,4.2.3,直线与圆的方程的应用,第四章,4,.,2,直线、圆的位置关系,4.2.3直线与圆的方程的应用第四章4.2 直线、圆,学习目标,1.,理解直线与圆的位置关系的几何性质,.,2,.,会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题,.,3,.,会用,“,数形结合,”,的数学思想解决问题,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,题型探究知识梳理内容索引当堂训练,知识梳理,知识梳理,知识点坐标法解决几何问题的步骤,用坐标方法解决平面几何问题的,“,三步曲,”,：,第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示,问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；,第二步：,通过,，,解决代数问题；,第三步：把代数运算结果,“,翻译,”,成几何结论,代数运算,知识点坐标法解决几何问题的步骤用坐标方法解决平面几何问题的,题型探究,题型探究,例,1,某圆拱桥的圆拱跨度为,20 m,，拱高为,4 m,现有一船，宽,10 m,，水面以上高,3 m,，这条船能否从桥下通过？,解答,类型一直线与圆的方程的应用,例1某圆拱桥的圆拱跨度为20 m，拱高为4 m现有一船，,解,建立如图所示的坐标系,依,题意，有,A,(,10,0),，,B,(10,0),，,P,(0,4),，,D,(,5,0),，,E,(5,0),设所求圆的方程,是,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,(,r,0),，,解此方程组，得,a,0,，,b,10.5,，,r,14.5,，,所以这座圆拱桥的拱圆的方程,是,x,2,(,y,10.5),2,14.5,2,(0,y,4),把点,D,的横坐标,x,5,代入上式，得,y,3.1.,由于船在水面以上高,3 m,3,3.1,，,所以该船可以从桥下通过,解建立如图所示的坐标系解此方程组，得a0，b10.,解决直线与圆的实际应用题的步骤,(1),审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知,(2),建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素,(3),求解：利用直线与圆的有关知识求出未知,(4),还原：将运算结果还原到实际问题中去,反思与感悟,解决直线与圆的实际应用题的步骤反思与感悟,跟踪训练,1,如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面,2 m,，,水面宽,12 m,，当水面下降,1 m,后，水面宽为,_,米,答案,解析,跟踪训练1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶,解析,如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为,y,轴，建立直角坐标系,设圆心为,C,，圆的方程设为,x,2,(,y,r,),2,r,2,(,r,0),，水面所在弦的端点为,A,，,B,，,则,A,(6,，,2),将,A,(6,，,2),代入圆的方程，得,r,10,，,圆的方程为,x,2,(,y,10),2,100,.,当,水面下降,1,米后，可设点,A,(,x,0,，,3)(,x,0,0),，,将,A,(,x,0,，,3),代入圆的方程，,解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y,例,2,如图所示，在圆,O,上任取,C,点为圆心，作圆,C,与圆,O,的直径,AB,相切于点,D,，圆,C,与圆,O,交于点,E,，,F,，且,EF,与,CD,相交于,H,，求证：,EF,平分,CD,.,类型二坐标法证明几何问题,证明,例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径A,证明,以,AB,所在直线为,x,轴，,O,为坐标原点，建立直角坐标系，,如图所示，设,|,AB,|,2,r,，,D,(,a,0),，,圆,O,：,x,2,y,2,r,2,，,EF,平分,CD,.,证明以AB所在直线为x轴，圆O：x2y2r2，EF,(1),平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：,建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题；,通过代数运算，解决代数问题；,把代数运算结果,“,翻译,”,成实际或几何结论,(2),建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：,若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；,常选特殊点作为直角坐标系的原点；,尽量使已知点位于坐标轴上,建立适当的直角坐标系，会简化运算过程,反思与感悟,(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：反思与,跟踪训练,2,如图，直角,ABC,的斜边长为定值,2,m,，以斜边的中点,O,为圆心作半径为,n,的圆，直线,BC,交圆于,P,，,Q,两点，求证：,|,AP,|,2,|,AQ,|,2,|,PQ,|,2,为定值,证明,证明,如图，以,O,为坐标原点，以直线,BC,为,x,轴，建立直角坐标系，,于是有,B,(,m,0),，,C,(,m,0),，,P,(,n,0),，,Q,(,n,0),设,A,(,x,，,y,),，由已知，点,A,在圆,x,2,y,2,m,2,上,则,|,AP,|,2,|,AQ,|,2,|,PQ,|,2,(,x,n,),2,y,2,(,x,n,),2,y,2,4,n,2,2,x,2,2,y,2,6,n,2,2,m,2,6,n,2,(,定值,),跟踪训练2如图，直角ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中,例,3,为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地,(,如图,),，它的附近有一条公路，从基地中心,O,处向东走,1 km,是储备基地的边界上的点,A,，接着向东再走,7 km,到达公路上的点,B,；从基地中心,O,向正北走,8 km,到达公路上的另一点,C,.,现准备在储备基地的边界上选一点,D,，修建一条由,D,通往公路,BC,的专用线,DE,，求,DE,的最短距离,类型三直线与圆位置关系的应用,解答,例3为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图,解,以,O,为坐标原点，,OB,，,OC,所在的直线分别为,x,轴和,y,轴，建立直角坐标系,，,则,圆,O,的方程为,x,2,y,2,1,.,因为,点,B,(8,0),，,C,(0,8),，,当点,D,选在与直线,BC,平行的直线,(,距,BC,较近的一条,),与圆相切所成的切点处时，,DE,为最短距离,解以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建,针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题,反思与感悟,针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用,跟踪训练,3,一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西,60 km,处，受影响的范围是半径长为,20 km,的圆形区域,(,如图,),已知港口位于台风中心正北,30 km,处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？,解答,跟踪训练3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风,解,建立如图所示的直角坐标系，取,10 km,为单位长度,，,由,题意知轮船的起点和终点坐标分别为,(6,0),，,(0,3),，,即,x,2,y,6,0,，,台风区域边界所在圆的方程为,x,2,y,2,4.,所以直线,x,2,y,6,0,与圆,x,2,y,2,4,相离，,因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响,解建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，即x,当堂训练,当堂训练,2,3,4,5,1,1.,一辆卡车宽,1.6 m,，要经过一个半圆形隧道,(,半径为,3.6 m),，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过,A.1.4 m,B.3.5,m,C.3.6 m,D.2.0,m,答案,解析,解析,如图，圆的半径,|,OA,|,3.6 m,，卡车宽,1.6 m,，,所以,|,AB,|,0.8 m,，,234511.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半,2,3,4,5,1,2.,方程,x,2,y,2,1(,1,x,0),所表示的图形,是,A.,以原点为圆心，,1,为半径的上半圆,B.,以原点为圆心，,1,为半径的左半圆,C.,以原点为圆心，,1,为半径的下半圆,D.,以原点为圆心，,1,为半径的右半圆,答案,234512.方程x2y21(1x0)所表示的图形,2,3,4,5,1,3.,设村庄外围所在曲线的方程可用,(,x,2),2,(,y,3),2,4,表示，村外一小路方程可用,x,y,2,0,表示，则从村庄外围到小路的最短距离为,_.,答案,解析,234513.设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y,2,3,4,5,1,4.,已知曲线,C,：,(,x,1),2,y,2,1,，点,A,(,2,0),及点,B,(3,，,a,),，从点,A,观察点,B,，要使视线不被曲线,C,挡住，则,a,的取值范围为,_.,答案,解析,解析,由题意知，,AB,所在直线与圆,C,相切或相离时，视线不被挡住，,234514.已知曲线C：(x1)2y21，点A(2,5.,某操场,400 m,跑道的直道长为,86.96 m,，弯道是两个半圆弧，半径为,36 m,，以操场中心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，求弯道所在的圆的方程,.,解答,解,易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为,C,(0,43.48),，,其,所在圆的半径为,36,，,故,上半个弯道所在圆的方程是,x,2,(,y,43.48),2,36,2,.,同理,下半个弯道所在圆的方程是,x,2,(,y,43.48),2,36,2,.,2,3,4,5,1,5.某操场400 m跑道的直道长为86.96 m，弯道是两个,规律与方法,1.,利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中,“,形,”,的问题转化为代数中,“,数,”,的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法,.,事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，所谓转化与化归思想是指把待解决的问题,(,或未解决的问题,),转化、化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识,.,2.,利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题,.,规律与方法1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的,本课结束,本课结束,