单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1.2 垂直于弦的直径（1）,人教版九年级上册,1,24.1.2 垂直于弦的直径（1）人教版九年级上册1,问题,:,你知道赵州桥吗,?,它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,创设情境：,2,问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(,由此你能得到圆的什么特性？,可以发现：,圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴,不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗,?,探究：,3,由此你能得到圆的什么特性？可以发现：圆是轴对,探究：,如图,AB,是,O,的一条弦,直径,CDAB,垂足为,E.,你能发现图中有那些相等的线段和弧,?,为什么,?,O,A,B,C,D,E,线段,:AE=BE,弧,:AC=BC,AD=BD,4,探究：如图,AB是O的一条弦,直径CDAB,已知：在,O,中，,CD,是直径，,AB,是弦，,CD,AB,，垂足为,E,求证：,AE,BE,，,AC,BC,，,AD,BD,证明：连结,OA,、,OB,，则,OA,OB,垂直于弦,AB,的直径,CD,所在的直线,既是等腰三角形,OAB,的对称轴又,是,O,的对称轴,当把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，,A,点和,B,点重合，,AE,和,BE,重合，,AC,、,AD,分别和,BC,、,BD,重合,AE,BE,，,AC,BC,，,AD,BD,叠合法,D,O,A,B,E,C,5,已知：在O中，CD是直径，AB是弦，证明：连结OA,垂径定理,垂直于弦,的,直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧,CDAB,CD,是直径，,AE=BE,AC=BC,AD=BD.,O,A,B,C,D,E,归纳：,老师提示,:,垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如,.,6,垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CDA,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,O,E,D,C,A,B,深化：,7,下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是OEDCAB深化,垂径定理的几个基本图形：,CD,过圆心,CDAB,于,E,AE=BE,AC=,BC,AD=,BD,8,垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CDAB于EAE=BEA,巩固：,1,、如图，,AB,是,O,的直径，,CD,为弦，,CDAB,于,E,，则下列结论中,不成立,的是（）,A,、,C,OE=DOE,B,、,CE=DE,C,、,OE=AE,D,、,BD=BC,O,A,B,E,C,D,9,巩固：1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，,2,、如图，,OEAB,于,E,，若,O,的半径为,10cm,OE=6cm,则,AB=,cm,。,O,A,B,E,解：,连接,OA,，,OEAB,AB=2AE=16cm,10,2、如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6c,3,、如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，求,O,的半径。,O,A,B,E,解：,过点,O,作,OEAB,于,E,，连接,OA,即,O,的半径为,5,cm.,11,3、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为,4,、如图，,CD,是,O,的直径，弦,ABCD,于,E,，,CE=1,，,AB=10,，求直径,CD,的长。,O,A,B,E,C,D,解：,连接,OA,，,CD,是直径，,OEAB,AE=1/2 AB=5,设,OA=x,，则,OE=x-1,，由勾股定理得,x,2,=5,2,+(x-1),2,解得：,x=13,OA=13,CD=2OA=26,即直径,CD,的长为,26.,12,4、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB,练习,1,:,在圆,O,中，直径,CEAB,于,D,，,OD=4,，弦,AC=,，,求圆,O,的半径。,例,1,：如图，圆,O,的弦,AB,8,，,DC,2,，直径,CEAB,于,D,，,求半径,OC,的长。,13,练习1:在圆O中，直径CEAB于例1：如图，圆O的弦AB,反思：,在,O,中，若,O,的半径,r,、,圆心到弦的距离,d,、弦长,a,中，,任意知道两个量，可根据,定理求出第三个量：,C,D,B,A,O,14,反思：在 O中，若 O的半径r、CDBAO14,反思：,在,O,中，若,O,的半径,r,、,圆心到弦的距离,d,、弦长,a,中，,任意知道两个量，可根据,定理求出第三个量：,C,D,B,A,O,15,反思：在 O中，若 O的半径r、CDBAO15,2,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,16,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD,3.,如图，,CD,为圆,O,的直径，弦,AB,交,CD,于,E,，,CEB=30,，,DE=9,，,CE=3,，求弦,AB,的长。,4.,如图，,AB,是,O,的弦，,OCA=30,0,，,OB=5cm,，,OC=8cm,，则,AB=,；,O,A,B,C,30,8,5,4,D,F,17,3.如图，CD为圆O的直径，弦4.如图，AB是O的,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗,?,18,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?18,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,关于弦的问题，常常需要,过圆心作弦的垂线段,，这是一条非常重要的,辅助线,。,圆心到弦的距离、半径、弦,构成,直角三角形,，便将问题转化为直角三角形的问题。,19,37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常需要过圆心作弦,A,B,O,C,D,解：,如图，用,AB,表示主桥拱，设,AB,所在的圆的圆心为,O,，半径为,r.,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,垂足为,D,，与,AB,交于点,C,，则,D,是,AB,的中点，,C,是,AB,的中点，,CD,就是拱高,.,AB=37.4m,，,CD=7.2m,AD=1/2 AB=18.7m,，,OD=OC-CD=r-7.2,解得,r=27.9,（,m,）,即,主桥拱半径约为,27.9m.,20,ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为,垂径定理的应用,例,2,如图，一条公路的转变处是一段圆弧,(,即图中弧,CD,点,O,是弧,CD,的圆心,),其中,CD=600m,E,为弧,CD,上的一点,且,OECD,垂足为,F,EF=90m.,求这段弯路的半径,.,解,:,连接,OC.,O,C,D,E,F,21,垂径定理的应用例2如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧,如图，,O,的直径为,10,，弦,AB=8,P,为,AB,上的一个动点，那么,OP,长的,取值范围,是,。,C,4,5,3,3cmOP5cm,22,如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，,