单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,数列极限,三,数列极限存在的条件,在研究比较复杂的数列极限问题时,通常先考察该数列是否有极限(极限的存在性问题);若有极限,再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题).这是极限理论的两个基本问题.在实际应用中,解决了数列,a,n,存在性问题之后,即使极限值的计算较为复杂,但由于当,n,充分大时,a,n,能充分接近其极限,a,故可用,a,n,作为,a,的近似值.本节将重点讨论极限的存在性问题.,为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。,数列极限存在的条件,注:,如果,x,n,x,n,+,1,n,N,就称数列,x,n,是单调增加的,如果,x,n,x,n,+,1,n,N,就称数列,x,n,是单调减少的,单调增加和单调减少数列统称为单调数列,定理,1(,单调有界定理,),单调有界数列必有极限,提问:,收敛的数列是否一定有界？,有界的数列是否一定收敛？,M,定理,1(,单调有界定理,),单调有界数列必有极限,定理,1,的几何解释,x,1,x,5,x,4,x,3,x,2,x,n,A,以单调增加数列为例,数列的点只可能向右一个方向移动,或者无限向右移动,或者无限趋近于某一定点,A,而对有界数列只可能后者情况发生,数列极限存在的条件,数列极限存在的条件,定理,1(,单调有界定理,),单调有界数列必有极限,证明,.,0,N,n,N,a,a,a,a,，,e,e,使得,按上确界定义,事实上,例3,证,(舍去),.,),(,3,3,3,的极限存在,式,重根,证明数列,n,x,n,+,+,+,=,L,例,5,证明,n,n,n,),1,1,(,lim,+,存在。,先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界(小于,所以极限存在，且,由图象看出：随着,n,的增大,n,n,n,a,),1,1,(,+,=,逐渐接近一个,718,.,2,的无理数,e.,3）,0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,2,2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,证,先,证,明：,对,b,a,0,和正整数,n,，有不等式,.,),1,(,1,1,n,n,n,b,n,a,b,a,b,+,-,-,+,+,事,实,上，,-,+,+,+,+,-,=,-,-,-,-,+,+,a,b,a,),ba,a,b,b,a,b,a,b,a,b,n,n,n,n,n,n,1,1,1,1,)(,(,L,n,n,n,n,a,ba,a,b,b,+,+,+,+,=,-,-,1,1,L,.,),1,(,n,b,n,+,该,不等式又可,变,形,为,(,n,b,a,0,为,正整数,),在此不等式中,取,则,有,0,b,a,就有,取,又有,例5 任何数列都存在单调子列,定理2.10（致密性定理）任何有界数列必有收敛的子列,证明,设,数列,有界，,由例5可知：,存在单调且有界的子列,再,由单调有界定理，,证得此子列是收敛的。,数列极限存在的条件,定理,2(,柯西收敛准则,),定理,2,的几何解释,柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数,.,或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起,.,.,0,0,:,e,e,$,m,n,n,a,a,N,m,n,N,a,时有,当,收敛的充要条件是,数列,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,Cauchy,收,敛,准,则,：,Th 2,.10,数列,n,a,收,敛,，,.,0,e,e,$,n,m,a,a,N,n,m,N,(,或数列,n,a,收,敛,，,.,p,0,e,e,$,+,n,p,n,a,a,N,n,N,N,),说明:,(1),auchy,收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。,(2),auchy,收敛准则的条件称为,auchy,条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。,(3),auchy,准则把,定义中,与,a,的之差换成,与,之差。,其好处在于无需借助数列以外的数,a,，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。,证,例,4,证,明,：,任一无限十,进,小数,),1,0,(,.,0,2,1,=,a,a,n,b,b,b,的不足近似,值,所,组,成的数列,10,10,10,10,10,10,2,2,1,2,2,1,1,n,n,b,b,b,b,b,b,+,+,+,+,收,敛,.,其中,),9,2,1,(,=,i,b,i,是,9,1,0,中的数,.,证,法一,（,Riemann,最先,给,出,这,一,证,法,）,设,.,1,1,n,n,n,x,+,=,应,用二,项,式展,开,，,得,+,+,=,n,n,x,n,1,1,+,+,-,-,+,-,3,2,1,!,3,),2,)(,1,(,1,!,2,),1,(,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,1,!,1,2,3,),1,(,-,-,-,-,-,+,+,-,-,+,-,+,+,=,n,n,n,n,n,n,n,n,1,1,2,1,1,1,!,1,2,1,1,1,!,3,1,1,1,!,2,1,1,1,，,!,2,1,1,1,1,+,+,=,+,n,x,+,+,-,+,-,+,+,-,1,2,1,1,1,1,!,3,1,1,1,1,n,n,n,+,+,)!,1,(,1,+,n,;,1,1,1,1,1,+,-,+,-,n,n,n,注意到,1,1,1,1,1,+,-,-,n,n,1,2,1,2,1,+,-,-,n,n,数列,+,n,n,1,1,单调,有界,证,法欣,赏,:,Cauchy,(1789,1857),最先,给,出,这,一极限，,Riemann,（,1826,1866,）最先,给,出,小结,(1),单调有界定理;,(2),单调有界定理的几何意义;,(3),柯西收敛准则;,作业,P39:1(1)(3)(5),5(1)(2).,(4),柯西收敛准则的几何解释.,