,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章,第四节,线性方程组解的结构,问题,:,当解有无穷多时,全部解是否可由有,限多解表示出来,?,一,.,齐次线性方程组,(1),(1),可用矩阵表示,(,系数矩阵,),定理,4.10,齐次线性方程组的解的线性组合也,为方程组的解,.,即,:,为 的解,也为 的解,定义,设 为 的解,满足,(1),线性无关,;,的任一解可由,线性表示,.,称,为 的一个,基础解系,基础解系是否存在,?,定理,4,对于,n,元齐次线性方程组,若,则基础解系存在,且任一,基础解系中包含解的个数为,证明,因为,同解方程组为,现分别取,的,组值,从而得到原方程组的,个解,为,的基础解系,.,为,个,.,任意两个基础解系等价,故有相同个数解向量,例,求下列齐次线性方程组的一个基础解系：,解,基础解系含有,个解向量。同解方程组为,将,解,写为,向量,形式,基础解系,为,例,求 的值,使,齐次线性方程组,解,有非零解,并求它,的基础解系,及一般解,.,系数行列式,故当 时,方程有非零解,.,系数矩阵,得,基础解系,为,得一般解为,令,为任意常数,),二,.,非齐次线性方程组,(2),矩阵形式为,定理,4.12,(1),若,为 的两个解,则,为对应齐次方程组 的解,.,(2),的通解可表为,为 的特解,为 的,通解,.,即,例,求方程组,解,的通解,(,用基础解系与特解表示,),同解方程组为,将,解,写为,向量,形式,基础解系为,特解为,通,解为,为,任意常数,.,例,求 的值,使下述方程组有解,并求一般解,解,当 时方程组有解,此时,同解方程组为,将,解,写为,向量,形式,一般,解为,为,任意常数,.,