单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,第,5,章 特殊平行四边形,5.3,正方形,第5章 特殊平行四边形5.3 正方形,1,课堂讲解,正方形,的,性质,正方形的判定,2,课时流程,逐点,导讲练,课堂小结,作业提升,1课堂讲解正方形的性质2课时流程逐点课堂小结作业提升,给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如,图所示的正方形孔吗？,给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如,1,知识点,正方形的性质,正方形的性质：,(1),具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即：,边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；,角：四个角都是直角；,对角线：对角线相等、互相垂直平分，每条对,角线平分一组对角,知,1,讲,1知识点正方形的性质正方形的性质：知1讲,(2),正方形的特殊性质：,正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的,等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四,个全等的等腰直角三角形；,周长相等的四边形中，正方形的面积最大；,是轴对称图形，有,4,条对称轴；,面积为边长的平方或对角线平方的一半,知,1,讲,（来自,点拨,）,(2)正方形的特殊性质：知1讲（来自点拨）,如图，正方形,ABCD,的边长为,1 cm,，,AC,为对角线，,AE,平分,BAC,，,EF,AC,，垂足为,F,，求,BE,的长,知,1,讲,线段,BE,是,Rt,ABE,的一边，但,由于,AE,未知，不能直接用勾股,定理求,BE,，由条件可证,ABE,AFE,，问题转化为求,EF,的长，结合已知条件易获解,导引,：,例,1,如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分,四边形,ABCD,为正方形，,B,90,，,ACB,45,，,AB,BC,1 cm.,EF,AC,，,EFA,EFC,90.,又,ECF,45,，,EFC,是等腰直角三角形，,EF,FC,.,BAE,FAE,，,B,EFA,90,，,AE,AE,，,ABE,AFE,.,AB,AF,1 cm,，,BE,EF,，,FC,BE,.,在,Rt,ABC,中，,AC,FC,AC,AF,(,1)(cm),，,BE,(,1)cm.,知,1,讲,（来自,点拨,）,解：,四边形ABCD为正方形，知1讲（来自,总,结,知,1,讲,解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四,边相等、四角相等、对角线互相垂直平分且相等等,性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾,股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把,钥匙,总 结知1讲 解有关正方形的问题，要充分,知,1,讲,例,2,已知：如图，在正方形,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,的交点为,O,，,E,是,OB,上的一点，,DG,AE,于,G,，,DG,交,AO,于,F,，求证：,EF,AB,.,要证,EF,AB,，由于,OBA,45,，,EOF,90,，即需证,OEF,45,，即要证明,OE,OF,，而,OE,OF,可通过证明,AEO,DFO,获得,（来自,点拨,）,导引：,知1讲例2 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线A,知,1,讲,四边形,ABCD,是正方形，,AOE,DOF,90,，,AO,DO,，,OBA,45.,又,DG,AE,，,EAO,AEO,EDG,GED,90.,AEO,GED,，,EAO,FDO,.,AEO,DFO,OE,OF,.,OEF,45.,OEF,OBA,.,EF,AB,.,（来自,点拨,）,证明：,知1讲四边形ABCD是正方形，（来自点拨）证明：,总,结,知,1,讲,通,过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步,得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最,常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直,角为证明三角形全等提供了条件,（来自,点拨,）,总 结知1讲 通过证明三角形全等得到边和,如图，在正方形,ABCD,中，,AC,为对角线，,E,为,AC,上一点，连结,EB,，,ED,.,(1),求证：,BEC,DEC,；,(2),延长,BE,交,AD,于,F,，当,BED,120,时，求,EFD,的度数,知,1,练,（来自,点拨,）,1,如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC知1练（来,如图，在正方形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，,E,，,F,分别在,OD,，,OC,上，且,DE,CF,，连结,DF,，,AE,，,AE,的延长线交,DF,于点,M,.,求证：,AM,DF,.,知,1,练,（来自,点拨,）,2,如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F,如图，正方形,ABCD,的对角线相交于点,O,，,EF,AB,分别交,OA,、,OB,于,E,、,F,两点，连结,CF,、,BE,，,则下列说法中，不正确的是,(,),A,OE,OF,B,OFE,CFO,C,CF,BE,D,CF,BE,知,1,练,（来自,典中点,）,3,如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，EF知1练（来自,(,中考,怀化,),如图，在正方形,ABCD,中，如果,AF,BE,，那么,AOD,的度数是,_,知,1,练,（来自,典中点,）,4,(中考怀化)如图，在正方形ABCD中，如果AF知1练（,(,中考,黄冈,),如图，在正方形,ABCD,中，点,F,为,CD,上一点，,BF,与,AC,交于点,E,，若,CBF,20,，,则,AED,等于,_,度,知,1,练,（来自,典中点,）,5,(中考黄冈)如图，在正方形ABCD中，点F为CD知1练（,2,知识点,正方形的判定,知,2,导,正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方,形？把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其,中的一些结论,.,思考,2知识点正方形的判定知2导 正方形有哪些性质,知,2,导,我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，,那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？,问题,知2导 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正,知,2,讲,正方形的判定方法：,要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是,先证明它是矩形,(,或菱形,),，再证明这个矩形,(,或菱形,),有,一组邻边相等,(,或有一个角是直角,),，其实质就是根据正,方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四,边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证,这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直,（来自,典中点,）,知2讲正方形的判定方法：（来自典中点）,知,2,讲,已知：如图,在,Rt,ABC,中，,ACB,=90,，,CD,是,ACB,的平分线，,DE,BC,，,DF,AC,，垂足分别是,E,F,.,求证,:,四边形,CFDE,是正方形,.,例,3,C,知2讲已知：如图,在 RtABC中，ACB=9,知,2,讲,DE,BC,，,DF,AC,，,DEC,=,DFC=90,.,而,ACB=,90,，,四边形,CFDE,是矩形,(,有三个角是直角的四边,形是矩形,).,又,CD,是,ACB,的平分线,.,1=,2,，,DE,=,DF,(,为什么？,).,四边形,CFDE,是正方形,(,有一组邻边相等的矩,形是正方形,).,证明,：,知2讲 DEBC，DFAC，证明：,总,结,知,2,讲,在证明四边形是正方形时，如果条件中有直角，,通常先证明四边形是矩形，再证明矩形的邻边相等,来解答,.,总 结知2讲 在证明四边形是正方形时，如,知,2,讲,例,4,如图，已知在,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,交于点,O,，,E,是,BD,的延长线上的点，且,EA,EC,.,(1),求证：四边形,ABCD,是菱形；,(2),若,DAC,EAD,AED,，,求证：四边形,ABCD,是正方形,若要证明,ABCD,是菱形，由于题中条件与对角线相,关，则需证,AC,BD,；要证,ABCD,是正方形，有三种,途径可走，即在平行四边形、菱形、矩形的基础上，,找各需补充的条件进行证明,导引：,知2讲例4 如图，已知在ABCD中，对角线AC，BD,知,2,讲,(1),四边形,ABCD,是平行四边形，,AO,CO,，,EA,EC,，,EO,AC,，即,BD,AC,，,四边形,ABCD,是菱形,(2),ADO,EAD,AED,，,DAC,EAD,AED,，,ADO,DAC,，,AO,DO,，,四边形,ABCD,是菱形，,AC,2,AO,，,BD,2,DO,，,AC,BD,，,又由,(1),知四边形,ABCD,是菱形，,四边形,ABCD,是正方形,.,（来自,点拨,）,证明：,知2讲(1)四边形ABCD是平行四边形，AOCO，,已知：如图，,ABD,和,BCD,都,是等腰直角三角形，,A,=,C,=,Rt,.,求证,:,四边形,ABCD,是正,方形,.,知,2,练,（来自,教材,）,1,2,求证,:,依次连结正方形各边中点所成的四边形是正,方形,.,已知：如图，ABD和BCD都知2练（来自教材）12,下列叙述错误的是,(,),A,既是矩形又是菱形的四边形是正方形,B,有一组邻边相等的矩形是正方形,C,有一个角是直角的菱形是正方形,D,对角线相等且互相垂直的四边形是正方形,知,2,练,（来自,典中点,）,3,下列叙述错误的是()知2练（来自典中点）3,如图，在,ABC,中，,ACB,90,，,BC,的垂直平分线,EF,交,BC,于点,D,，交,AB,于点,E,，且,BE,BF,，添加一个条件，仍不能证明四边形,BECF,为正方形的是,(,),A,BC,AC,B,CF,BF,C,BD,DF,D,AC,BF,知,2,练,（来自,典中点,）,4,如图，在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线EF交,正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有,性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相,等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分,一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴这,些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的,依据,正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有,证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四,种方法：,方法,1,：,证：,“,四边形四边相等四个直角,”,；,方法,2,：,证：,“,平行四边形一组邻边相等一个直,角,”,；,方法,3,：,证：,“,矩形一组邻边相等,”,；,方法,4,：,证：,“,菱形一个直角,”,证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四,证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：,(1),证：“四边形对角线互相垂直、平分且相等”；,(2),证：“平行四边形对角线互相垂直且相等”；,(3),证：“矩形对角线互相垂直”；,(4),证：“菱形对角线相等”,证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：,1.,必做,:,完成教材,P125,作业题,T1-T5,2.,补充,:,请完成,典中点,剩余部分习题,1.必做:完成教材P125作业题T1-T5,