单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,第八节 多元函数的极值及其求法,第七章,(Absolute maximum and minimum values),一、多元函数的极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,三、小结与思考练习,11/18/2024,1,第八节 多元函数的极值及其求法 第七章(Absolute,一、多元函数的极值及最大值、最小值,定义,若函数,则称函数在该点取得,极大值(极小值).,例如:,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和极小值,统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,的某邻域内有,11/18/2024,2,一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义 若函数则称函数,说明,:,使偏导数都为 0 的点称为,驻点.,例如,函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点不取极值.,且在该点取得极值,则有,存在,故,定理1(必要条件),11/18/2024,3,说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,函数偏导数,时,具有极值,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A0 时取极小值.,2)当,3)当,这个定理不加证明.,时,没有极值,.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,定理2(充分条件),11/18/2024,4,时,具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:,11/18/2024,5,10/6/20235,例1.,求函数,解,:,第一步 求驻点.,得驻点,:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点,(1,0),处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,11/18/2024,6,例1.求函数解:第一步 求驻点.得驻点:(1,0),在点,(,3,0),处,不是极值;,在点,(,3,2),处,为极大值.,在点,(1,2),处,不是极值;,11/18/2024,7,在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,例2.,讨论函数,及,是否取得极值.,解:,显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此,z,(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,11/18/2024,8,例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它,二、最值应用问题,函数,f,在闭域上连续,函数,f,在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且,只有一个,极值点,P,时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,11/18/2024,9,二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f 在闭域上可达到最值,提示,:,首先考察函数,z,在三角形区域,D,内的极值,其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值.,11/18/2024,10,提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三,首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令,解此方程组，得到D内的驻点为(2,1).,解:令,11/18/2024,11,首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令 解此方程组，得到D,其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值.,（1）在x=0上,z=0;,（2）在y=0上,z=0;,（3）在x+y=6上,解得驻点x=0和x=4,比较得最大值为4，最小值为64.,11/18/2024,12,其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值.（1）在x=,把它折起来做成,解:,设折起来的边长为,x,cm,则断面面积,x,24,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,例4,有一宽为 24cm 的长方形铁板,11/18/2024,13,把它折起来做成解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积,令,解得:,由题意知,最大值在定义域,D,内达到,而在域,D,内只有,一个驻点,故此点即为所求.,11/18/2024,14,令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,二、条件极值 拉格朗日乘数法,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,转化,11/18/2024,15,二、条件极值 拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条 件 极,例,解,11/18/2024,16,例解10/6/202316,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,方法2 拉格朗日乘数法.,11/18/2024,17,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问,引入辅助函数,辅助函数,F,称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为,拉格朗日乘数法.,11/18/2024,18,引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange),拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,推广,11/18/2024,19,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解,例5,要设计一个容积为,V,的长方形无盖水箱,试,问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到,最小?,若设长、宽、高各等于,x,y,z,则,目标函数:,约束条件:,11/18/2024,20,例5 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱,试,例5 解,此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如 代入目标函数后,转而求解,的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的,而,且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条,件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数,并求解以下方程组:,11/18/2024,21,例5 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如,两两相减后立即得出 再代入第四式,便求得,为消去 ,将前三式分别乘以,x,y,z,则得,11/18/2024,22,两两相减后立即得出,得唯一稳定点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此,当高为,思考:,1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?,提示:,利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价,最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等.,11/18/2024,23,得唯一稳定点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2,解,则,由(1)，(2)得,由(1)，(3)得,11/18/2024,24,解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得10/6/2,将(5)，(6)代入(4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，最大值一定存在，,所以，,最大值就在这个可能的极值点处取得。,故，最大值,11/18/2024,25,将(5)，(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能的极,例6 解,这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗,日常数;而且为了方便计算,把目标函数改取距离,目标函数:,约束条件:,的平方(这是等价的),即设,11/18/2024,26,例6 解 这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗 日,求解以下方程组:,由此又得 再代入条件,式,继而求得:(这里 否则将无解),11/18/2024,27,求解以下方程组:,故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分,别为,最后得到,11/18/2024,28,故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为,注意:,应用,拉格朗日乘数法求解条件极值问题，,产生的方程组变量个数可能比较多，似乎解这,个方程组往往是很困难，但注意我们可以利用,变量之间的关系(也就是问题给出的条件)，找,到解方程组的简便方法，而不是要用死板的方,法去解方程组.,11/18/2024,29,注意:应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，10/6/2023,内容小结,1.函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.,2.函数的条件极值问题,(1)简单问题用代入法,如对二元函数,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,11/18/2024,30,内容小结1.函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,在条件,求驻点.,3.函数的最值问题,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件),11/18/2024,31,设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.,作业,习 题 7-8 P116,2;8,11/18/2024,32,作业习 题 7-8 P116,已知平面上两定点,A,(1,3),B,(4,2),试在椭圆,圆周上求一点,C,使,ABC,面积,S,最大.,思考练习,解答提示:,设,C,点坐标为(,x,y,),则,11/18/2024,33,已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点,C,与,E,重合时,三角形,面积最大.,点击图中任意点,动画开始或暂停,11/18/2024,34,设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与,备用题 1.,求半径为,R,的圆的内接三角形中面积最大者,.,解:,设内接三角形各边所对的圆心角为,x,y,z,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设,拉格朗日,函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大,最大面积为,11/18/2024,35,备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解,为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?,提示:,目标函数:,约束条件:,答案,:,即四边形内接于圆时面积最大.,2.,求平面上以,11/18/2024,36,为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示,