,1.,古典概率,2.,几何概率,3.,概率的统计定义,4.,概率的公理化定义,1.2,事件的概率及其性质,1,定义,若试验,E,具有特点（,1,）试验的样本空间的元素只有,有限个,，比如,n,个，样本空间表示为,=,e,1,e,2,e,n,；（,2,）试验中每个基本事件发生的,可能性相同,则称试验,E,为,古典概型（或等可能概型）,1.2.1,古典概率,1.2,事件的概率及其性质,（有限可加性）,古典概率：,若,A,为试验,E,的一事件，试验,E,的样本空间为,，,且,A,含有,k,个样本点则,事件,A,的概率,就是,(3),设,样本空间,含,n,个基本事件,A,k,含有,r,k,(,n,),个基本事件，,k=1,2,m,由,古典概型概率的定义,由于,A,1,，,A,2,，,.A,m,两两互不相容，则,证明,:,(1)(2),显然成立。,3,例题,例,1,：,1-6,数码，任取不同的两数码构成两位数,求这两个数都是偶数的概率。,小结,：在,古典概型中，求事件,A,的概率关键在于寻找,基本事件的总数,和,事件,A,所含的基本事件个数,。这时，往往要利用乘法、加法原理及排列组合的知识。,解：属于古典概型，与两数的顺序有关是排列。,A,：取两个数都是偶数。则,(,一,),取球,问题（抽样问题）,袋中共有,N,个球，,N,1,白，,N,2,红，采用摸出后“放回”“不放回”两种方式任取出,a+b,个球，试求这,a+b,个球中恰含,a,个白,b,个红的概率。,解：,不放回抽样,从,N,个球中取出,a+b,个球，有两种,理解：,三类问题：,（,1,）一次取出,a+b,个球；,（,2,）一个一个取，不放回，取,a+b,次；,设,A,：,a+b,球中恰有,a,个白,b,个红。把,A,发生的过程分为两步：在白球中取,a,个球，再在红球中取,b,个球按乘法原则所含样点是,按,(1,),:,每,取一次就做了一次试验，构成一个基本事件，只观察颜色不分顺序，按组合计算样本点总数：,超几何分布的概率公式,按（,2,）,：一个一个取，每次记录下颜色和球的编号，不放回，取,a+b,个球是有顺序的，构成,a+b,个球的一个排列，样本点总数：,A,的发生可分解为如下过程,：,在这,a+b,个球的位置上，选,a,个位置放白球，剩下的放红球，样本点数：,放回抽样,一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间的样本点数：,N,a+b,所以，所求概率为：,由乘法、加法原理，,A,所,含样本点数为,:,（分析同（,2,）,二项分布的概率公式,n,个球，随机的放入,N,个盒（,n N,），每盒容量不限，观察放法：,(1),某指定的,n,个盒中各有一个球,A,1,求,P(A,1,),；,(2),恰有,n,个盒中各有一球,2,求,P(A,2,);(3),某指定的盒子中恰有,k,个球,A,3,求,P(A,3,).,(3)P(A,3,)=,(2)P(A,2,)=,(1)P(A,1,)=,(,二,),放球,问题（盒子问题）,例,：,1N,这,N,个数字任取,k,个数字，一个一个的取，取后放回，求：（,1,）,A,：,k,个数字完全不同；（,2,）,B,：不含,1,，,2,，,，,N,中指定的,r,个数字；（,3,）,C,：某指定的数字恰好出现,m,（,k,）次,;,（,4,）,D,：,k,个数字中最大数恰好为,M,。,解,：试验为,从,1,，,2,，,，,N,个数中有放回地依次取,k,个数字,，每,k,个数字的一个排列构成一个基本事件，因此基本事件总数为,N,k,。,（三）随机取数,(4),在这,k,个数字中，最大数不大于,M,的取法有,M,k,种。而最大数不大于,M-1,的取法有,(M-1),k,种。,（,1,）因,k,个数字完全不同，基本事件个数为：,(2),同理,(3),同理,例,:,某接待站在某一周曾接待过,12,次来访，已知所有这,12,次接待都是在周二和周四进行的问是否可以推断接待时间是有规定的,解,:,假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中中去接待站是等可能的，那么，,12,次接待来访者都在周二、周四的概率为,2,12,/7,12,=0.0000003,，,即千万分之三，人们在长期的实践中总结得到,“,概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的,”,（称之为,实际推断原理,）现在概率很小（只有千万分之三）的事件在一次试验中竟然发生了因此有理由怀疑假定的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者即认为其接待时间有规定的,练习：,取球，袋中,a,个白，,b,个红球，一一取出，不放回，求事件,A,k,=,第,k,次取出白球,的概率。,解法,1,：试验为将,a+b,个球编号一一不放回取出，全部取出构成的全排列，总样本点,(,a+b)!,。,事件,A,k,的过程：先从,a,个白球中选一个放在第,k,个位置 种，再在,a+b-1,个球作任意排列，样本点数为,:,如果将球认为只有颜色的区别，放入,a+b,个盒中，其中,a,个位置放白球，则这一随机试验的样本点总数为,设事件,A,为,“,第,k,个位置是白球,”,，则,A,中含基本,事件数为,于是,解法,2,：,将古典概率的方法引申一下，便得到确定概率的,“,几何方法,”,。,满足下列条件的试验，称为,“,几何概型,”,：,(1),样本空间是直线或二维、三维空间中的度量有限的区间或区域；,(2),样本点在其上是,均匀分布的,。,1.2.2,几何概型,定义,：在几何概型中，若样本空间,所对应区域的度量为,L,(),且事件,A,的度量为,L,(,A,),，则,A,的概率为,这里,L,(,),，,可代表图形的长度，面积或体积等。,1.2.2,几何概型,y,x,60,60,10,10,x-y=-10,x-y=10,0,（可列可加性）,M,x,例,(,蒲丰投针问题,),平面上有等距离为,a,的一些平行线，向平面上任意投一长为,l,的针,(,l,a,),试求针与平行线相交的概率。,于是,x,a/2,记事件,A,为针与平行线相交,，则,针与,平行线相交的充要条件为,M,x,1.2.3,概率的统计定义,2.,频率的性质,（,非负性,）,0,f,n,(A),1,;,(,2,),（,规范性,）,f,n,(,)=,1,;,(,3,),（,有限可加性,）设,A,1,，,A,2,，,.A,m,两两互不相容，则,有,1.,频率的定义,在相同条件下，,将试验,进行了,n,次，在这,n,次实验中，事件,A,发生的次数,n,A,称为事件,A,的频数，比值,n,A,/n,称为事件,A,发生的频率，并记为,f,n,(A),。,实例,将一枚硬币抛掷,5,次、,50,次、,500,次,各做,7,遍,观察正面出现的次数及频率。,试验,序号,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,24,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.502,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0,.,502,随,n,的增大,频率,f,呈现出稳定性；,稳定,趋向,0.5,。,f,n,(H),f,n,(H),f,n,(H),从以上数据可知,(2),抛硬币次数,n,较小时,频率,f,的随机波动幅度较大,但,随,n,的增大,频率,f,呈现出稳定性,.,即当,n,逐渐增大时频率,f,总是在,0.5,附近摆动,且逐渐稳定于,0.5.,频率,(,事件发生的频繁程度,),有,随机波动性,即,对于同样的,n,所得的,f,不一定相同,;,结论,:,当,n,较小时频率波动幅度比较大,当,n,逐渐增大,时,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映出,了事件在试验中出现可能性的大小。这个值,就是,事件,(,发生,),的,概率,.,2,概率的统计定义,由于当实验次数,n,较大时，频率,f,n,(,A,)=,n,A,/,n,会稳定于某一常数,p,，因此可将,A,的概率定义为,:,P,(,A,)=,p,。,问题：,n,很大时，,频率值能否作为概率值？,局限性：,（,1,）不能对任一事件都去通过大量实验来确定概率；,（,2,）不,严格，无法进行数学,推理，,无法根据此定义计算某事件的概率。,如何克服此不足,？,定义的意义：,（,1,）应用中提供了求事件的概率的近似值的方法，,可用,n,充分,大时的,频率作为概率的近似值。,（,2,）检验一种理论方法是否正确。,1,.-,代数的,定义,设,为全集，称,的一些子集所组成的集合,为,的一个,-,代数（,-,域）,，如果,满足下列条件：,例如,，,为,的一个,-,代数，它是,的最小,-,代数，,所有子集所组成的集合,是,的最大,-,代数,。,1.2.4,概率的公理化定义,设,A,为,的一子集，则,A,为,的一个,-,代数。,我们把,的,-,代数,又称为,的,事件域,并仅把,中的元素看成为事件。,-,代数的定义中只要求,对逆，可列并运算封闭,，事实上这时,-,代数对交，差的运算也是封闭的。,性质,若,为,的一个,-,代数，则：,.,2,1,),4,(,1,I,L,=,=,i,i,i,A,i,A,则,若,;,2,1,),3,(,1,1,I,U,L,=,=,=,n,i,i,n,i,i,i,A,A,n,i,A,则,若,;,),2,(,I,-,B,A,B,A,B,A,则,若,;,),1,(,f,2.,概率的公理化定义,定义,：设,F,为样本空间,上的,-,代数，,P,是定义在,上的实值集函数，如果它满足：,则称,P,为定义在,F,的概率，,P(A),为,事件,A,的概率,，三元总体,F,P,称为,概率空间,。称定义中的条件,(3),为可列可加性。,3.,概率的性质,（,1,）,P(,)=0,(3),（,4,）若,A,B,，则,P(B-A)=P(B)-P(A),P(B),P(A).,(2),因为,B=A,(B-A),。由（,2,）。,（,5,）,【,加法公式,】,P(A,B)=P(A)+P(B)-P(AB).,因为,A,B=,A,(B-AB),A,、,(B-AB),互不相容,P(A,B,)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB).,同理：,P(A,1,A,2,A,3,)=P(A,1,)+P(A,2,)+P(A,3,)-P(A,1,A,2,)-P(A,1,A,3,)-P(A,2,A,3,)+P(,A,1,A,2,A,3,),加法定理：,一般的：,(,),n,n,n,k,j,i,k,j,i,A,A,A,P,A,A,A,P,L,L,2,1,1,1,),1,(,),(,-,-,+,-,（,6,）概率的连续性：,例,2:,在,1,1000,的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被,6,整除，又不能被,8,整除的概率是多少？,解,:,设,A,为事件,“,取到的数能被,6,整除,”,，,B,为事件,“,取到的数能被,8,整除,”,则所求概率为,又由于一个数同时能被,6,与,8,整除，就能被,24,整除，因此所求概率为,p=1-P(A)+P(B)-P(AB),=1-166/1000-125/1000+41/1000,0.75,例,3.,考试时共有,N,张考签，,n,个同学参加考试,(n,N,),被抽过的签立即放回，求在考试结束后，至少有一张考签未被抽到的概率。,0,),(,1,),(,2,1,1,2,1,=,=,-,N,n,N,A,A,A,P,N,A,A,A,P,L,L,L,L,(,),(,),(,),n,n,i,N,N,i,i,n,N,N,N,n,n,N,n,n,N,N,N,N,j,i,j,i,N,i,i,N,N,i,N,C,N,C,N,N,C,N,N,C,A,A,A,P,A,A,P,A,P,A,A,A,P,P,-,-,=,+,-,+,+,-,-,-,=,-,+,+,-,=,=,-,=,-,-,-,-,=,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,1,