,式中,称为介质的介电常数。已知极化率,e,为正实数，因此，一切介质的介电常数均,大于,真空的介电常数。,令,则,实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以,r,表示，其定义为,可见，任何介质的相对介电常数总是,大于,1,。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。,介 质,介 质,空 气,1.0,石 英,3.3,油,2.3,云 母,6.0,纸,1.34.0,陶 瓷,5.36.5,有机玻璃,2.63.5,纯 水,81,石 腊,2.1,树 脂,3.3,聚乙烯,2.3,聚苯乙烯,2.6,r,r,各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为,此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的,方向,有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与,空间坐标,无关。线性介质的介电常数与电场强度的,大小,无关。静止媒质的介电常数与,时间,无关。,对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此得,此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。,小 结,真空中静电场方程的积分形式,(,实验规律,),和微分形式,(,推导式,),即静电场的散度和旋度,.,了解介质的极化规律,.,掌握均匀介质中的电场规律,作业,:4,6,