单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,1,刚体的基本运动可以分为,平动,和,转动,，刚体的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。,刚体的平动是指刚体在运动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向（或者说，在运动的各个时刻始终保持彼此平行）。,特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。,平动的刚体可看作质点。,刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。,一、刚体运动的基本形式,刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各种,2,刚体的定轴转动是指刚体上各点都绕同一直线作圆周运动，而直线本身在空间的位置保持不动的一种转动，这条直线称为,转轴,。,刚体定轴转动的特点：,1.,刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周运动的半径不一定相等。,2.,各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴线上，这个平面我们称为,转动平面,。,3.,各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。,刚体的定轴转动是指刚体上各点都绕同一直线作圆,3,描写刚体转动位置的物理量。,在转动平面内，过,O,点作一极轴，设极轴的正方向是水平向右，则,OP,与极轴之间的夹角为,。,二、定轴转动刚体的角量描述,1.角坐标,根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。,角称为,角坐标（或角位置）,。,角坐标为标量。但可有正负。,描写刚体转动位置的物理量。在转动平面内，过O点作一极轴，设,4,2.角位移,描写刚体位置变化的物理量。,角坐标的增量,：,称为刚体的,角位移,x,y,P,R,3.角速度,描写刚体转动快慢和方向的物理量。,角速度,方向：,满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。,2.角位移描写刚体位置变化的物理量。角坐标的增量：称为刚体的,5,角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。,刚体上任一质元的速度表示为：,4.角加速度,刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：,角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两,6,角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。,说明：,角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；,角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只,7,三、作用于定轴刚体的外力矩,1,.,力对固定点的矩,这种情况相当于质点绕固定点,O,转动的情形。,2,.,力对固定轴的矩,（1）力垂直于转轴,O,P,d,r,（2）力与转轴不垂直,F,F,转轴,o,r,F,z,转动平面,可以把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。,平行转轴的力不产生转动效果，该力对转轴的力矩为零。,大小：,三、作用于定轴刚体的外力矩 1.力对固定点的矩,8,a),必须指明是对谁的角动量,；,大小：,L r m v sin,方向：,右手螺旋定则判定,质点对一固定参考点的角动量：,m,o,P,P,L,r,o,b),作圆周运动的质点的角动量,L r m v,c),角动量是描述转动状态的物理量,；,d),质点的角动量又称为动量矩,。,注意：,四、角动量,a)必须指明是对谁的角动量；大小：L r m v sin,9,在以角速度,作定轴转动的刚体内取一质点,m,i,，,则其对,OZ,轴的角动量为：,对于整个刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所有质点的角动量求和。,称为刚体对转轴的,转动惯量,在以角速度作定轴转动的刚体内取一质点 mi ，则其对O,10,对于定轴转动刚体,刚体定轴转动定理：,对,进行处理得到：,刚体定轴转动角动量定理,五、刚体定轴转动定理,对于定轴转动刚体刚体定轴转动定理：对进行处理得到：刚体定轴转,11,刚体的转动惯量的定义是：,六、转动惯量,若刚体为连续体，则用积分代替求和：,比较以下两个式子：,转动惯量是表示转动惯性的量。,刚体的转动惯量的定义是：六、转动惯量若刚体为连续体，则用积分,12,例,1、,长为,l,、,质量为,m,的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量,J,。,解：,建立坐标系，分割质量元,例,2、,长为,l,、,质量为,m,的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量,J,。,解：,J,与刚体质量、质量分布、轴的位置有关,例1、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转,13,例,3,：,在无质轻杆的,b,处与,3,b,处各系质量为,2,m,和,m,的质点，可绕,o,轴转动，求：质点系的转动惯量,J,。,解：,例,4、,半径为,R,质量为,M,的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量,J,。,解：,例3：在无质轻杆的 b 处与 3b 处各系质量为 2m 和,14,R,M,例5、,半径为,R,质量为,M,的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量,J,。,r,dr,解：,分割圆盘为圆环,RM例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘平面的,15,二、平行轴定理,定理表述：,刚体绕平行于质心轴的转动惯量,J,，,等于绕质心轴的转动惯量,J,C,加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：,刚体绕质心轴的转动惯量最小,如：,二、平行轴定理定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等,16,证明：,三、垂直轴定理,定理表述：,质量,平面分布,的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和：,证明：三、垂直轴定理定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于平,17,例6、,半径为,R,质量为,M,的圆盘，求绕直径轴转动的转动惯量,J,y,。,解：,圆盘绕垂直于盘面的质心,z,轴转动的转动惯量为：,例6、半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直径轴转动的转动惯,18,例,7、,长为,l,、,质量为,m,的细杆，初始时的角速度为,0,，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间,t,后杆静止，求摩擦力矩,M,阻,。,解：,由匀变速转动公式:,细杆绕一端的转动惯量,摩擦阻力矩为：,例7、长为 l、质量为 m 的细杆，初始时的角速度为 0，,19,解：,（,1,）,（2）,（3）,例8、,质量为,m,1,和,m,2,两个物体，跨在定滑轮上,m,2,放在光滑的桌面上，滑轮半径为,R,，,质量为,M,，,求：,m,1,下落的加速度，和绳子的张力,T,1,、,T,2,。,（4）,解：（1）（2）（3）例8、质量为 m1 和m2 两,20,联立方程，求解得：,当,M,=,0,时：,联立方程，求解得：当 M=0 时：,21,例9、测轮子的转动惯量,用一根轻绳缠绕在半径为,R,、,质量为,M,的轮子上若干圈后，一端挂一质量为,m,的物体，从静止下落,h,用了时间,t,求轮子的转动惯量,J,。,解：,联立方程，求解得：,例9、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径为 R、质量为 M,22,