材料力学,(),电子教案,扭 转,*,1,第,3,章 扭 转,3-1,概述,3-2,薄壁圆筒的扭转,3-3,传动轴的外力偶矩,扭矩及扭矩图,3-4,等直圆杆扭转时的应力,强度条件,3-5,等直圆杆扭转时的变形,刚度条件,3-6,等直圆杆扭转时的应变能,3-7,等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,*3-8,开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形,2,3-1,概 述,M,3,4,变形特点,:,.,相邻横截面绕杆的轴线相对转动；,.,杆表面的,纵向线,(,母线,),变成螺旋线；,受力特点：,圆截面直杆在与杆的轴线垂直的平面内受外力偶。,纵向线,5,3-2,薄壁圆筒的扭转,薄壁圆筒通常指 的圆筒,当其两端面上作用有外力偶时，任一横截面上的,内力偶矩,扭矩,(torque),6,.,薄壁圆筒横截面上各点切应力的变化规律,表面变形情况：,(1),周向线绕轴线转动,形状及尺寸不变,(2),周向线间的距离保持不变,(3),纵向线仍为直线,但发生倾斜,周向线,纵向线,轴线,7,推论：,(1),横截面形状和大小不变，即横截面象刚性平面一样,(,平截面假定,),绕轴线转动；,(2),横截面间的距离不变。,8,横截面上的应力：,(1),只有,与圆周相切,的,切应力,(shearing stress),，且圆周上所有点的切应力相同；,(2),对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；,(3),横截面上无正应力，处于,纯剪切,状态。,9,令，上式可写为,.,薄壁圆筒横截面上切应力计算公式,由 并结合应力均匀分布的特点得,，于是有,10,.,剪切胡克定律,(Hookes law in shear),(1),薄壁圆筒表面格子的直角均改变了,g,这种,直角改变量称为切应变,(shearing strain).,(2),圆筒两个端面绕轴线产生了,相对扭转动角,j,.,(3),在假定切应力均匀分布情况下,切应变也均匀,故有,g,=,j,r,0,/,l,此处,r,0,为薄壁圆筒的平均半径,.,11,实验表明：当横截面上切应力,t,不超过材料的剪切比例极限,t,p,时，外力偶矩,M,e,(,数值上等于扭矩,T,),与相对扭转角,j,成线性关系,从而可知,t,与,g,亦成线性关系，即：,剪切胡克定律,G,材料的,切变模量,(shear modulus),。,12,3-3,传动轴的外力偶矩,扭矩及扭矩图,.,传动轴的外力偶矩,P,转轴上输入或输出,功率,n,转轴,转速,外力偶矩,M,e,亦称为,转矩,13,.,扭转时横截面上的,内力,扭矩,Me,1,Me,2,Me,3,Me,4,Me,5,Me,1,Me,2,Me,3,扭矩符号规定：,面对,选定单元体的,截面,逆时针转的扭矩为正,顺时针转的扭矩为负,.,习惯假定扭矩为正,.,T,视线,M,e,4,M,e,5,T,视线,III.,扭矩与外力偶矩的关系,取截面左边的单元体：,面对选定单元体的截面,顺时针转的外力偶在截面上产生正的扭矩,逆时针转的外力偶在截面上产生负的扭矩,.,扭矩的大小等于外力偶矩的大小,.,截面上总的扭矩等于该单元体上所有外力偶单独作用时在截面上产生的扭矩的代数和,.,Me,1,Me,2,Me,3,T,视线,以横坐标表示截面位置,纵坐标表示各截面扭矩大小,并按适当比例绘制出的二维图形,.,IV.,扭矩图,M,e4,1,2,3,4,M,e1,M,e2,M,e3,n,【,例,3-1】,转速,n,=300 r/min,主动轮,1,输入功率为,P,1,=500 kW,从动轮输出功率分别为,P,2,=150 kW,P,3,=150 kW,P,4,=200 kW.,试画扭矩图,.,2,）画扭矩图,4774.5 Nm,9549 Nm,6366 Nm,+,-,M,e4,1,2,3,4,M,e1,M,e2,M,e3,n,【,解,】1,）,计算外力偶矩,17,【,课堂练习,】,若将从动轮,3,与,4,对调如图,试作扭矩图,.,这样布置是否合理？,4774.5 Nm,11140.5 Nm,4774.5 Nm,+,_,对调后,4774.5 Nm,9549 Nm,6366 Nm,+,_,对调前,M,e3,1,2,4,3,M,e1,M,e2,M,e4,n,对调后,m=k,x,x,O,【,例,3-2】,图示杆受矩集度,m,=,k x,的线性分布力偶作用，试画出杆的扭矩图,.,T,x,m=kx,T,(,x,),T,(,x,)+,dT,(,x,),dx,(1),变形几何关系,圆轴扭转前的横截面,变形后仍保持为,平截面,其形状和大小不变,半径仍保持为直线,横截面象刚性平面一样绕轴线转动了一个角度,.,从受扭圆轴上同轴截出半径为,的微段,dx,设微段左右端面相对转角为,d,其端面上承受的扭矩为,T,纵向线,AB,转角为,.,O,d,T,T,dx,B,A,B,.,横截面上的应力,3-4,等直圆杆扭转时的应力,强度条件,O,d,T,T,dx,B,A,B,因,故,即受扭圆轴横截面上任一点的切应变与该点的半径,成正比,当,=,R,时，得,max,=,R,即横截面边沿上各点的切应变最大,令,单位长度相对扭转角,同一截面其为常数,则,（,2,）物理关系,圆轴处于比例极限内,由胡克定律知,即受扭圆轴横截面上任一点的切应力与该点的半径,成正比,当,=,R,时,得,max,=,GR,即横截面边沿上各点的切应力最大,T,max,max,max,max,max,T,max,max,max,22,(3),静力学关系,dA,O,R,T,圆截面的,极惯性矩,它是一个与圆面积有关的几何量,则,即,抗扭刚度,考虑到,令,23,令,抗扭截面模量,将 代入 得,令,=,R,则,则,T,max,max,max,max,max,T,max,max,max,24,.,极惯性矩,I,P,和抗扭截面模量,W,P,(1),空心圆截面,O,d,D,其中,(2),实心圆截面,d,dA=,2,d,M,e,M,e,O,z,x,y,dx,dz,dy,右,左,上,下,F,S,上,=,上,dxdz,F,S,下,=,下,dxdz,F,S,左,=,左,dydz,F,S,右,=,右,dydz,.,切应力互等定理,切应力互等定理,：,在互相垂直的两个平面上,切应力必然成对存在且数值相等,;,二者都垂直于两平面的交线,共同指向或共同背离两平面的交线,.,该定理在任意应力状态下均成立,.,x,y,z,xy,yx,xz,zx,zy,yz,xy,=,yx,yz,=,zy,zx,=,xz,思考：,为什么竹竿受扭后先沿纵向（母线）破环？,(1),圆轴扭转时的破坏现象,塑性材料如低碳钢在受扭过程中先屈服,如继续增大载荷,试件将沿,横截面,破坏,.,脆性材料如铸铁等在受扭过程中,变形始终很小,试件沿与轴线成,45,的螺旋面,破坏,.,I,.,强度条件,低碳钢,铸铁,对塑性材料：,u,s,对脆性材料：,u,b,(2),许用切应力和安全系数,1.,剪切极限应力,构件扭转时，产生过大塑性变形或断裂时横截面上的切应力称为剪切极限应力,.,用,u,表示,.,2.,许用切应力,轴能安全工作时横截面上的最大切应力,.,n,安全系数,许用切应力,(3),圆轴扭转的强度条件,和拉压强度条件一样，解决强度计算的三类问题,.,强度条件,强度校核,设计截面,求许可载荷,31,【,例,3-3】,图示阶梯轴，,AB,段直径,d,1,=120 mm,，,BC,段直径,d,2,=100 mm,。,M,A,=22 kN,m,，,M,B,=36 kNm,，,M,C,=14 kNm,，,材料的许用切应力,t,=,80 MPa,。,试校核该轴的强度。,32,【,解,】1,）,绘扭矩图,M,A,=22 kN,m,，,M,B,=36 kNm,，,M,C,=14 kNm,33,AB,段内：,2,）求每段最大切应力,AB,段直径,d,1,=120 mm,，,BC,段直径,d,2,=100 mm,34,BC,段内：,AB,段直径,d,1,=120 mm,，,BC,段直径,d,2,=100 mm,3,）,校核强度,t,2,max,t,1,max,且,t,2,max,t,=80MPa,满足强度条件,.,35,3-5,等直圆杆扭转时的变形,刚度条件,.,扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的,相对扭转角,(,相对角位移,),j,来度量。,M,e,A,D,B,C,M,e,j,g,若圆轴在标距为,l,的两横截面间,G,、,I,P,、,T,为常数，则相对扭转角：,单位为弧度,(rad),单位为度,(),若圆轴的,G,(,x,),、,I,P,(,x,),、,T,(,x,),为横截面位置,x,的连续函数，则相对扭转角：,若圆轴在第,i,段标距,l,i,内,G,i,、,I,Pi,、,T,i,为常数，则相对扭转角：,单位为弧度,(rad),单位为度,(),(a),38,【,例,3-4】,钢制实心圆轴中,M,1,=1 592 N,m,M,2,=955 Nm,M,3,=637 Nm,l,AB,=300 mm,l,AC,=500 mm,d,=70 mm,切变模量,G,=80 Gpa,.,试求横截面,C,相对于,B,的扭转角,j,BC,.,【,解,】1,）,求,I,、,II,两段的扭矩,39,(a),2,）,设,A,截面固定,分别求,B,、,C,截面相对于,A,截面,的扭转角,j,AB,、,j,AC,40,(a),3,）,求,C,截面相对于,B,截面的扭转角,【,思考,】,C,截面相对于,B,截面的转向？,B,截面相对于,C,截面的转向？,【,例,3-5】,图示有锥度的实心圆轴长为,l,两端直径分别为,D,和,d,沿轴线承受矩集度为,m,的均布力偶,轴材料的剪切弹性模量为,G.,【,解,】1,）求,x,截面的扭矩,l,d,D,m,写出轴,x,截面上半径为,的点,(,x,),的切应力,(,x,),及,x,截面的扭转角,.,T,(,x,),dx,m,T,(,x,)+,d,T,(,x,),x,dx,2,）求,x,截面的极惯性矩,x,截面的直径,x,截面极惯性矩,3,）求,(,x,),点的应力,l,d,D,x,4,）求,x,截面的扭转角,l,d,D,x,轴单位长度最大扭转角,(/m).,轴单位长度许用扭转角,(/m).,和强度条件一样，可解决刚度计算的三类问题,.,刚度校核,设计截面,求许可载荷,.,刚度条件,45,【,解,】1,）,按强度条件求所需外直径,D,【,例,3-6】,某空心圆轴内外直径之比,a,=0.5,材料许用应力,t,=40 MPa,切变模量,G,=80 GPa.,轴的最大扭矩,T,max,=9.56 kNm,许可单位长度扭转角,=0.3m.,试选择轴的直径,.,46,2,）,按刚度条件求所需外直径,D,3,）空心圆轴所需外直径为,D,125.5 mm,由,a,=,d,/,D,=0.5,知,47,第三章结束,